复旦大学2005~2006学年第一学期期末考试试卷 答案 1.(本题满分40分,每小题8分) 2=0 (3)y-=e“为极大值。 (4)曲线在(0,1上为上凸,在[+∞)上为下凸,(1,-7)为拐点。 (5) C。 2.(本题满分15分)∫在x=0点连续且可微,f(0)=0,f(0)=1。在其它点 不连续,因此也不可微。 3.(本题满分10分)不一致连续。 4.(本题满分10分)e2。 5.(本题满分15分)x-(1+e)n(1+e+C。 6.(本题满分10分)证明:要证的不等式1+1<1(x<0)等价于 -ln(-x)+1<0(x<0)。 设∫(x)= n(1-x-1n(1-x)+1,则 x+In(1-x) f(x) (x<0)。 考虑g(x)=x+ln(-x),则g(x)=1-,>0(x<0),且g(0)=0,所以 g(x)=x+ln(1-x)<0(x<0) 因此 0(x<0)。 因为limf(x)=0,因此当x<0时成立 f(x) -(-x)+1<lmf(x)=0复旦大学 2005～2006 学年第一学期期末考试试卷 答案 1． （本题满分 40 分，每小题 8 分） （1） yx =−+ 0222 。 （2） 2 1 。 （3） e ex ey 1 = = 为极大值。 （4）曲线在 上为上凸，在 ]1,0( +∞),1[ 上为下凸， − )7,1( 为拐点。 （5） C x x x + − −− 1 ln 1 。 2．（本题满分 15 分） 在 点连续且可微， f x = 0 f = 0)0( ， f ′ = 1)0( 。在其它点 不连续，因此也不可微。 3．（本题满分 10 分）不一致连续。 4．（本题满分 10 分） 。2 e 5．（本题满分 15 分） Ceex 。 x x +++− − )1ln()1( 6．（本题满分 10 分）证明：要证的不等式 1 )1ln( 11 < − + xx （ ）等价于 x < 0 01)1ln( )1ln( <+−− − x x x （ x < 0）。 设 1)1ln( )1ln( )( +−− − = x x x xf ，则 2 )1ln( )( x xx xf + − ′ −= （ x < 0）。 考虑 = + − xxxg )1ln()( ，则 0 1 1 1)( > − ′ −= x xg （ x < 0），且 ，所以 g = 0)0( = + − xxxg < 0)1ln()( （ x < 0）。 因此 0 )1ln( )( 2 > + − ′ −= x xx xf （ x < 0）。 因为 0)(lim ，因此当 时成立 0 = −→ xf x x < 0 <+−− − = 1)1ln( )1ln( )( x x x xf 0)(lim0 = −→ xf x