2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求f(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2r-2+an3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为入12+v2.求a的值及一个正交矩阵Q.(2017年) 101 4矩阵A=011.x7为矩阵A的转置,已知(A4)=2,且二次型f=x7A7Ax 10a (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年 5.设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+ax2+(a-1)x3+2x1x3-2x2x3 (1)求二次型∫的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范型是v2+2,求a的值.(2009年 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b2x3)2,记a=(a1,a2,a3)2,B= (b1,b2,b3) (1)证明二次型f对应的矩阵为2aa+BB (2)若a,B正交且均为单位向量.证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2y2+v2.(2013年) (程潘红林鹭整理2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 5. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1)¶g.f› §kAä; (2)eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 ,¶aä. (2009c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα = (a1, a2, a3) T , β = (b1, b2, b3) T . (1) y²g.fÈA› è2α T α + β T β (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛. y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) (ߢ ˘ n) 2