复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（补充习题）第四章 数字特征和特征函数

《概率论》补充习题第四章 复旦大学《概率论》国家精品课程课题组 013年3月1日 第四章:数字特征与特征函数 1.设随机变量X服从参数为2的泊松分布,则随机变量Y=3X-2的期望E(Y)= 方差var(Y) 2.设随机变量X服从参数为1的指数分布则E(X+e-2x) 3.设随机变量X与Y的相关系数为05且E(X)=E(Y)=0,E(X2)=E(Y2)= 2则E(X+Y)2= 4.设随机变量X和Y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V的相关 系数pUv= 5.设随机变量Y服从参数入=1的指数分布,另 0,Yk,k=1,2 则E(X1+X2)= 6.设X1,X2,X3均服从0.2上的均匀分布,则E(3X1-X2+2X3)= B.3 7.已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=24,Var(X)=1.44,则n,p的值为( 0.6; B 6,p=0.4 C.n=8,p=0.3

5V«ÿ6÷øSK1oŸ E￾åÆ5V«ÿ6I[°¨ëßëK| 2013c31F 1oŸµÍiAÜAºÍ 1. ëÅC˛X—lÎÍè2—t©Ÿ,KëÅC˛Y = 3X − 2œ"E(Y ) = , êV ar(Y ) = . 2. ëÅC˛X—lÎÍè1çÍ©Ÿ,KE(X + e −2X) = . 3. ëÅC˛XÜY É'XÍè0.5,ÖE(X) = E(Y ) = 0, E(X2 ) = E(Y 2 ) = 2,KE(X + Y ) 2 = . 4. ëÅC˛X⁄Y ’·”©Ÿ,PU = X − Y, V = X + Y ,KëÅC˛UÜV É' XÍρUV = . 5. ëÅC˛Y —lÎÍλ = 1çÍ©Ÿ,, Xk =    0, Y ≤ k, 1, Y > k, k = 1, 2, KE(X1 + X2)= . 6. X1, X2, X3˛—l[0,2]˛˛!©Ÿ,KE(3X1 − X2 + 2X3) =( ). A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 7. ÆëÅC˛X—lë©Ÿ,ÖE(X) = 2.4, V ar(X) = 1.44,Kn, päè( ). A. n = 4, p = 0.6; B. n = 6, p = 0.4; C. n = 8, p = 0.3; 1

《概率论》补充习题第四章 D.n=24,p=0.1. 8.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,且一旦发生故障就全天停止工作按 周5个工作日计算如果不发生故障,可获利润10万元,如果只发生1次故障仍可获 利润5万元如果发生2次故障不获利润也不亏损,如果发生3次或3次以上故障就要 亏损2万元求一周内利润的期望值 9.将编号为1到n的n个球随机地放进编号为1到n的n个盒子中,一个盒子装一个球.若 球装入与其同号的盒子中,称为一个配对,记配对总数为X,求E(X)与Var(X 10.100名战士参加实弹射击练习设每名战士每次射击后的命中率为0.8,规定每名战士 至多射击4次,若已射中则不再射击问该次练习至少应该准备多少发子弹? 11.某地有A,B两队进行乒乓球比赛规定一方先胜三盘则比赛结束设每场比赛A队获 胜的概率p=0.5以X记比赛的盘数,求E(X) 12.设随机变量X的密度函数 f(ar) n,x≥0, <0 求X的期望E(X)与方差Var(X) 13.设随机变量X~N(0,a2),求E(Xn) 4.设随机变量X~U(0,1),Y~U(1,3),且X与Y相互独立,求E(XY)与Var(XY) 15.设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0,方差为0.5的正态分布,求随机变 量X-Y的方差 16.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=e-l,-∞0<x< 1)求X的期望E(X),方差Var(X) (2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么? 17.设随机变量X,Y独立同分布,且方差存在令U=aX+BY,V=aX-BY,其 中a,B是不全为零的常数证明: UV 18.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 cOS CoS y,0≤x,y≤盘 f(a, y 其他 求(X,Y)的协方差矩阵

5V«ÿ6÷øSK1oŸ D. n = 24, p = 0.1. 8. bò‹ÅÏ3òUSu)ÊV«è0.2,Öò￾u)Ê“U éÛä,U ò±5áÛäFOé,XJÿu)Ê,åº|d10,XJêu)1gÊEåº |d5,XJu)2gÊÿº|dèÿºõ, XJu)3g½3g±˛Ê“á ºõ2,¶ò±S|dœ"ä. 9. Ú?“è1nná•ëÅ/ò??“è1nná›f•,òá›fCòá•. e •C\ÜŸ”“›f•,°èòáÈ,PÈoÍèX,¶E(X)ÜV ar(X). 10. 100¶‘¨Î\¢¬ˆS,z¶‘¨zg¬￾·•«è0.8,5½z¶‘¨ ñı¬4g,eÆ•Kÿ2¬.Ø:TgˆSñATOıuf? 11. ,/kA,B¸Ë?1Æ •'m,5½òêkënK'm(Â.z|'mA˺ ëV«p = 0.5,±XP'mÍ,¶E(X). 12. ëÅC˛Xó›ºÍ f(x) =    x ne−x n! , x ≥ 0, 0, x < 0. ¶Xœ"E(X)ÜêV ar(X). 13. ëÅC˛X ∼ N(0, σ2 ),¶E(Xn ). 14. ëÅC˛X ∼ U(0, 1), Y ∼ U(1, 3),ÖXÜY Ép’·,¶E(XY )ÜV ar(XY ). 15. ëÅC˛XÜY Ép’·,Ö——l˛äè0,êè0.5©Ÿ, ¶ëÅC ˛|X − Y |ê. 16. ëÅC˛XV«ó›ºÍèf(x) = 1 2 e −|x| , −∞ < x < ∞, (1) ¶Xœ"E(X),êV ar(X); (2) ¶XÜ|X|ê,øØXÜ|X|¥ƒÿÉ'? (3) ØXÜ|X|¥ƒÉp’·?èüo? 17. ëÅC˛X, Y ’·”©Ÿ,Öê3.-U = αX + βY, V = αX − βY ,Ÿ •α, β¥ÿè"~Í,y²: ρUV = α 2 − β 2 α2 + β 2 . 18. ëëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›è f(x, y) =    cos x cos y, 0 ≤ x, y ≤ π 2 , 0, Ÿ¶. ¶(X, Y )ê› . 2

《概率论》补充习题第四章 19.设AB是随机试验E的两个事件,且P(A)>0,P(B)>0.随机变量X和Y的定义为 1,A发生 1,B发生 0,A不发生 0,B不发生 证明若pxy=0,则X与Y相互独立 20.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 k(x2+y),00 r 其中0>0是常数求Z=minX1,X2,…,Xn的期望和方差 22.设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)=0.5{01(x,y)+2(x,y) 其中φ1(x,y)和2(x,y)都是二维正态分布的联合概率密度函数,它们对应的二维随 机向量的相关系数分别为与;它们的边缘概率密度函数所对应的随机变量的数学期 望都是0,方差都是1 (1)求随机变量X和Y的边缘概率密度函数fx(x)和y(y),及X和Y的相关系数pxy(可 以直接利用二维正态分布联合密度函数的性质); (2)求X和Y是否独立?为什么? 3.设随机变量x1,X2,…,Xn(n>2)独立同分布且X1~N(0,1,记X=是∑=1X,Y= (1)Y的方差var(Y1),=1,2,…,n (2)Y1与Yn的协方差Co(Y1,Yn); (3)P{Y+Y2≤0} 3

5V«ÿ6÷øSK1oŸ 19. A,B¥ëÅ£E¸áØá,ÖP(A) > 0, P(B) > 0.ëÅC˛X⁄Y ½¬è X =    1, Au), 0, Aÿu). Y =    1, Bu), 0, Bÿu). y²:eρXY = 0,KXÜY Ép’·. 20. ëÅC˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) =    k(x 2 + y), 0 θ, 0, x ≤ θ, Ÿ•θ > 0¥~Í,¶Z = min X1, X2, ..., Xnœ"⁄ê. 22. ëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = 0.5[φ1(x, y) + φ2(x, y)], Ÿ•φ1(x, y)⁄φ2(x, y)—¥ë©ŸÈ‹V«ó›ºÍ,ßÇÈAëë Åï˛É'XÍ©OèÜ; ßÇ>V«ó›ºÍ§ÈAëÅC˛ÍÆœ "—¥0,ê—¥1. (1) ¶ëÅC˛X⁄Y >V«ó›ºÍfX(x)⁄fY (y),9X⁄Y É'XÍρXY (å ±Ü|^ë©ŸÈ‹ó›ºÍ5ü); (2) ¶X⁄Y ¥ƒ’·?èüo? 23. ëÅC˛X1, X2, ..., Xn(n > 2)’·”©Ÿ,ÖX1 ∼ N(0, 1),PX = 1 n Pn i=1 Xi , Yi = Xi − X, i = 1, 2, ..., n.¶: (1) YiêV ar(Yi), i = 1, 2, ..., n; (2) Y1ÜYnêCov(Y1, Yn); (3) P{Y1 + Y2 ≤ 0}. 3

《概率论》补充习题第四章 24.设x,Y是离散型随机变量,当EX-Y1=0,证明X,Y同分布 5.设活塞X的平均直径是2000cm,标准差是0.02;气缸Y的平均直径是2010cm,标准差 是0.02.如果X,Y独立且都服从正态分布可以证明X-Y~N(-0.1,8×10-4)用 此结果计算活塞能装入气缸的概率 26.如果正方形抽屉的平均边长是1500cm,标准差是0.02;正方形抽屉框的平均边长 是15.10cm,标准差是0.02设两对边长相互独立,服从正态分布,直角的误差忽略不 计计算抽屉能装入抽屉框的概率. 7.设X,Y相互独立都服从指数分布(入),证明 (1)(X,X+Y)和(Y,X+Y)同分布, (2)X/(X+Y)和Y/(X+Y)同分布, 3Ex= Exy 28.设(X,Y)有联合密度 1=/3>1,10,=EX存在证明EX<∞的充分必要条件是Ex-pm<∞ 32.设X的密度函数是偶函数,0<EX2<∞,证明X和X不相关,也不独立 33设X1,X2,…Xn是相互独立的随机变量Var(x)=v2求常数a1,a2,…,an满足∑=1a 1,a3≥0,且使得Y=∑=103X的方差最小 34.设一点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上求落点横坐标的数学期望和方

5V«ÿ6÷øSK1oŸ 24. X, Y ¥l—.ëÅC˛,E|X − Y | = 0,y²X, Y ”©Ÿ. 25. ¹lX²˛Üª¥20.00cm,IO¥0.02;ÌhY ²˛Üª¥20.10cm,IO ¥0.02. XJX, Y ’·Ö——l©Ÿ,å±y²X − Y ∼ N(−0.1, 8 × 10−4 ).^ d(JOé¹lUC\ÌhV«. 26. XJê/ƒT²˛>¥15.00cm,IO¥0.02;ê/ƒTµ²˛> ¥15.10cm,IO¥0.02.¸È>Ép’·,—l©Ÿ,Üÿ—ÿ O.OéƒTUC\ƒTµV«. 27. X, Y Ép’·——lçÍ©Ÿε(λ),y²: (1)(X, X + Y )⁄(Y, X + Y )”©Ÿ, (2)X/(X + Y )⁄Y /(X + Y )”©Ÿ, (3)E X X+Y = E Y X+Y . 28. (X, Y )kÈ‹ó› f(x, y) =    3 2x3y 2 , x > 1, 1 0, µ = EX3,y²E|X| m < ∞ø©7á^á¥E|X − µ| m < ∞. 32. Xó›ºÍ¥ÛºÍ,0 < EX2 < ∞,y²|X|⁄XÿÉ',èÿ’·. 33. X1, X2, ..., Xn¥Ép’·ëÅC˛,V ar(Xi) = σ 2 i .¶~Ía1, a2, ..., an˜v Pn j=1 aj = 1, aj ≥ 0,Ö¶Y = Pn j=1 ajXjêÅ. 34. ò:ëÅ/·3•%3:,åªèR±˛.¶·:ÓãIÍÆœ"⁄ê . 4

《概率论》补充习题第四章 35.设X,Y独立同分布且服从N(0,1),Z=√X2+y2,计算EZ 36.设X有概率密度 f(r) e-x,X≥0. (1)计算X的数学期望和方差 (2)证明: P(0k) k=1 k=0 43.设EX存在,P=P(X=a1),≥0如果a1<a2<…,并且a3→∞,证明 imaP(X≥aj)=0. 44.一辆机场巴士运送25位乘客,中途经过7个车站设每个乘客的行动相互独立,且在各 车站下车的可能性相同,问平均有多少个车站有人下车? 45.设X1,X2,…,xXn是互不相关的随机变量,有相同的数学期望μ和方差σ2,计算 (1)Sn=X1+X2+…+Xn的数学期望和方差, (2)Sn/m的数学期望和方差, (3)Tn=X1-X2+….+(-1)-1Xn的数学期望和方差 4)Tn/Vm的数学期望和方差 5

5V«ÿ6÷øSK1oŸ 35. X, Y ’·”©ŸÖ—lN(0, 1), Z = √ X2 + Y 2,OéEZ. 36. XkV«ó› f(x) = x m m! e −x , X ≥ 0. (1)OéXÍÆœ"⁄ê, (2)y²: P(0 k). 43. EX3,pj = P(X = aj ), j ≥ 0.XJa1 < a2 < ...,øÖaj → ∞,y² lim j→∞ ajP(X ≥ aj ) = 0. 44. ò˝Å|n¨$x25†¶ê,•Â²L7áê’.zá¶ê1ƒÉp’·,Ö3à ê’eêåU5É”,ز˛kıáê’k<eê? 45. X1, X2, ..., Xn¥pÿÉ'ëÅC˛,kÉ”ÍÆœ"µ⁄êσ 2 ,Oé: (1)Sn = X1 + X2 + ... + XnÍÆœ"⁄ê, (2)Sn/nÍÆœ"⁄ê, (3)Tn = X1 − X2 + ... + (−1)n−1XnÍÆœ"⁄ê, (4)Tn/ √ nÍÆœ"⁄ê. 5

46.在澳门赌场,有很多人在赌二十一点时顺便押对子其规则如下:庄家有放回地 从6副(每副52张)扑克中随机发给你两张如果你下注a元,当得到的两张牌是一对 时,庄家赔你十倍,否则输掉你的赌注计算你每局期望赢多少? 47.设X1,X2,…,Xn独立同分布当X1服从二项分布B(m,p),利用概率的频率定义证 明:当n→∞时 X1+X2+.+X n→→EX1 48.设X,Y独立同分布,都服从正态分布N(0,02),计算: (1)R=√Ⅹ2+Y2的密度, (2)R=√X2+Y2的数学期望, (3)R=√X2+P2的方差 49.设X1,X2,…Xn相互独立都服从(O1)上的均匀分布x(u)≤X(2)≤…≤X(n)是X1,x2,…,Xn的 次序统计量计算 E(X(1),E(X(n) 50.设随机向量e=(=1,e2,…,n)有数学期望=(1,p2,…,n)和协方差矩阵∑对 于常数向量a=(a1,a2,…,an)和n×m矩阵B,计算 X=a+Be 的数学期望和协方差矩阵 6

46. 3eÄŸ|,kÈı<3Ÿõò:û^BŸÈf.Ÿ5KXe: B[kò£/ l6B(zB52‹)¿é•ëÅuâ\¸‹.XJ\e5a,¸‹˝¥òÈ û,B[\õ,ƒK—K\Ÿ5.Oé\z¤œ"Iı? 47. X1, X2, ..., Xn’·”©Ÿ,X1—lë©ŸB(m, p),|^V«™«½¬y ²:n → ∞û, X1 + X2 + ... + Xn n −→ EX1. 48. X, Y ’·”©Ÿ,——l©ŸN(0, σ2 ),Oé: (1)R = √ X2 + Y 2ó›, (2)R = √ X2 + Y 2ÍÆœ", (3)R = √ X2 + Y 2ê. 49. X1, X2, ..., XnÉp’·,——l(0,1)˛˛!©Ÿ.X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n)¥X1, X2, ..., Xn gS⁄O˛.Oé E(X(1)), E(X(n) ). 50. ëÅï˛ε = (ε1, ε2, ..., εn) TkÍÆœ"µ = (µ1, µ2, ..., µn) T⁄ê› Σ.È u~Íï˛a = (a1, a2, ..., an) T⁄n × m› B,Oé X = a + Bε ÍÆœ"⁄ê› . 6