《概率论》补充习题第四章 19.设AB是随机试验E的两个事件,且P(A)>0,P(B)>0.随机变量X和Y的定义为 1,A发生 1,B发生 0,A不发生 0,B不发生 证明若pxy=0,则X与Y相互独立 20.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 k(x2+y),0<x<1,0<y<1, f(a, y) 其他 求 (1)常数k; (2)Var(2X-3Y+5) (3)相关系数Pxy 4)判断X和Y是否相互独立 21.设随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布,且概率密度函数为 f()2e-2x-0,x>0 r 其中0>0是常数求Z=minX1,X2,…,Xn的期望和方差 22.设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)=0.5{01(x,y)+2(x,y) 其中φ1(x,y)和2(x,y)都是二维正态分布的联合概率密度函数,它们对应的二维随 机向量的相关系数分别为与;它们的边缘概率密度函数所对应的随机变量的数学期 望都是0,方差都是1 (1)求随机变量X和Y的边缘概率密度函数fx(x)和y(y),及X和Y的相关系数pxy(可 以直接利用二维正态分布联合密度函数的性质); (2)求X和Y是否独立?为什么? 3.设随机变量x1,X2,…,Xn(n>2)独立同分布且X1~N(0,1,记X=是∑=1X,Y= (1)Y的方差var(Y1),=1,2,…,n (2)Y1与Yn的协方差Co(Y1,Yn); (3)P{Y+Y2≤0} 35V«ÿ6÷øSK1oŸ 19. A,B¥ëÅ£E¸áØá,ÖP(A) > 0, P(B) > 0.ëÅC˛X⁄Y ½¬è X =    1, Au), 0, Aÿu). Y =    1, Bu), 0, Bÿu). y²:eρXY = 0,KXÜY Ép’·. 20. ëÅC˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) =    k(x 2 + y), 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0, Ÿ¶. ¶: (1)~Ík; (2)V ar(2X − 3Y + 5); (3)É'XÍρXY (4)‰X⁄Y ¥ƒÉp’·. 21. ëÅC˛X1, X2, ..., Xn’·”©Ÿ,ÖV«ó›ºÍè f(x) =    2e −2(x−θ) , x > θ, 0, x ≤ θ, Ÿ•θ > 0¥~Í,¶Z = min X1, X2, ..., Xnœ"⁄ê. 22. ëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = 0.5[φ1(x, y) + φ2(x, y)], Ÿ•φ1(x, y)⁄φ2(x, y)—¥ë©ŸÈ‹V«ó›ºÍ,ßÇÈAëë Åï˛É'XÍ©OèÜ; ßÇ>V«ó›ºÍ§ÈAëÅC˛ÍÆœ "—¥0,ê—¥1. (1) ¶ëÅC˛X⁄Y >V«ó›ºÍfX(x)⁄fY (y),9X⁄Y É'XÍρXY (å ±Ü|^ë©ŸÈ‹ó›ºÍ5ü); (2) ¶X⁄Y ¥ƒ’·?èüo? 23. ëÅC˛X1, X2, ..., Xn(n > 2)’·”©Ÿ,ÖX1 ∼ N(0, 1),PX = 1 n Pn i=1 Xi , Yi = Xi − X, i = 1, 2, ..., n.¶: (1) YiêV ar(Yi), i = 1, 2, ..., n; (2) Y1ÜYnêCov(Y1, Yn); (3) P{Y1 + Y2 ≤ 0}. 3