第4期 刘永波：投资组合优化的可行性规则人工蜂群算法 .495. 由式(14)~(17)可知，对X0,X)eS lim Pr{Xe)∈BI YX(o)∈S}=1 y,x∈S,使得Pr{T(x(t+1):,Xo)= x(t+1)k}>0,Pr{TXo=X)}>0,且与t无关。 4算例与讨论 故，FRABC算法的种群序列{Xo,t=0,1,…,t} 算例来自文献[2]。假设购买股票1手=100 是S4上的齐次不可约非周期Markov链。 股（即Z=100),总投资金额上限C2=10万元，(C2 定理3 FRABC算法的Markov种群序列 C1)/C2=0.2%。拟投资的n(=5)支股票的价格为 {X0,t=0,1,…}以概率1收敛于问题式(3)的满 p=[3.783.723.272.822.10](元/股) 意种群，即limPr{Xo∈B1HXo∈S4}=1。 每支股票的投资金额最多占总金额的60%，进而可 证明假设问题式(3)有惟一最优解。对VX1, 确定购买手数上限 X,∈S,由定理1、2可得如下性质： 1)当X1∈B,X2∈B时，Pr{TX1=X2}>0,Pr 06C2」，i=12,…5 xi= -100p. TX2=X1}>0,即X和X2可互通； 式中L·表示下取整。 2)当X1eB,X2是B时，Pr{TX1=X2}=0,Pr 每支股票的交易手续费比例51：=0.035%，52：= TX2=X,}>0,即X不能通向X2。 0.04%(i=1,2,…,5),且佣金最低额度cmm1= 于是，B为正常返非周期不可约闭集(21，且有 Cin2=10元，Cmn3=cin4=cmn5=5元，5支股票的平 1 lim Pr=X1VXo∈S4}= π(X),X∈B 均收益率列阵为 0,其他 R=[0.016750.008590.051460.0422700462]T 即X一定能进入B内，且满足某极限概率分布 5支股票的风险方差方阵为 π(X)(X∈B)。故 0.01002 0.00319 0.01093 0.00025 0.01786 0.00319 0.00934 -0.00057 -0.01612 -0.01779 0.01093 -0.00057 0.02392 0.01793 0.04677 0.00025 -0.01612 0.01793 0.05139 0.07250 0.01786 -0.01779 0.04677 0.07250 0.15965 根据第2.2节的FRABC算法流程，应用MAT 200,4AGA独立运行一次的函数评价次数为N×tm= LAB编写程序，控制参数设置为：蜂群规模N=40, 4000。由表1可知，对于不同的0，应用FRABC算 搜索概率p=0.85,最大迭代代数tm=600,代数阈 法求出的加权优化结果F(x)均明显优于AGA。因 值△1=100。对于不同的风险偏好因子W,对应优化 此，虽然FRABC算法的函数评价次数高于AGA,但 结果见表1（分别独立运行50次，表中为最好结 从优化结果来看，本文认为FRABC算法增加的计 果)。FRABC算法独立运行一次的函数评价次数为 算开销是值得的。 V×t=24000;而文献[2]的参数为N=20,'m= 表1算例中的股票投资策略 Table 1 The stock inevestment strategy in the case 风险偏好 股票交易量x/手 总投资 总收益率 算法 风险率 加权值 因子0 4 金额C/元 f/% 8/% F/% AGA 119 81 2 67 25 99912 2.2608 0.6091 -0.6091 0.0 FRABC 36 162 0 92 0 99816 1.7661 0.2546 -0.2546 AGA 22 114 63 51 68 99987 3.4416 1.0687 -0.6176 0.1 FRABC 分 162 0 100 0 99804 1.8229 0.2591 -0.0509 AGA 16 99 100 35 69 99936 3.8075 1.3076 -0.2846 0.2 FRABC 0 162 39 95 0 99807 2.2358 0.3415 0.1740 AGA 17 76 125 32 73 99927 4.2052 1.6718 0.0913 0.3 FRABC 0 136 82 80 0 99966 2.6940 0.5064 0.4537摇 摇 由式渊 员源冤 耀 渊 员苑冤 可知袁对载渊贼冤 袁 载渊贼垣员冤 杂晕蕴 袁 赠袁 曾 耀  杂袁 使 得 孕则 喳 栽员 渊 曾渊贼 垣 员冤噪 袁 载渊贼冤 冤 越 曾渊贼 垣 员冤噪 札跃园袁孕则喳 栽载渊贼冤 越 载渊贼垣员冤 札 跃 园袁且与 贼 无关遥 故袁云砸粤月悦 算法的种群序列喳载渊贼冤 袁 贼 越 园袁员袁噎袁贼皂葬曾 札 是 杂晕蕴 上的齐次不可约非周期 酝葬则噪燥增 链遥 定理 猿 摇 云砸粤月悦 算法的 酝葬则噪燥增 种群序列 喳载渊贼冤 袁 贼 越 园袁员袁噎札以概率 员 收敛于问题式渊猿冤的满 意种群袁即 造蚤皂 贼寅 孕则喳载渊贼冤 沂 月 渣 坌载渊园冤 沂 杂晕蕴 札 越 员遥 证明 假设问题式渊猿冤有惟一最优解遥 对载员 袁 载圆杂晕蕴 袁由定理 员尧圆 可得如下性质院 员冤 当 载员 月袁 载圆 月 时袁 孕则 喳 栽载员 越 载圆 札 跃 园袁 孕则 喳栽载圆 越载员 札跃园袁即 载员和 载圆可互通曰 圆冤 当 载员 月袁 载圆 月 时袁 孕则 喳 栽载员 越 载圆 札 越 园袁 孕则 喳栽载圆 越载员 札跃园袁即 载员不能通向 载圆 遥 于是袁月 为正常返非周期不可约闭集咱圆员暂 袁且有 造蚤皂 贼寅 孕则喳载渊贼冤 越 载 渣 坌载渊园冤 沂 杂晕蕴 札 越 仔渊载冤 袁载 沂 月 园袁其他 即 载渊贼冤 一定能进入 月 内袁且满足某极限概率分布 渊载冤 渊载 月冤 遥 故 造蚤皂 贼寅 孕则喳载渊贼冤 沂 月 渣 坌载渊园冤 沂 杂晕蕴 札 越 员 源摇 算例与讨论 摇 摇 算例来自文献咱圆暂遥 假设购买股票 员 手 越 员园园 股渊即 在 越 员园园冤 袁总投资金额上限 悦圆 越 员园 万元袁渊悦圆 原 悦员 冤 辕 悦圆 越 园援圆豫遥 拟投资的 灶渊 越 缘冤支股票的价格为 责 越   猿援苑愿 猿援苑圆 猿援圆苑 圆援愿圆 圆援员园 栽 渊元 辕 股冤 每支股票的投资金额最多占总金额的 远园豫袁进而可 确定购买手数上限 曾 原 蚤 越  园援远悦圆 员园园责蚤 袁蚤 越 员袁圆袁噎袁缘 式中院窑表示下取整遥 每支股票的交易手续费比例 孜员 蚤 越 园援园猿缘豫袁孜圆 蚤 越 园援园源豫 渊 蚤 越 员袁 圆袁噎袁 缘冤袁 且佣金最低额度 糟皂蚤灶 员 越 糟皂蚤灶 圆 越 员园 元袁糟皂蚤灶 猿 越 糟皂蚤灶 源 越 糟皂蚤灶 缘 越 缘 元袁缘 支股票的平 均收益率列阵为 砸 越   园援园员远 苑缘 园援园园愿 缘怨 园援园缘员 源远 园援园源圆 圆苑 园援园怨源 远圆 栽 摇摇缘 支股票的风险方差方阵为 撞 越 摇 园援园员园 园圆 摇 园援园园猿 员怨 摇 园援园员园 怨猿 摇 园援园园园 圆缘 摇 园援园员苑 愿远 摇 园援园园猿 员怨 摇 园援园园怨 猿源 原 园援园园园 缘苑 原 园援园员远 员圆 原 园援园员苑 苑怨 摇 园援园员园 怨猿 原 园援园园园 缘苑 摇 园援园圆猿 怨圆 摇 园援园员苑 怨猿 摇 园援园源远 苑苑 摇 园援园园园 圆缘 原 园援园员远 员圆 摇 园援园员苑 怨猿 摇 园援园缘员 猿怨 摇 园援园苑圆 缘园 摇 园援园员苑 愿远 原 园援园员苑 苑怨 摇 园援园源远 苑苑 摇 园援园苑圆 缘园 摇 园援员缘怨 远缘                 摇 摇 根据第 圆援圆 节的 云砸粤月悦 算法流程袁应用 酝粤栽鄄 蕴粤月 编写程序袁控制参数设置为院蜂群规模 晕 越 源园袁 搜索概率 责泽藻葬 越 园援愿缘袁最大迭代代数 贼皂葬曾 越 远园园袁代数阈 值 驻贼 越 员园园遥 对于不同的风险偏好因子 憎袁对应优化 结果见表 员 渊分别独立运行 缘园 次袁表中为最好结 果冤 遥 云砸粤月悦 算法独立运行一次的函数评价次数为 晕伊贼皂葬曾 越 圆源 园园园曰而文献咱圆暂 的参数为 晕 越 圆园袁贼皂葬曾 越 圆园园袁粤郧粤 独立运行一次的函数评价次数为 晕伊贼皂葬曾 越 源 园园园遥 由表 员 可知袁对于不同的 憎袁应用 云砸粤月悦 算 法求出的加权优化结果 云渊曾冤均明显优于 粤郧粤遥 因 此袁虽然 云砸粤月悦 算法的函数评价次数高于 粤郧粤袁但 从优化结果来看袁本文认为 云砸粤月悦 算法增加的计 算开销是值得的遥 表 员摇 算例中的股票投资策略 栽葬遭造藻 员摇 栽澡藻 泽贼燥糟噪 蚤灶藻增藻泽贼皂藻灶贼 泽贼则葬贼藻早赠 蚤灶 贼澡藻 糟葬泽藻 风险偏好 因子 憎 算法 股票交易量 曾 辕 手 曾员 曾圆 曾猿 曾源 曾缘 总投资 金额 悦 辕 元 总收益率 枣辕豫 风险率 早辕豫 加权值 云辕豫 园援园 粤郧粤 员员怨 愿员 圆 远苑 圆缘 怨怨 怨员圆 圆援圆远园 愿 园援远园怨 员 原园援远园怨 员 云砸粤月悦 猿远 员远圆 园 怨圆 园 怨怨 愿员远 员援苑远远 员 园援圆缘源 远 原园援圆缘源 远 园援员 粤郧粤 圆圆 员员源 远猿 缘员 远愿 怨怨 怨愿苑 猿援源源员 远 员援园远愿 苑 原园援远员苑 远 云砸粤月悦 猿园 员远圆 园 员园园 园 怨怨 愿园源 员援愿圆圆 怨 园援圆缘怨 员 原园援园缘园 怨 园援圆 粤郧粤 员远 怨怨 员园园 猿缘 远怨 怨怨 怨猿远 猿援愿园苑 缘 员援猿园苑 远 原园援圆愿源 远 云砸粤月悦 园 员远圆 猿怨 怨缘 园 怨怨 愿园苑 圆援圆猿缘 愿 园援猿源员 缘 摇 园援员苑源 园 园援猿 粤郧粤 员苑 苑远 员圆缘 猿圆 苑猿 怨怨 怨圆苑 源援圆园缘 圆 员援远苑员 愿 摇 园援园怨员 猿 云砸粤月悦 园 员猿远 愿圆 愿园 园 怨怨 怨远远 圆援远怨源 园 园援缘园远 源 摇 园援源缘猿 苑 第 源 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 刘永波院 投资组合优化的可行性规则人工蜂群算法 窑源怨缘窑