教学内容 有理函数的积分 有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数称之 P(x) ox"+a,x"-+ Q(x)bx"+b,x"-+.+bm-x+b 其中m、都是非负整数;a0,a1…an及b,b1,…,b都是实数 并且a0≠0,b 假定分子与分母之间没有公因式 ()n<m,这有理函数是真分式 (2)n≥m,这有理函数是假分式: 利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 +x+1 例 x2+1=x+ 难点:将有理函数化为部分分式之和 有理函数化为部分分式之和的一般规律: 分母中若有因式(x-a),则分解后为 其中A,A2…4 都是常数 特殊地:k=1,分解后为 (2)分母中若有因式(x2+px+q)2,其中p2-4q<0则分解后为 Mx+N (x2+px+g)(x2+px+)-lx2+px+q 其中M,N都是常数(=1,2 特殊地:k=1分解后为x+Px+q 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 3 x2-5x+6(x-2(x-3)x-2x-3 3=A(x-3)+B(x-2)2 教 学 内 容 一、有理函数的积分 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( )   其中 m、 n 都是非负整数； a a an , , , 0 1  及 b b bm , , , 0 1  都是实数， 并且 a0  0，b0  0 . 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n  m, 这有理函数是真分式； (2) n  m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点：将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 分母中若有因式 k (x − a) ，则分解后为 , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − −  其中 A A Ak , , , 1 2  都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A − （2）分母中若有因式 k (x px q) 2 + + ，其中 4 0 2 p − q  则分解后为 x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( )  其中 Mi Ni , 都是常数 (i =1,2,  , k) . 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + + 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例 1 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A 解：  x + 3 = A(x −3) + B(x − 2)