复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（补充习题）第三章 随机变量与分布函数

《概率论》补充习题第三章 复旦大学《概率论》国家精品课程课题组 013年3月1日 第三章:随机变量与分布函数 1.设随机变量X的分布函数为 0, 0≤x≤丌/2, >丌/2, P(|X| 3.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(③3,p).若P(X≥1)=5/9,则P(Y≥ 1) 4.设随机变量X~N(2,a2),且P(20.5)=0.625,则a= P(0.25<X<0.5) 6.设随机变量X~N(,a2),则随a的增大概率P{|x-川<aH( A.单调增加 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定 7.设随机变量X的概率密度函数为f(x),分布函数为F(x),若f(-x)=f(x),则对于 任意实数a,总有()

5V«ÿ6÷øSK1nŸ E￾åÆ5V«ÿ6I[°¨ëßëK| 2013c31F 1nŸµëÅC˛Ü©ŸºÍ 1. ëÅC˛X©ŸºÍè F(x) =    0, x π/2, Ka = , P(|X| 0) = . 3. ëÅC˛X ∼ B(2, p), ëÅC˛Y ∼ B(3, p). eP(X ≥ 1) = 5/9, KP(Y ≥ 1) = . 4. ëÅC˛X ∼ N(2, σ2 ), ÖP(2 0.5) = 0.625, Ka = , b = , P(0.25 < X < 0.5) = . 6. ëÅC˛X ∼ N(µ, σ2 ),KëσOå,V«P{|X − µ| < σ}( ). A. ¸NO\ B. ¸N~ C. ±ÿC D. O~ÿ½ 7. ëÅC˛XV«ó›ºÍèf(x), ©ŸºÍèF(x), ef(−x) = f(x), KÈu ?ø¢Ía, ok( ). 1

《概率论》补充习题第三章 ∫f(x)dx B. F(a)=0.5-Jo f(a)dr C FGa)= F(a) D.F(-a)=2F(a) 8.设随机变量X~N(0,1),对给定的0Za}=a.若P{X|> r}=a,则x等于( A Z B.Z1-a/2 C.2 (1-a)/2 9.10件产品中8件为一等品,2件为二等品不放回地抽取产品,每次抽一件,直到取到一 等品为止.记X为抽样次数求X的概率分布与分布函数 10.抽样调査结果表明:某地区考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩72分, 96分以上者占总人数的23%,求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率 11.某人家住市区东郊,工作单位在西郊,上班有两条路线可选择:一条直穿市区,路程 近,但塞车现象严重所需时间单位分钟)服从正态分布N(30,102;另一条是环城 公路,路程远,但很少塞车,所需时间服从正态分布N(40,42)为保证以较大概率上班 不迟到,问: 1.如上班前50分钟出发,应选哪条路线? 2.如上班前45分钟出发,应选哪条路线? 12.有90台同类型设备,各台设备的工作相互独立,发生故障的概率均为0.01,且一台设 备的故障由一名设备维修人员能够处理配备维修人员的方法有两种:一种是3名维 修人员单独工作,每人负责30台设备的维修;另一种是3名维修人员联合工作,共同 负责90台设备的维修试比较两种设备维修人员方法的优劣 13.已知离散型随机变量X的概率分布为 07/2丌3/2 P0.3020.40.1 求下列随机变量Y的概率分布: (2X-m)2; cos(2X-丌)

5V«ÿ6÷øSK1nŸ A. F(−a) = 1 − R a 0 f(x)dx B. F(−a) = 0.5 − R a 0 f(x)dx C. F(−a) = F(a) D. F(−a) = 2F(a) − 1 8. ëÅC˛X ∼ N(0, 1),Èâ½0 Zα} = α. eP{|X| > x} = α, Kxu( ). A. Zα/2 B. Z1−α/2 C. Z(1−α)/2 D. U1−α 9. 10ᨕ8áèò¨,2áè¨.ÿò£/ƒ¨,zgƒòá,Üò ¨èé. PXèƒgÍ.¶XV«©ŸÜ©ŸºÍ. 10. ƒN(JL²:,/´) ä§1(z©õ)—l©Ÿ,²˛§172©, 96©±˛ˆ”o<Í2.3%, ¶) ä§1360©ñ84©ÉmV«. 11. ,<[4½´¿,Û丆3‹,˛Åk¸^¥Çå¿J:ò^ÜB½´,¥ß C, lêyñÓ­,§Iûm(¸†:©®)—l©ŸN(30, 102 );,ò^¥Ç¢ ˙¥,¥ß,Èlê, §Iûm—l©ŸN(40, 4 2 ).èy±åV«˛Å ÿ¥,Ø: 1. X˛Åc50©®—u,A¿=^¥Ç? 2. X˛Åc45©®—u,A¿=^¥Ç? 12. k90”a.,àÛäÉp’·,u)ÊV«˛è0.01, Öò Êdò¶ë?< U ?n.ë?< ê{k¸´:ò´¥3¶ë ?< ¸’Ûä, z<KI30ë?;,ò´¥3¶ë?< È‹Ûä,
” KI90ë?.£'¸´ë?< ê{`. 13. Æl—.ëÅC˛XV«©Ÿè X 0 π/2 π 3π/2 p 0.3 0.2 0.4 0.1 ¶eëÅC˛YV«©Ÿ: 1. Y = (2X − π) 2 ; 2. Y = cos(2X − π). 2

《概率论》补充习题第三章 14.设随机变量X的概率密度函数为 /m2,0≤x≤丌, 其他. 求Y=sinX的概率密度函数y(y). 15.设随机变量X和Y相互独立,概率分布分别为 PX 0.50.5 P{Y=v}050.5 则P{X=Y} 16.设二维随机向量(X,Y)的分布函数为 1-2-x-2-+2-xy,x≥0,y≥0 其他. 则P{1<X≤2,3<Y≤5}= 17.设二维连续性随机向量(X,Y)的概率密度函数为 x,0≤x≤y≤1, f(a, y) 0,其他, 则P{X+Y≤1}= 18.从1,2,3,4中任取一个数,记为X;再从1X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}= 19.设X和Y为两个随机变量,且 P{X≥0Y、,P{x20}=P{Y20}= 则P{max(X,Y)≥0} 20.设平面区域D由曲线y=1/x及y=0.,x=1,x=e2所围成,二维随机向量(X,Y)在 区域D上服从均匀分布,则X的边缘概率密度函数在x=2处的值为 21.袋中装有同型号小球10只,其中7只红球,3只白球现从袋中随机取球两次每次取一 球,取后不放回.令 若第一次取到白球 1,若第二次取到白球 Y 0,若第一次取到红球 0,若第二次取到红球 1.求(X,Y)的联合概率分布 3

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 14. ëÅC˛XV«ó›ºÍè fX(x) =    2x/π2 , 0 ≤ x ≤ π, 0, Ÿ¶. ¶Y = sin X V«ó›ºÍfY (y). 15. ëÅC˛X⁄Y Ép’·,V«©Ÿ©Oè X −1 1 P{X = xi} 0.5 0.5 , Y −1 1 P{Y = yi} 0.5 0.5 KP{X = Y } = . 16. ëëÅï˛(X, Y )©ŸºÍè F(x) =    1 − 2 −x − 2 −y + 2−x−y , x ≥ 0, y ≥ 0 0, Ÿ¶. KP{1 V«ó›ºÍ3x=2?äè . 21. ï•Ck”.“•10ê,Ÿ•7ê˘•,3êx•.ylï•ëÅ•¸g,zgò •,￾ÿò£. - X =    1, e1ògx•, 0, e1òg˘• , Y =    1, e1gx•, 0, e1g˘• 1. ¶(X, Y )È‹V«©Ÿ; 3

《概率论》补充习题第三章 计算P{ 22.将一枚硬币连掷三次,以X表示三次中出现正面的次数,以y表示三次中出现正面次 数与反面次数差的绝对值求 1.(X,Y)的联合概率分布; 2.X和Y的边缘概率分布; 3.在Y=1的条件下X的条件概率分布 23.设二维随机向量(x,y)的联合概率密度函数为 f(a, y) a(R-√x2+y2),x2+y2 1.确定常数a; 2.计算随机点(X,Y)落在圆域x2+y2≤r2(r0)的泊松分布,每位乘客在途中 下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立以Y表示中途下车的人数 1.求在发车时有n位乘客的条件下,中途有m位下车的概率 2.写出随机向量(X,Y)的概率分布 27.已知随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 1,0<x<1,0<y<2 0,其他 1.求XY的边缘概率密度函数fx(x),f(y);

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 2. OéP{X ≥ Y }. 22. ÚòqM1Îïng,±XL´ng•—y°gÍ,±Y L´ng•—y°g ÍÜá°gÍ˝Èä.¶: 1. (X, Y )È‹V«©Ÿ; 2. X⁄Y >V«©Ÿ; 3. 3Y = 1^áeX^áV«©Ÿ. 23. ëëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) =    a(R − p x 2 + y 2), x2 + y 2 V«ó›ºÍfX(x)⁄fY (y). 25. ëÅï˛(X, Y )È‹©ŸºÍè F(x, y) = a(b + arctan x 2 )(c + arctan y 3 ). 1. (½~Ía,b,c; 2. X⁄Y ¥ƒÉp’·? 3. ¶(X, Y )V«ó›ºÍf(x, y)⁄>V«ó›ºÍfX(x), fY (y). 26. ,Åê3Â:’˛ê 0)—t©Ÿ,z†¶ê3• eêV«èp(0 V«ó›ºÍfX(x), fY (y); 4

《概率论》补充习题第三章 2.计算P{Y≤0.5X≤0.5} 28.设X,Y是相互独立的随机变量,概率密度函数分别为 y>0, ,f(y)= x≤0, y≤0 其中λ>0,μ>0为常数引入随机变量 z=1, xsy 1.求条件概率密度函数fxy(ly); 2.求Z的概率分布 9.设随机向量(X,Y)是正方形G={(x,y)1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布求随 机变量U=|X-Y1的概率密度函数f(u) 30.设随机变量X,Y相互独立,X的概率分布为 P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.7 Y的概率密度函数为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度函数g(u) 1.设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布在X=x(01} 32.设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 3,01}与P{Y<0.5X<0.5} 33.设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为入=1,=0的柯西分布即概率密 度函数为 f(ar) 丌(1+x <x<∝ 5

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 2. OéP{Y ≤ 0.5|X ≤ 0.5}. 28. X, Y ¥Ép’·ëÅC˛,V«ó›ºÍ©Oè fX(x) =    λe−λx, x > 0, 0, x ≤ 0, , fY (y) =    µe−µy, y > 0, 0, y ≤ 0, Ÿ•λ > 0, µ > 0è~Í⁄\ëÅC˛ Z =    1, X ≤ Y, 0, X > Y. 1. ¶^áV«ó›ºÍfX|Y (x|y); 2. ¶ZV«©Ÿ. 29. ëÅï˛(X, Y )¥ê/G = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3} ˛˛!©Ÿ,¶ë ÅC˛U = |X − Y |V«ó›ºÍfU (u). 30. ëÅC˛X, Y Ép’·,XV«©Ÿè P{X = 1} = 0.3, P{X = 2} = 0.7, Y V«ó›ºÍèf(y),¶ëÅC˛U = X + Y V«ó›ºÍg(u). 31. ëÅC˛X—l´m(0, 1)˛˛!©Ÿ,3X = x(0 1}. 32. ëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) =    x 2 + xy 3 , 0 V«ó›; 2. ¶X, Y ^áV«ó›; 3. OéP{X + Y > 1}ÜP{Y < 0.5|X < 0.5}. 33. ëÅC˛X1, X2, X3Ép’·,Ö˛—lÎÍèλ = 1, µ = 0Ö‹©Ÿ,=V«ó ›ºÍè f(x) = 1 π(1 + x 2) , −∞ < x < ∞. 5

《概率论》补充习题第三章 1.求M=max{X1,X2,X3}和N=min{X1,X2,X3}的概率密度函数 2.计算P{01} 4.设X在(2,5)中均匀分布对x进行三次独立观测时求观测值大于3的次数大于等于 两次的概率. 35.设X服从参数是入的泊松分布,求pk=P(X=k)的最大值点k 36.在核反应中假设一个粒子分裂成个新粒子的概率是pp1+P2+P3=1.粒子之间 的分裂是相互独立的并且有相同的概率分布求一个粒子两次分裂后成为3个粒子 的概率 37.设P(X=a)=p,P(X=b)=1-p.求常数c,d使得Y=cX+d~B(1,p) 38.设T是表示寿命的非负随机变量,有连续的概率密度∫(x).引入T的生存函数S(x)= P(T≥x)和失效率函数入(t)=f(t)/S(t)证明 (-M0) 39.设电流Ⅰ在8A至9A之间均匀分布当电流通过29的电阻时,消耗的功率为W=2P2 W求W的密度 40.设X是随机变量mX~N(p,a2)证明X有概率密度 fr(r 这时称X服从对数正态分布( ognormal distribution) 41.设X,Y独立,X~B(1,p),Y~e(川),求Z=X+Y的分布函数和概率密度 42.设X有概率密度 f(ar) 丌(1+ 求Y=lnX的密度 43.设a,bcC是常数a≠0,如果随机变量X有概率密度f(x)=exp(ax2+b+c),证 明X服从正态分布 44.对一大批产品的验收方案如下:从中任取10件检验无次品就接受这批产品,次品超 过两件就拒收遇到其他情况用下述方案重新验收:从中抽取5件产品,这5件无次品 就接受,有次品时拒收设产品的次品率是10%,计算 (a)第一次检验产品被接受的概率, (b)需要做第二次检验的概率, 6

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 1. ¶M = max{X1, X2, X3}⁄N = min{X1, X2, X3}V«ó›ºÍ; 2. OéP{0 1}. 34. X3(2,5)•˛!©Ÿ,ÈX?1ng’·*ˇû,¶*ˇäåu3gÍåuu ¸gV«. 35. X—lÎÍ¥λ—t©Ÿ,¶pk = P(X = k)Ååä:k. 36. 3ÿáA•,bòá‚f©§iá#‚fV«¥pi ,p1 + p2 + p3 = 1.‚fÉm ©¥Ép’·øÖkÉ”V«©Ÿ.¶òá‚f¸g©￾§è3á‚f V«. 37. P(X = a) = p, P(X = b) = 1 − p.¶~Íc, d,¶Y = cX + d ∼ B(1, p). 38. T¥L´Æ·öKëÅC˛,kÎYV«ó›f(x).⁄\T)ºÍS(x) = P(T ≥ x)⁄Íλ(t) = f(t)/S(t).y²: S(x) = exp  − Z x 0 λ(t) dt  . 39. >6I38Añ9AÉm˛!©Ÿ.>6œL2Ω>{û,û—ı«èW = 2I 2 W,¶Wó›. 40. X¥ëÅC˛,ln X ∼ N(µ, σ2 ).y²XkV«ó› fx(x) = 1 √ 2πσx exp  − (ln x − µ) 2 2σ 2  , x > 0. ˘û°X—lÈÍ©Ÿ(lognormal distribution). 41. X, Y ’·,X ∼ B(1, p), Y ∼ ε(λ),¶Z = X + Y ©ŸºÍ⁄V«ó›. 42. XkV«ó› f(x) = 2 π(1 + x 2) , x ≥ 0. ¶Y = ln Xó›. 43. a, b, c¥~Í,a 6= 0,XJëÅC˛XkV«ó›f(x) = exp(ax2 + bx + c),y ²X—l©Ÿ. 44. Èòå1¨¬êYXe:l•?10áu,Ãg¨“…˘1¨,g¨á L¸á“·¬.럶ú¹^e„êY­#¬:l•ƒ5á¨,˘5áÃg¨ “…,kg¨û·¬.¨g¨«¥10%,Oé: (a) 1ògu¨…V«, (b) Iáâ1guV«, 6

《概率论》补充习题第三章 (c)第二次检验产品才被接受的概率, (d)产品被接受的概率. 45.设一条金鱼的产卵数服从泊松分布 k=0,1,…,1是正常数, 每只卵孵化成鱼的概率是p(>0).如果卵能否孵化成鱼是相互独立的求一条金鱼 有m条后代小鱼的概率. 46.设点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上求落点横坐标的概率密度 47.一个房间有三扇完全相同的玻璃窗,其中只有一扇是打开的两只麻雀飞入房间后试 图飞出房间 (a)第一只麻雀是无记忆的,求它飞出房间时试飞次数X的分布, (b)第二只麻雀是有记忆的,求它飞出房间时试飞次数Y的分布, (c)计算P(XY) 48.设X有概率密度f(x)=c/m2,x∈(0,m)求Y=sinX的密度 49.设X,Y独立,分别服从二项分布B(n,p)和B(m,p) (a)计算条件概率P(X=kX+Y=n),k=0,1,,nm (b)给出条件X+Y=n下,X的分布 50.设X~U(0,6π),求Y= Rcos X的概率密度 求救者每间隔2min发出一次瞬间呼叫,救援者在收到呼叫信号的范围内至少停留多 长时间才能以0.95的概率收到呼叫 52.(1)设连续函数满足f(x+y)=f(x)+f(y),x,y>0.则有常数a使得f(x)=ax,x≥ 0, (2)如果连续函数g(x)满足9(x+y)=g(x)9(y),x,y>0,则有常数b使得g(x) >0. 53.设(X,Y)有联合分布 F(r, y) (1-e-2)(1-e-y),x,y≥0, 0 其他 证明:有在第一象限D={(x,y)|x,y>0}中的连续函数f(x,y)使得对任何(a,b)∈ P(x≤a,y≤b)= f(r, y)d xdy

5V«ÿ6÷øSK1nŸ (c) 1gu¨‚…V«, (d) ¨…V«. 45. ò^7~ŒÍ—l—t©Ÿ pk = λ k k! e −λ , k = 0, 1, ..., λ¥~Í, zꌻz§~V«¥p(> 0).XJŒUƒ»z§~¥Ép’·,¶ò^7~ km^￾ì~V«. 46. :ëÅ/·3•%3:,åªèR±˛.¶·:ÓãIV«ó›. 47. òáímkn˜É”¿ÊI,Ÿ•êkò˜¥ãm.¸êÊ)ú\ím￾£ „ú—ím. (a) 1òêÊ)¥ÃP£,¶ßú—ímû£úgÍX©Ÿ, (b) 1êÊ)¥kP£,¶ßú—ímû£úgÍY ©Ÿ, (c) OéP(X Y ). 48. XkV«ó›f(x) = cx/π2 , x ∈ (0, π).¶Y = sin Xó›. 49. X, Y ’·,©O—lë©ŸB(n, p)⁄B(m, p). (a) Oé^áV«P(X = k|X + Y = n), k = 0, 1, ..., n, (b) â—^áX + Y = ne,X©Ÿ. 50. X ∼ U(0, 6π),¶Y = R cos XV«ó›. 51. ¶ÕˆzmÖ2minu—òg]m
,Õˆ3¬
&“âåSñ 3ı ûm‚U±0.95V«¬
. 52. (1) ÎYºÍ˜vf(x+y) = f(x)+f(y), x, y > 0,Kk~Ía¶f(x) = ax, x ≥ 0, (2) XJÎYºÍg(x)˜vg(x + y) = g(x)g(y), x, y > 0,Kk~Íb¶g(x) = e bx, x ≥ 0. 53. (X, Y )kÈ‹©Ÿ F(x, y) =    (1 − e −2x )(1 − e −y ), x, y ≥ 0, 0, Ÿ¶. y²:k31òñÅD = {(x, y)|x, y > 0}•ÎYºÍf(x, y)¶È?¤(a, b) ∈ D, P(x ≤ a, y ≤ b) = Z a −∞ Z b −∞ f(x, y)dxdy. 7

《概率论》补充习题第三章 54.对于上题中的随机向量(X,Y),计算Fx(x)=P(X≤x),F(y)=P(Y≤y),证 明:X,Y独立 55.设随机向量(x1,X2,…,Xx+)服从多项分布 P(X1=k1,X2=k2 kr) 内内2…p 其中k≥0,∑1k=n对1≤k≤T,求Y=X1+X2+…+Xk的概率分布 56.设离散随机向量(X,Y)有如下的概率分布 4 0.060.050.040.010.02 20.050.100.100.050.03 30.070.050.010.020.02 40.050.020.010.010.03 50.050.060.050.020.02 (a)求X,Y的边缘分布, (b)求U=max(X,Y)的分布, (c)求V=min(X,Y)的分布, d)计算P(X=2|Y=3) 57.设(X,Y)有联合密度f(x,y),a,b是非零常数,c是常数已知ax+bY=c的条件 下、(X,Y)有联合密度吗? 8.如果X是连续型随机变量,Y是离散型随机变量,X和Y独立,则对任何常数c,P(X Y+c)=0. 59.证明:X1,X2,…,Yxn相互独立的充分必要条件是对任何(x1,x2,…,xn),有 F(x1,x2,…,xn)=F1(x1)F2(x2)…Fn(xn) 60.设a是常数(X,Y)有联合密度 a2y, 22<y<1 1=10其他 求X,Y的边缘密度,证明X,Y不独立 61.设随机变量X,Y都只取值-1,1,满足 P(X=1)=1/2,P(Y=1X=1)=P(Y=-1X=-1)=1/3 8

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 54. Èu˛K•ëÅï˛(X, Y ),OéFX(x) = P(X ≤ x), FY (y) = P(Y ≤ y),y ²:X, Y ’·. 55. ëÅï˛(X1, X2, ..., Xτ )—lıë©Ÿ P(X1 = k1, X2 = k2, ..., Xτ = kτ ) = n! k1!k2!...kτ ! p k1 1 p k2 2 ...pkτ τ , Ÿ•ki ≥ 0, Pτ i=1 ki = n.È1 ≤ k ≤ τ ,¶Y = X1 + X2 + ... + XkV«©Ÿ. 56. l—ëÅï˛(X, Y )kXeV«©Ÿ. X 1 2 3 4 5 1 0.06 0.05 0.04 0.01 0.02 2 0.05 0.10 0.10 0.05 0.03 3 0.07 0.05 0.01 0.02 0.02 4 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 5 0.05 0.06 0.05 0.02 0.02 (a) ¶X, Y >©Ÿ, (b) ¶U = max(X, Y )©Ÿ, (c) ¶V = min(X, Y )©Ÿ, (d) OéP(X = 2|Y = 3). 57. (X, Y )kÈ‹ó›f(x, y), a, b¥ö"~Í,c¥~Í,ÆaX + bY = c^á e,(X, Y )kÈ‹ó›Ì? 58. XJX¥ÎY.ëÅC˛,Y ¥l—.ëÅC˛,X⁄Y ’·,KÈ?¤~Íc, P(X = Y + c) = 0. 59. y²:X1, X2, ..., XnÉp’·ø©7á^á¥È?¤(x1, x2, ..., xn),k F(x1, x2, ..., xn) = F1(x1)F2(x2)...Fn(xn). 60. a¥~Í,(X,Y)kÈ‹ó› f(x, y) =    ax2y, x2 ó›,y²X, Y ÿ’·. 61. ëÅC˛X, Y —êä-1,1,˜v P(X = 1) = 1/2, P(Y = 1|X = 1) = P(Y = −1|X = −1) = 1/3. 8

《概率论》补充习题第三章 a)求(X,Y)的联合分布, (b)求的方程t2+Xt+Y=0有实根的概率 62.设随机向量(X,Y)的联合密度为 f(x,y)=C-+y2)22+y2≤2 其他 (a)求常数C, (b)当R=2时,随机向量(X,Y)落在以原点为圆心,以r=1为半径的区域内的概率 是 多少? 63.设A1,A2,…,An是试验S的完备事件组,p=P(A1)对试验S进行m次独立重复试验 时,用x表示A发生的次数 n证明:随机变量X1,X2,,Xn不是相互独 立的 64.设X在(0,1)上均匀分布,已知X=x时Y在(x,1)中均匀分布求条件密度x(y) 65.设随机变量X,Y独立,X有概率密度函数f(x),Y有离散分布 P(Y=a1)=p>0,=1,2,…, 证明若a1,a2,都不为0,则Z=XY有密度函数 h(2)=∑ 若有某个a=0,则XY没有概率密度函数 66.X,Y都是连续型随机变量,(X,Y)是连续型随机向量吗?X+Y是连续型随机变量 67.如果随机向量(X,Y)有如下的概率分布 P(X=i,Y=1/i)=C,i=1,2,…8. 确定常数c,并求X,Y的概率分布 68.设X,Y独立同分布证明: P(aa)-P(X>b) 69.设(X,Y)在椭圆 (x+y)2,(x-y) 内均匀分布求联合密度 9

5V«ÿ6÷øSK1nŸ (a) ¶(X, Y )È‹©Ÿ, (b) ¶têßt 2 + Xt + Y = 0k¢äV«. 62. ëÅï˛(X, Y )È‹ó›è f(x, y) =    C(R − p x 2 + y 2), x2 + y 2 ≤ R2 0, Ÿ¶. (a) ¶~ÍC, (b) R = 2û,ëÅï˛(X, Y )·3±:è%,±r = 1è媴çSV« ¥ı? 63. A1, A2, ..., An¥£SØá|,pi = P(Ai),È£S?1ng’·­E£ û, ^XiL´Aiu)gÍ,i = 1, 2, ..., n.y²:ëÅC˛X1, X2, ..., Xnÿ¥Ép’ ·. 64. X3(0,1)˛˛!©Ÿ,ÆX = xû,Y 3(x,1)•˛!©Ÿ.¶^áó›fY |X (y|x). 65. ëÅC˛X, Y ’·,XkV«ó›ºÍf(x),Y kl—©Ÿ P(Y = ai) = pi > 0, i = 1, 2, ..., y²:ea1, a2, ...—ÿè0,KZ = XY kó›ºÍ h(z) = X∞ i=1 pi |ai | f  z ai  , ek,áai = 0,KXY vkV«ó›ºÍ. 66. X, Y —¥ÎY.ëÅC˛,(X, Y )¥ÎY.ëÅï˛Ì?X + Y ¥ÎY.ëÅC˛ Ì? 67. XJëÅï˛(X, Y )kXeV«©Ÿ: P(X = i, Y = 1/i) = c, i = 1, 2, ..., 8. (½~Íc,ø¶X, Y V«©Ÿ. 68. X, Y ’·”©Ÿ,y²: P(a a) − P 2 (X > b). 69. (X, Y )3˝ D = n (x, y) : (x + y) 2 8 + (x − y) 2 2 ≤ 1 o S˛!©Ÿ,¶È‹ó›. 9

《概率论》补充习题第三章 70.设随机向量(X,Y)有联合密度 a(6-x-y),0Y 72.设X,Y独立,X~E(入),Y~E().求min(X,Y),max(x,Y)的概率密度 73.设(X,Y)有联合密度 (.me-r, 0<y<I, 0,其他 求X,Y的边缘密度 74.设(X,Y)有联合密度 1,ly<x,x∈(0,1), f(, y) 0.其他 求条件密度f1x(yx),fxp(aly 75.(X,Y)有联合密度∫(x)9(y),(U,V)有联合密度 f(u)g(U),a≥U, p(u,U)= (a)求U,V的边缘密度,(b)证明a=P(X≥Y) 76.设X,Y独立,且都在(0,1)上均匀分布计算Z=X+Y的概率密度 77.设p∈(0,1),0<a<(1-p)/p如果一个家庭有n个小孩的概率 ≥1, 1-ap/(1-p),n=0 设男婴和女婴的出生是等可能的求一个家庭有k个男孩的概率 78.设X在(0,1)上均匀分布已知X=x时,Y在(x,1)中均匀分布求(X,Y)的联合密度f(x,y)和Y的 边缘密度fy(y)

5V«ÿ6÷øSK1nŸ 70. ëÅï˛(X, Y )kÈ‹ó› f(x, y) =    a(6 − x − y), 0 Y ). 72. X, Y ’·,X ∼ ε(λ), Y ∼ ε(µ). ¶min(X, Y ), max(X, Y )V«ó›. 73. (X, Y )kÈ‹ó› f(x, y) =    e −x , 0 ó›. 74. (X, Y )kÈ‹ó› f(x, y) =    1, |y| ó›, (b)y²α = P(X ≥ Y ). 76. X, Y ’·,Ö—3(0,1)˛˛!©Ÿ,OéZ = X + Y V«ó›. 77. p ∈ (0, 1), 0 ó›fY (y). 10