《概率论》补充习题第五章 复旦大学《概率论》国家精品课程课题组 年3月1日 第五章:极限定理 1.若随机变量X服从区间[-1,b上的均匀分布,且有切比雪夫不等式得P{X-1< e}≥2/3则b 2.设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量序列,且X1服从参数为入的指数分布则 X 3.设X1,X2是独立同分布的随机变量序列,且它们的数学期望为0,方差为a2,则随 机变量序列Yn=是∑=1X依概率收敛于 4.设X1,X2,…,x50是独立同分布的随机变量,且X1~B(1,p),则下列不正确的为( A.M∑x B(500,p) C.P{a<∑X1<b≈(b)-(a) D.P{a<∑X<b≈一==)-(=502- 5.设{Xn}是独立同分布的随机变量序列,在()条件下,Xn不服从切比雪夫大数定 A.Xn的概率分布为P{Xn=k}=,k=0,1,2,…; B.Xn服从区间[a,上的均匀分布a<b C.xn的概率密度函数为f(x)=+x,-∞<x<∞; D.Xn的概率密度函数为 g(a) <1
5V«ÿ6÷øSK1 Ÿ EåÆ5V«ÿ6I[°¨ëßëK| 2013c31F 1 Ÿµ4Žn 1. eëÅC˛X—l´m[-1,b]˛˛!©Ÿ,ÖkÉ'»Åÿ ™P{|X − 1| < ε} ≥ 2/3,Kb = , ε = . 2. X1, X2, ..., Xn¥’·”©ŸëÅC˛S,ÖX1—lÎÍèλçÍ©Ÿ,K limn→∞ P nλ Pn i=1 Xi − n √ n ≤ x} = . 3. X1, X2, ...¥’·”©ŸëÅC˛S,ÖßÇÍÆœ"è0,ê èσ 2 , Kë ÅC˛SYn = 1 n Pn k=1 X2 kùV«¬Òu . 4. X1, X2, ..., X500¥’·”©ŸëÅC˛,ÖX1 ∼ B(1, p),Keÿ(è( ). A. 1 500 P500 i=1 Xi P ≈ p; B. P500 i=1 Xi ∼ B(500, p); C. P{a < P500 i=1 Xi < b} ≈ φ(b) − φ(a); D. P{a < P500 i=1 Xi < b} ≈ φ(√ b−500p 500p(1−p) ) − φ(√a−500p 500p(1−p) ). 5. {Xn}¥’·”©ŸëÅC˛S,3( )^áe,Xnÿ—lÉ'»Ååͽ Æ. A. XnV«©ŸèP{Xn = k} = 1 ek! , k = 0, 1, 2, ...; B. Xn—l´m[a, b]˛˛!©Ÿ,a < b; C. XnV«ó›ºÍèf(x) = 1 π(1+x2) , −∞ < x < ∞; D. XnV«ó›ºÍè g(x) = 3 x4 , x ≥ 1, 0, x < 1. 1
《概率论》补充习题第五章 6.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布均服从U(0,1),证明 其中c为常数并求出c的值 7.设随机变量序列X1,X2,…,Xn,两两互不相关,具有有限的期望与方差,且存在 个与n无关的常数c使得var(Xn)≤c,n=1,2,…,证明:对任意给定的e>0,有 P∑X-n∑x)=0 i=1 服从大数定律. 8.设一条自动生产线的产品合格率是0.8,要使一批产品的合格率在0.76与0.84之间的 概率不小于09问这批产品至少要生产多少件? 9.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查 的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数, (1)写出X的概率分布 (2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的 近似值 10.某厂生产的产品平均寿命为2000小时标准差为250小时进行技术改造后,平均寿 命提高到2250小时标准差不变为了确认这一成果,检验的方法是:任意选取若干件 产品进行测试,若产品平均寿命超过2200小时,就确认技术改造成功要使检验通过 的概率超过0.997,至少应检验多少件产品? 11.计算机进行数字计算时遵从四舍五入的原则为简单计,现对小数点后面第一位进行 舍入计算,则误差可以认为服从-0.5,0.5上的均匀分布假定各次运算误差是相互独 立的试求 1.进行n次运算,误差总和的绝对值不超过给定正数a的概率;并计算当n=27,a=2时 此概率的近似值; 2.最多进行多少次运算可使误差总和的绝对值不超过10的概率不小于95%? 3.进行n次计算,平均误差的绝对值小于给定正数e的概率,并计算当n=75,e 0.05时,此概率的近似值 12.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的假设每箱平均重50kg标准 差5kg,若用最大载重量为5000kg汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可 以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0977((2)=0.977)
5V«ÿ6÷øSK1 Ÿ 6. ëÅC˛X1, X2, ..., Xn, ...Ép’·”©Ÿ,˛—lU(0,1),y²: Yn k=1 Xk !1/n P −→ c, n → ∞ Ÿ•cè~Í,ø¶—cä. 7. ëÅC˛SX1, X2, ..., Xn, ...¸¸pÿÉ',‰kkÅœ"Üê ,Ö3ò áÜnÃ'~Íc,¶V ar(Xn) ≤ c, n = 1, 2, ...,y²:È?øâ½ε > 0,k limn→∞ P | 1 n Xn i=1 Xi − 1 n Xn i=1 E(Xi)| ! = 0, =X1, X2, ..., Xn, ... —låͽÆ. 8. ò^gƒ)Ǩ‹Ç«¥0.8,á¶ò1¨‹Ç«30.76Ü0.84Ém V«ÿu0.9,Ø˘1¨ñá)ıá? 9. ,x˙iıc⁄O]L²,3¢r•¢r”20%,±XL´3ëøƒ 100á¢r•œïx˙i¢rÍ, (1) —XV«©Ÿ; (2) |^ï#6-. .d½n,¶¢rÿu14rÖÿıu30rV« Cqä. 10. ,Ç)¨²˛Æ·è2000û,IO è250û.?1E‚UE, ²˛Æ ·Jp2250û,IO ÿC.è (@˘ò§J,uê{¥:?ø¿eZá ¨?1ˇ£, e¨²˛Æ·áL2200û,“(@E‚UE§ı.á¶uœL V«áL0.997,ñAuıá¨? 11. OéÅ?1ÍiOéûÑlo \K.è{¸O,yÈÍ:°1ò†?1 \Oé, Kÿ å±@è—l[-0.5,0.5]˛˛!©Ÿ.b½àg$éÿ ¥Ép’ ·.£¶: 1. ?1ng$é,ÿ o⁄˝ÈäÿáLâ½ÍaV«;øOén=27,a=2û dV«Cqä; 2. Åı?1ıg$éå¶ÿ o⁄˝ÈäÿáL10V«ÿu95%? 3. ?1ngOé,²˛ÿ ˝Èäuâ½ÍεV«,øOén = 75, ε = 0.05û,dV«Cqä. 12. ò)Ç)¨§áùC,zá˛¥ëÅ,bzá²˛50kg,IO 5kg, e^Åå1˛è5000kgðê´$,£|^•%4Žn`²z˝êÅıå ±Cıáß‚Uyÿá1V«åu0.977(Φ(2) = 0.977). 2
《概率论》补充习题第五章 13.设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量,已知E(X)=ak(k=1,2,3,4,证明 当n充分大时随机变量Zn=1∑=1X2近似服从正态分布,并指出其分布参数 14.设X~N(,∑)给出Y=Ax+a服从的分布 15.设n维随机向量X~N(p,∑)正定求Y=∑=1X服从的分布 16.设X1,X2,…,Xn独立同分布都服从N(p,a2)分布, (1)求Sn=X1+X2+…+Xn的分布 (2)求Sn/m的分布, (3)求Y=a1X1+a2X2+….+anXn的分布 17.设X,Y独立X~(41,02,Y~(2,02).求Z=a+bX+cY的分布 18.设X~N(,2),证明Y=(X-p)/~N(0,1) 19.设{Xk}独立同分布有共同的数学期望μ,证明Sn=∑k=1Xk的依概率增长速度 是n,即对任何c>0,有 imP(n(-e)≤Sn≤n(+))=1 20.设{Xn}独立同分布有共同的数学期望μ和方差a2证明 21.设Xn服从参数λn(>0)的 Poisson分布 P(Xn=k)=AneAn/kl, k=0,1 当λn=nλ,证明: (0 22设某一个年龄段的男性身高Y服从正态分布N(y,03),在已知Y=y的条件下,体 重X服从正态分布N(ay+b,03),其中a(>0),b是常数 (a)求(Y,X)的联合密度 (b)求体重X的密度 23.设Xn独立同分布,有共同的概率密度 6x(1-x),0<x<1, f(x)= 其他 计算概率1意义下的极限limn→n-1∑h=1Xk 24.设(Xx,Y)~N(1,p2;02,02,p).求(X+Y)和(X-Y)独立的充分必要条件
5V«ÿ6÷øSK1 Ÿ 13. X1, X2, ..., Xn¥’·”©ŸëÅC˛,ÆE(Xk ) = αk(k = 1, 2, 3, 4), y² nø©åû,ëÅC˛Zn = 1 n Pn i=1 X2 i Cq—l©Ÿ,øç—Ÿ©ŸÎÍ. 14. X ∼ N(µ, Σ),â—Y = AX + α—l©Ÿ. 15. nëëÅï˛X ∼ N(µ, Σ),Σ½,¶Y = Pn j=1 Xj—l©Ÿ. 16. X1, X2, ..., Xn’·”©Ÿ,——lN(µ, σ2 )©Ÿ, (1)¶Sn = X1 + X2 + ... + Xn©Ÿ, (2)¶Sn/n©Ÿ, (3)¶Y = a1X1 + a2X2 + ... + anXn©Ÿ. 17. X, Y ’·,X ∼ (µ1, σ2 1 ), Y ∼ (µ2, σ2 2 ). ¶Z = a + bX + cY ©Ÿ. 18. X ∼ N(µ, σ2 ),y²Y = (X − µ)/σ ∼ N(0, 1). 19. {Xk}’·”©Ÿ,k”ÍÆœ"µ,y²Sn = Pn k=1 Xk ùV«OÑ› ¥n,=È?¤ε > 0,k limn→∞ P(n(µ − ε) ≤ Sn ≤ n(µ + ε)) = 1. 20. {Xn}’·”©Ÿ,k”ÍÆœ"µ⁄ê σ 2 .y² n 1/3 (Xn − µ) P −→ 0. 21. Xn—lÎÍλn(> 0)Poisson©Ÿ: P(Xn = k) = λ k n e −λn /k!, k = 0, 1, ... λn = nλ,y²: Xn − nλ √ nλ d −→ N(0, 1). 22. ,òác#„I5 pY —l©ŸN(µY , σ2 Y ),3ÆY = y^áe,N X—l©ŸN(ay + b, σ2 X),Ÿ•a(> 0), b¥~Í. (a)¶(Y, X)È‹ó›, (b)¶NXó›. 23. Xn’·”©Ÿ,k”V«ó› f(x) = 6x(1 − x), 0 < x < 1, 0, Ÿ¶. OéV«1ø¬e4Ålimn→∞ n −1 Pn k=1 Xk. 24. (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2; σ 2 1 , σ2 2 , ρ). ¶(X + Y )⁄(X − Y )’·ø©7á^á. 3
25.设(X,Y,Z)~N(p,∑)其中 =5,∑ 341 求X,Y和X+Y,X-Y的密度 6.某计算机平均每天上网5小时标准差是4小时,求一年内上网的时间小于1700小时的 概率 27.某学校学生上课的出勤率是97%全校有5000名学生上课时,求出勤人数少于4880的 概率 28.设选民中赞同某候选人的比例p∈(0.01,0.99).该候选人委托一调查公司对p进行调 查 (a)为了以99%的把握保证p的预测误差不超过1%应要求调查多少选民? (b)如果调查一个选民的费用是3元,调查公司的调查费用应当是多 29.设X是随机变量对正数a>0和c=Eexx)≤ce-ar 30.设{X}是独立同分布的随机序列,4m=EX1,2m=EXm<∞.写出关 于{Xm;k=1,2,…}的弱大数律强大数律和中心极限定理
25. (X, Y, Z) T ∼ N(µ, Σ),Ÿ• µ = 3 5 7 , Σ = 8 3 2 3 4 1 2 1 2 . ¶X, Y ⁄X + Y, X − Y ó›. 26. ,OéŲ˛zU˛ 5û,IO ¥4û,¶òcS˛ ûmu1700û V«. 27. ,ÆÆ)˛ë—ç«¥97%, k5000¶Æ)˛ëû,¶—ç 0⁄c = EeaX x) ≤ ce−ax . 30. {Xk}¥’·”©ŸëÅS,µm = EXm 1 , µ2m = EX2m 1 < ∞. —' u{Xm k ; k = 1, 2, ...}fåÍÆ,råÍÆ⁄•%4Žn. 4