《概率论》补充材料 50个反例 复旦大学管理学院统计学系 2009年5月30日
5VÇØ6Ö¿á — 50~ EÆ+nÆÚOÆX 2009c530F
1事件之间的关系 (1)从A-B=C推不出A=BUC 当A-B=C时,只能推出 AC BUC.事实上,令 A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7 于是 C=A-B={2,4} 而 B∪C={1,2,3,4,5,7 从而B∪C2A,但是A≠BUC 仅当A→B时,方能得出A=BUC (2)从A=B∪C推不出A-B=C 当A=B∪C成立时,只能推出A-BcC.当BcA,CCA且B∩C≠0 时,可以得出A-B=C.例如,令 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={2,4,5,6} 则有 {1,2,3,4,5,6}=A. A-B={4,5,6} 从而A-B≠C (3)Uk Ak-Uk Bk#Uk (Ak- Bk) 对于一般情况的A,B,C,有 U4k-∪Bkc∪U 例如,令k=2,取 A2={1,2,3,4,5,6},B1={1,2},B2={5,6} 则有 (A1∪A2)-(B1UB2)={3,4},(A1-B1)U(A2-B2)={1,2,3,4,5,6} 从而(A1UA2)-(B1∪B2)≠(A1-B1)U(A2-B2)
1 ¯m'X (1) lA − B = CíØÑA = B ∪ C A − B = C§UíÑA ⊂ B ∪ C. ¯¢þ§- A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}, u´ C = A − B = {2, 4}. B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, l B ∪ C ⊃ A§´A 6= B ∪ C. =A ⊃ B§UÑA = B ∪ C. (2) lA = B ∪ CíØÑA − B = C A = B ∪ C¤á§UíÑA − B ⊂ C. B ⊂ A§C ⊂ A B ∩ C 6= ∅ §±ÑA − B = C. ~X§- A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3}, C = {2, 4, 5, 6}. Kk B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A. A − B = {4, 5, 6}. l A − B 6= C. (3) S k Ak − S k Bk 6= S k (Ak − Bk) éu¹A§B§C§k [ k Ak − [ k Bk ⊂ [ k (Ak − Bk). ~X§-k = 2§ A1 = A2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B1 = {1, 2}, B2 = {5, 6}. Kk (A1 ∪ A2) − (B1 ∪ B2) = {3, 4}, (A1 − B1) ∪ (A2 − B2) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. l (A1 ∪ A2) − (B1 ∪ B2) 6= (A1 − B1) ∪ (A2 − B2). 1
2从概率关系推不出事件关系 若两个事件A,B之间有关系ACB,则其对应的概率关系如下:P(4)≤P(B) 反之不然 例如,设 P(A)=0.3,P(B)=0.35,P(AUB)=0.35 这时,ACB不成立.事实上,由 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB 及假设可得P(A∩B)=0.3 于是,A-(B∩A)的概率 P(A-B∩A)=P(4)-P(B∩A)=0, 但这不意味着A-B∩A=0 我们改变一下上面所给的条件,就可以用来说明另一种情形.设 P(A)=0.3,P(B)=0.05,P(AUB)=0.35 此时可得P(A∩B)=0,但这不能说明A∩B=0,因而不能得出A,B互斥的结论 通过这两个例子可见,不能由概率关系推出事件关系 3概率为零的事件未必是不可能事件 不可能事件的概率必为零.那么,概率为零的事件是否为不可能事件?回答一般是 否定的 当考虑的对象为古典概率模型,概率按照古典概率定义时,概率为零的事件一定 是不可能事件 但是,当考虑的对象为几何概率模型,概率按几何概率定义时,概率为零的事件 未必是一个不可能事件.例如,设9={(x,y),0≤x,y≤1},A={x=y,0≤x,y≤ 1},显然P(A)=0.但A是可能发生的.另外对于连续性随机变量,它在一点处取值的 概率为零,但它不是不可能发生 2
2 lVÇ'XíØѯ'X eü¯A§Bmk'XA ⊂ B§KÙéAVÇ'XXeµP(A) ≤ P(B)§ Ø,. ~X§ P(A) = 0.3, P(B) = 0.35, P(A ∪ B) = 0.35. ù§A ⊂ Bؤá. ¯¢þ§d P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 9bP(A ∩ B) = 0.3. u´§A − (B ∩ A)VÇ P(A − B ∩ A) = P(A) − P(B ∩ A) = 0, ùØ¿XA − B ∩ A = ∅. ·UCeþ¡¤^§Ò±^5`²,«/. P(A) = 0.3, P(B) = 0.05, P(A ∪ B) = 0.35. dP(A ∩ B) = 0§ùØU`²A ∩ B = ∅§Ï ØUÑA§Bp½(Ø. ÏLùü~f§ØUdVÇ'Xíѯ'X. 3 VÇ"¯7´ØU¯ ØU¯VÇ7". @o§VÇ"¯´ÄØU¯º£´ Ľ. Äé;VÇ .§VÇUì;Vǽ§VÇ"¯½ ´ØU¯. ´§ÄéAÛVÇ .§VÇUAÛVǽ§VÇ"¯ 7´ØU¯. ~X§Ω = {(x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1}§A = {x = y, 0 ≤ x, y ≤ 1}§w,P(A) = 0. A´Uu). , éuëY5ÅCþ§§3:? VÇ"§§Ø´ØUu). 2
4非离散型又非连续型的分布函数 例设 0<x≤1, 则F(x)是一个分布函数.但是,F(x)显然不是离散型的,也非连续型的 5有限可加而非可列可加的概率测度 设9是[0,1中所有有理数组成的集合,万1表示由形式为l,b],(a,列a,b),(a,b)所组 成的Ω的子集类,这里a,b都为有理数令F2表示由1中所有不相交的集合的有限并组 成的集合.则F2是一个域.我们在这个域上定义概率测度 P(A)=b-a,如果A∈万1, P(B)=∑P(A),如果B∈F2 这里B∈升2表示B=∑=1A1,A1∈1 考虑F2中两个不相交的集合B,B’,即 其中A1,A∈万1,且A,A都互不相交.则B+B=∑m+1Ck,这里Ck=A或 者Ck=4接下来, PB+B)=P∑C)=∑PCA)=∑(P(A1)+P(4) ∑P(A)+∑P(4)=P(B)+PB 易知,P满足有限可加性 对于每个单点集{r}∈,P({r})=0.由于集合Ω是可数集,即 1{ra} P)=1≠0=∑P({r) 即P非可列可加 3
4 lÑ.qëY.©Ù¼ê ~ F(x) = 0, x ≤ 0, 1+x 2 , 0 1. KF(x)´©Ù¼ê. ´§F(x)w,Ø´lÑ.§ëY.. 5 k\ \VÇÿÝ Ω´[0, 1]¥¤kknê|¤8ܧF1L«d/ª[a, b],(a, b], [a, b),(a, b)¤| ¤Ωf8a§ùpa, bÑknê. -F2L«dF1¥¤kØ8Ük¿| ¤8Ü. KF2´. ·3ùþ½ÂVÇÿݵ P(A) = b − a, XJA ∈ F1, P(B) = Xn i=1 P(Ai), XJ B ∈ F2. ùpB ∈ F2L«B = Pn i=1 Ai§Ai ∈ F1. ÄF2¥üØ8ÜB§B0§= B = Xn i=1 Ai , B0 = Xm j=1 A 0 j , Ù¥Ai§Aj ∈ F1§ Ai§AjÑpØ. KB + B0 = Pm+n k=1 Ck§ùpCk = Ai½ öCk = A0 j . e5§ P(B + B 0 ) = P( X k Ck) = X k P(Ck) = X i,j (P(Ai) + P(A 0 j )) = X i P(Ai) +X j P(A 0 j ) = P(B) + P(B 0 ). ´§P÷vk\5. éuzü:8{r} ∈ F2§P({r}) = 0. du8ÜΩ´ê8§=Ω = P∞ i=1{ri}§ K P(Ω) = 1 6= 0 = X∞ i=1 P({ri}), =P\. 3
6边际分布与联合分布可以不是同类型分布 我们知道,正态分布的边际分布仍为正态分布,多项分布的边际分布亦为多项分 布.那么是否联合分布与边际分布皆为同一种类的分布呢?一般回答是否定的,这种问 题的例子很多 例如,随机变量(51,52)有联合密度函数 ∫(x,y)= [1+xy(x2+y2)],|a≤1l≤1, 反 则51,52的密度函数分别为fa1(x)=1/2,|≤1,f2(y)=1/2,l≤1.显然,三者 不是同一类型的分布 7由边际分布无法求出联合分布 由两个随机变量,m的联合分布f(x,y)可以很容易地计算出它们各自的边际分 布f∈(x)和fn(y).但是,若仅知道,n各自的边际分布,却可能求不出它们的联合分布 例如,把三个球放在三个盒中.这时样本空间有27个点,令N表示的是3个球随机 的放入三个盒中被装进球的盒子的个数,X表示第i个盒子中球的个数(=1,2,3),对 于每个样本点赋以概率=q此时,形式上考虑(N,X1)的联合分布由下表给出 23N的分布 2 3 q 060= X1的分布 q 显然无法由X1,N的边际分布得出(X1,N)的联合分布.造成这种情形的原因在 于X1与N不独立 8相同边际分布但是联合分布不同-1 若随机向量(X1,,Xn)的分布函数为F(x1,…,xn),则边际分布Fk(xk),k=1,…,n被 唯一确定,但反之不然
6 >S©ÙéܩٱشÓa.©Ù ·§©Ù>S©ÙE©Ù§õ©Ù>S©Ù½õ© Ù. @o´ÄéÜ©Ù>S©ÙÓ«a©ÙQº£´Ä½§ù«¯ K~féõ. ~X§ÅCþ(ξ1, ξ2)kéÜݼê f(x, y) = ( 1 4 1 + xy(x 2 + y 2 ) , |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, 0, . Kξ1§ξ2ݼê©Ofξ1 (x) = 1/2§|x| ≤ 1§fξ2 (y) = 1/2§|y| ≤ 1. w,§nö Ø´Óa.©Ù. 7 d>S©ÙÃ{¦ÑéÜ©Ù düÅCþξ§ηéÜ©Ùf(x, y)±éN´/Oѧg>S© Ùfξ(x)Úfη(y). ´§e=ξ, ηg>S©Ù§%U¦ØѧéÜ©Ù. ~X§rn¥3nÝ¥. ù mk27:§-NL«´3¥Å \nÝ¥C?¥Ýfê§XiL«1iÝf¥¥ê(i = 1, 2, 3). é uz :D±VÇ 1 27 = q. d§/ªþÄ(N, X1)éÜ©ÙdeLÑ. ❍ N ❍❍❍❍❍❍ X1 0 1 2 3 N©Ù 1 2q 0 0 q 3q=1 9 2 6q 6q 6q 0 18q=2 3 3 0 6q 0 0 6q=2 9 X1©Ù 8q 12q 6q q 1 w,Ã{dX1§N>S©ÙÑ(X1, N)éÜ©Ù. E¤ù«/Ï3 uX1NØÕá. 8 Ó>S©Ù´éÜ©ÙØÓ-1 eÅþ(X1, .., Xn)©Ù¼êF(x1, .., xn)§K>S©ÙFk(xk), k = 1, ..., n (½§Ø,. 4
例令p={Px,i,j=1,2,…}是一个二维离散分布选择两个点(x1,y)和(x2,y2) 满足每个点上都有正的概率且x1≠x2,≠v.取使得0<ε≤p1,0<E≤p.考 虑q={qy,i,=1,2,…},定义如下 q11=p11-E,q12=p12+E,q1=p21+E,q2=p22-E, 对于其余的,j≠1,2,令=p易得q也是一个二维分布,且和p有着同样的边际分 布,虽然P≠q 9相同边际分布但是联合分布不同-2 例假定F和F2的密度函数分别为f1和f2考虑函数 f(x1,x2)=f1(x1)f2(x2)[1+(2F1(x1)-1)(2F2(x2)-1),(x1,x2)∈R 其中ε为任意实数,且满足||≤1.可以看出∫是一个密度函数,且它的边际密度函数分 别为∫和戶2,与ε无关,故确定了边际分布也无法确定联合分布 10相同边际分布,但是联合分布不同-3 虽然,边际分布函数由联合分布函数唯一决定,但反之却不成立.也就是说,不相 同的分布函数却可以有相同的边际分布函数.下面举出一例 设有两个二元分布函数为F(x,y)及G(x,y),分别有密度函数为 x+y若0≤x≤1,0≤x≤1 y 0其他 (0.5+x)(0.5+y)若0≤x≤1,0≤x≤1, 其他 易知F,G不恒等.然而,两对边际分布函数却相等,因为他们的两对密度函数相等.事 实上 g(x,y)dy=0.5+ f(a,y)dx=/g(a, y)dx=0.5+y
~ -p = {pij , i, j = 1, 2, ...}´lÑ©Ù. ÀJü:(x1, y1)Ú(x2, y2)§ ÷vz:þÑkVÇ x1 6= x2§y1 6= y2. ε¦0 S© Ù§,p 6= q. 9 Ó>S©Ù´éÜ©ÙØÓ-2 ~ b½F1ÚF2ݼê©Of1Úf2. ļê f(x1, x2) = f1(x1)f2(x2)[1 + ε(2F1(x1) − 1)(2F2(x2) − 1)], (x1, x2) ∈ R 2 , Ù¥ε?¿¢ê§ ÷v|ε| ≤ 1. ±wÑf´Ý¼ê§ §>SÝ¼ê© Of1Úf2§εÃ'§(½ >S©ÙÃ{(½éÜ©Ù. 10 Ó>S©Ù§´éÜ©ÙØÓ-3 ,§>S©Ù¼êdéÜ©Ù¼êû½§%ؤá. Ò´`§Ø Ó©Ù¼ê%±kÓ>S©Ù¼ê. e¡ÞÑ~. kü©Ù¼êF(x, y)9G(x, y)§©OkÝ¼êµ f(x, y) = ( x + y e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦, g(x, y) = ( (0.5 + x)(0.5 + y) e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦. ´F, GØð . , §üé>S©Ù¼ê% §Ï¦üéݼê . ¯ ¢þ Z ∞ −∞ f(x, y)dy = Z ∞ −∞ g(x, y)dy = 0.5 + x, Z ∞ −∞ f(x, y)dx = Z ∞ −∞ g(x, y)dx = 0.5 + y. 5
11二维概率密度函数连续,边际密度函数不一定连续 例令 f(x,y)=(2√2)-1exp(--32y2),(x,y)∈R (1) 容易验证∫是一个概率密度函数对于第一个边际密度函数 0, 0, f1()=fexp(-|x),x≠0 易知,虽然∫连续,但f1在x=0处不连续 注意到函数∫只有一点不连续.现在我们根据f构造一个新的连续的密度函数,使 它的边际密度函数有无穷多个不连续点 令{rk,k≥1}为一组已排序的有理数,令 g(x,y)=∑2f(x-rn,y) 易知(1)中f在R2中有界,(3)式中右端的级数在R2中一致收敛另外,g是 个处处连续的概率密度函数,它的边际密度函数为 91(a 2-f1(x-rn) 同理易知(4)式右端的级数一致收敛,但是在有理数点n1,r2,…上卯1都不连续.虽 然它在其他无理数点都是连续的 12数学期望不存在的离散型随机变量 在离散型随机变量的数学期望定义中(见《概率论基础》,p.172),要求级 数∑1kPk绝对收敛易知,若绝对收敛,则级数∑≥1xkPk收敛,反之不然 例设随机变量X取值为 k 相应的概率为 24,k=1,2
11 VÇݼêëY§>SݼêؽëY ~ - f(x, y) = (2√ 2π) −1 |x| exp(−|x| − 1 2 x 2 y 2 ), (x, y) ∈ R 2 . (1) N´yf´VÇݼê. éu1>Sݼê f1(x) = ( 0, x = 0, 1 2 exp(−|x|), x 6= 0. (2) ´§,fëY§f13x = 0?ØëY. 5¿¼êfk:ØëY. y3·âfE#ëYݼꧦ §>SݼêkáõØëY:. -{rk, k ≥ 1}|®üSknê§- g(x, y) = X∞ n=1 2 −n f(x − rn, y). (3) ´£1¤¥f3R 2¥k.§£3¤ª¥mà?ê3R 2¥Âñ. , §g´ ??ëYVÇݼꧧ>Sݼê g1(x) = X∞ n=1 2 −n f1(x − rn). (4) Ón´£4¤ªmà?êÂñ§´3knê:r1§r2§... þg1 ÑØëY. ,§3Ù¦Ãnê:Ñ´ëY. 12 êÆÏ"Ø3lÑ.ÅCþ 3lÑ.ÅCþêÆÏ"½Â¥£5VÇØÄ:6§p.172¤§¦? ê P∞ i=1 xkpkýéÂñ. ´§eýéÂñ§K?ê P∞ i=1 xkpkÂñ§Ø,. ~ ÅCþX xk = (−1)k 2 k k , k = 1, 2, ... AVÇ pk = 1 2 k , k = 1, 2, ... 6
这是一个离散型的随机变量.由于 k=1 从而EX不存在.然而 ∑kD=∑(-1=-m2 k=1 k=1 13数学期望不存在的连续型随机变量 在数学期望的定义中,要求积分绝对收敛.我们知道,若一个积分绝对收敛则该积 分一定收敛,反之则不一定成立 例设随机变量X的密度函数为 f(x)=1.1 +x2x∈R. 由于f(x)≥0,且 f(e).c=1 故f(x)确实是一个密度函数.但是,因为 11 1/ad( /1+x2=元l(+a), 当a→∞时,ln(1+a2)→∞.故EX不存在 14数学期望存在但方差不存在的随机变量 密度函数为 f(a) /r()(1+2)3 的随机变量X,其数学期望为0,方差不存在 155与n不独立但E(5n)=E5.Em 设5,m为两个随机变量.若和独立,且各自数学期望存在,则 E(m)=E·En
ù´lÑ.ÅCþ. du X∞ k=1 |xk|pk = X∞ k=1 1 k = ∞, l EXØ3. , X∞ k=1 xkpk = X∞ k=1 (−1)k 1 k = − ln 2. 13 êÆÏ"Ø3ëY.ÅCþ 3êÆÏ"½Â¥§¦È©ýéÂñ. ·§eÈ©ýéÂñKTÈ ©½Âñ§Kؽ¤á. ~ ÅCþXݼê f(x) = 1 π · 1 1 + x 2 , x ∈ R. duf(x) ≥ 0§ Z ∞ −∞ f(x)dx = 1. f(x)(¢´Ý¼ê. ´§Ï Z a −a |x| 1 π · 1 1 + x 2 dx = 1 π Z a 0 d(1 + x 2 ) 1 + x 2 = 1 π ln(1 + a 2 ), a → ∞§1 π ln(1 + a 2 ) → ∞. EXØ3. 14 êÆÏ"3 Ø3ÅCþ ݼê f(x) = Γ( 3 2 ) √ πΓ( 1 2 ) · 1 (1 + x 2) 3/2 ÅCþX§ÙêÆÏ"0§ Ø3. 15 ξηØÕáE(ξη) = Eξ · Eη ξ§ηüÅCþ. eξÚηÕ᧠gêÆÏ"3§K E(ξη) = Eξ · Eη. 7
反之则不然 例取Ω=[0,1,S为Ω的博雷尔集,P为通常的勒贝格测度.考虑如下两个随机 变量 E(a)=sin 2a, n(a)=cos 2T 不难得到 e(En)= ES= En=0 取ε足够,使得 As=far: Isin 2T -10, x≤0, C[1+sin("cos uT)]exp(a cos u), 2>0, 其中0<u<,C= u(Cos u)/u 显然,fe(x)≠fn(x),故易证两随机变量分布函数不同.但是它们却有相同的各阶 矩 I JE(a)dx= T(*ly T((cos ur)-n/u=/mfn(a)dr 8
KØ,. ~ Ω = [0, 1]§SΩÆX8§PÏ~VÿÝ. ÄXeüÅ Cþ ξ(x) = sin 2πx, η(x) = cos 2πx. ØJ E(ξη) = Eξ = Eη = 0. εv §¦ Aξ = {x : |sin 2πx − 1| 0, 0, x ≤ 0, fη(x) = ( C[1 + sin(x u cos uπ)] exp(−x u cos uπ), x > 0, 0, x ≤ 0, Ù¥0 < u < 1 2§C = u(cos uπ) 1/u Γ(1/u) . w,§fξ(x) 6= fη(x)§´yüÅCþ©Ù¼êØÓ. ´§%kÓ Ýµ Z ∞ 0 x n fξ(x)dx = Γ(n+1 u ) Γ( 1 u ) (cos uπ) −n/u = Z ∞ 0 x n fη(x)dx. 8
17两两独立但不相互独立-1 所谓事件Ak,k=1,2,…,n两两独立,是指其中任意两个A,A之间都有关系式 P(A14)=P(A)P(A1),(≠j,i,j=1,2,…,n) 成立.而相互独立的定义见《概率论基础》,p143 我们知道,若事件Ak,k=1,2,…,n相互独立,则他们一定两两独立,但反之不 然 例有四张卡片,各有数字112,121,22,211随机变量51,2,3分别表示随 机取得的某张卡片上的第一、第二、第三位数字.取四张卡片的概率相等.由于 P(51=1)=0.5,(=1,2,3) P(5=1)n(5=1)=0.25.(≠j,i,=1,2,3) 所以1,52,53两两独立.但由于 P((51=1)∩(2=1)∩(53=1))=0, P(1=1)·P(2=1)P3=1)=、≠0 故1,2,53不相互独立 18两两独立但不相互独立2 设三维随机向量(X,Y,Z)的联合密度函数为 ∫(x,y,z) in y sin z), y,z<2 其他. 从中可以求出X,Y,Z各自的边际分布,从而可以得出X,Y,Z两两独立但不相互 独立 19两两独立不符合传递律 设三个事件A,B,C.若A与B独立,且与独立,则有A与C独立,我们就说A,B,C的 独立关系符合传递律
17 üüÕáØpÕá-1 ¤¢¯Ak§k = 1, 2, ..., n üüÕ᧴٥?¿üAi§AjmÑk'Xª P(AiAj ) = P(Ai)P(Aj ), (i 6= j, i, j = 1, 2, ..., n) ¤á. pÕá½Â5VÇØÄ:6§p143. ·§e¯Ak§k = 1, 2, ..., n pÕá§K¦½üüÕá§Ø ,. ~ koÜk¡§kêi112§121§222§211. ÅCþξ1§ξ2§ξ3©OL« Å,Ük¡þ1!1!1n êi. oÜk¡VÇ . du P(ξi = 1) = 0.5, (i = 1, 2, 3) P((ξi = 1) ∩ (ξj = 1)) = 0.25. (i 6= j, i, j = 1, 2, 3) ¤±ξ1, ξ2, ξ3üüÕá. du P((ξ1 = 1) ∩ (ξ2 = 1) ∩ (ξ3 = 1)) = 0, P(ξ1 = 1) · P(ξ2 = 1) · P(ξ3 = 1) = 1 8 6= 0. ξ1§ξ2§ξ3ØpÕá. 18 üüÕáØpÕá-2 nÅþ(X, Y, Z)éÜݼê f(x, y, z) = ( 1 8π3 (1 − sin x sin y sin z), 0 S©Ù§l ±ÑX§Y §ZüüÕáØp Õá. 19 üüÕáØÎÜD4Æ n¯A§B§C. eABÕ᧠Õá§KkACÕ᧷Ò`A§B§C Õá'XÎÜD4Æ. 9