§2.4随机向量及其分布 二维随机变量及其分布函数 定义设Ω为随机试验的样本空间, V∈9 定法则 aX(o),YoER 则称二维向量(X,Y)为二维随机变量或二 维随机向量 讨论: 二维随机变量作为一个整体的概率特性; 其中每一个随机变量的概率特性与整体 的概率特性之间的关系
§2.4 随机向量及其分布 定义 设为随机试验的样本空间， ( ) 2 ⎯⎯⎯ ⎯→ X(),Y() R 一定法则 则称二维向量( X , Y )为二维随机变量或二 维随机向量． 二维随机变量及其分布函数 讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性； 其中每一个随机变量的概率特性与整体 的概率特性之间的关系．
二维随机变量的联合分布函数 定义设(X,Y)为二维随机变量,对于任 何一对实数(x,y),事件 (X<x)⌒(Y<y)(记为(X<x,y<y) 的概率P(X<x,Y<y)定义了一个二元实 函数F(x,y),称为二维随机变量(X,F)的分 布函数,即 F(x,y)=P(X<x, Y<y
二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任 何一对实数( x , y )，事件 (X x) (Y y) 定义了一个二元实 函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分 布函数，即 F(x, y) = P(X x,Y y)． (记为 (X x,Y y ) ) 的概率 P(X x,Y y)
分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x,y)表示二维随机变量 (X,Y)的一组可能的取值,则F(x,y)表示(X,F) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率
分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率． x y (x, y)
联合分布函数的性质 (+∞,+∞) 口0≤F(x,y)≤1 F(+∞,+∞)=1 y F(-∞,-∞)=0 -0
联合分布函数的性质 F(−,−) = 0 (+,+) x y 0 F(x, y) 1 F(+,+) =1 (x, y) x y (−,−) ❑
F(x,-∞)=0 F(-∞,y)=0-
F(x,−) = 0 x y − x y F(−, y) = 0 -
口对每个变量单调不减 固定x,对任意的y1y2,F(x1)≤F(xy2) 固定y,对任意的x1<x2,F(x1y)≤F(x23y) 口对每个变量左连续 F(x0,y0)=F(x-0,y0) F(x0,y0)=F( 对于任意的a<b,c<d b F(6, d) -F(b, c)-F(a, d)+ F(a, c)20 事实上F(b,d)-F(bc)-F(a,d)+F(a,c) P(a≤X<b,c≤Y<d)
固定 x ，对任意的 y1< y2 , F (x,y1 ) F (x,y2 ) 固定 y ，对任意的 x1< x2 , F (x1 ,y) F (x2 ,y) F (x0 , y0 ) = F (x0 -0 , y0 ) F (x0 , y0 ) = F (x0 , y0 - 0) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0 事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a X < b , c Y < d) a b c d 对每个变量单调不减 对每个变量左连续 对于任意的a < b , c < d ❑ ❑ ❑
例1设 0,x+y<1 F(,y) ,x+y≥1 讨论F(x,y)能否成为二维随机变量的分布函 数 (0,2) (2,2 解F(2,2)-F(0,2) -F(20)+F(0,0) 0.0 1-1-1+0 故F(x,y)不能作为二维随机变量的分布函数
例1 + + = 1, 1 0, 1 ( , ) x y x y F x y 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函 数？ 解 x y • (0,0) • (2,0) (0,2)• •(2,2) (2,0) (0,0) (2,2) (0,2) F F F F − + − 1 1 1 1 0 = − = − − + 故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数．
注意对于二维随机变量 P(X>a,y>c)≠1-F(a,c) P(X≥a,y≥c) P(a≤X<+,C≤Y<+∞) 1-F(+∞,c) a,+ +.+ -F(an,+∞)+F(a,c) (a,c)(+ac) DX
注意 对于二维随机变量 P(X a,Y c) 1− F(a,c) ( ) ( , ) , = + + P a X c Y P X a Y c ( , ) ( , ) 1 ( , ) F a F a c F c − + + = − + x y a c (a,c) (a,+) (+,+) (+,c)
二维随机变量的边缘分布函数 由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆 不真 Fx(x)=P(Y<x P(X<x,Y<+∞) x x x+0 F(=P(Y<y P(X<+∞,Y<y) F(+∞,y
二维随机变量的边缘分布函数 由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆 不真. F x P(X x) X ( ) = = P(X x,Y +) = F(x,+) F y P(Y y) Y ( ) = = P(X +,Y y) = F(+, y) x y x x y y
例2设二维随机变量(X,)的联合分布函 数为 F(x, y)=AB+arctan+arctan o02)
例2 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函 数为 − + − + + = + x y y C x F x y A B , 2 arctan 2 ( , ) arctan 其中A , B , C 为常数． (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)．