程,这种约束不是对坐标所加的限制,而是对坐标和速度的关系所加的限制,所以不能减少独立坐标的数 目)非完整约束还可分为:线性非完整约束和非线性非完整约束。 至此我们只讨论了双面约束(不可解约束,固执约束:用等式描述的约束),还有一种用不等式描述 的约束称为单面约束(可解约束,非固执约束),由于它也不能减少独立坐标的数目,因此也可归入非完整 约束(教材39页)。 【例14】质点在球面外滑动,但可向外脱离球面 x2+y2+2≥R2质点脱离球面时,实际上约束不再存在。对坐标没有限制。 在本课程中主要研究双面约束、完整约東。 综上所述,在系统的点的位置和速度上,事先加上一些几何的或者运动学特性的限制,称为约束。约 束条件都可用 约束方程 F(x,y,,,,,)=0 或约束不等式F(x,y2,,,,1)201=1,2,…N,a=1,2,…d<3N 来表达。随着近代科技的发展,约束概念有了扩充。(参阅资料3第11页) 2.广义坐标。 在有约束的情况下,选用适当的坐标系,往往会简化问题。现在,我们来一般地讨论质点系的广义坐标。 广义坐标既称为坐标,当然要满足坐标的基本要求,即坐标的一组取值与质点系的位形之间有一一对应 的关系(广义坐标张成的空间称为位形空间)。广义坐标又应该是相互独立的,即全部约束方程都变为恒等式 义坐标也可以选取得不完全独立。称为有多余坐标的情形。(我们暂不考虑) 【例15】有多余坐标的四连杆机构。(参考资料3第12页例3) 广义坐标之所以称为“广义”,其含义:不仅可以是长度、角度,而且可以是面积、体积等;不仅可以是 几何量,而且可以是其他物理量:不仅可以从各质点的坐标中选取,而且可以引入不是属于任一质点,而是属 于整个质点系的广义坐标(§2.2)。 当然熟知的质点的曲线坐标如:球坐标,柱坐标,平面极坐标以至直角坐标也都是广义坐标的例子 广义坐标的优越性在于能简化问题,这就要求选取得适当。选取适当是指:和系统所受的约束互相协调 能使约束方程化为恒等式:;便于解决我们的问题(在很大程度上依靠经验,应注意积累经验)。 3.广义坐标的数学表述 一系统,N个质点,个完整约束:F(x2,y,,1)=0.1=12,…N,a=12,…<3N 选取n=3N-1个独立的广义坐标q1q2…qn,我们可以通过坐标变换引入广义坐标 =r(q1,q2…,qn,1)i=1,2,…,n或3N个直角坐标表达式。如果约束是稳定的,我们有可能(不是必须) 采用不显含t的坐标变换。例如:在稳定约束x2+y2-R=0下,引入广义坐标b,可以采用: x= rcos e x= rcos(6+ot) (不含1)但也可以采用: ly= Rsin(0+or) (含1) y=Rsin 8 因此上述坐标变换式显含t,并不能推断约束是不稳定的 如果约束是非稳定的,一般说,应采用显含t的变换式=F(q1,92…qn),i=1,2,…N9 程，这种约束不是对坐标所加的限制，而是对坐标和速度的关系所加的限制，所以不能减少独立坐标的数 目)非完整约束还可分为：线性非完整约束和非线性非完整约束。 至此我们只讨论了双面约束（不可解约束，固执约束；用等式描述的约束），还有一种用不等式描述 的约束称为单面约束（可解约束，非固执约束），由于它也不能减少独立坐标的数目，因此也可归入非完整 约束（教材 39 页）。 【例 14】质点在球面外滑动，但可向外脱离球面。 2 2 2 2 x y z R + +  质点脱离球面时，实际上约束不再存在。对坐标没有限制。 在本课程中主要研究双面约束、完整约束。 综上所述, 在系统的点的位置和速度上，事先加上一些几何的或者运动学特性的限制，称为约束。约 束条件都可用 约束方程 F x y z x y z t  ( i i i i i i , , , , , , 0 ) = 或约束不等式 F x y z x y z t ( i i i i i i , , , , , , 0 )  i N = 1,2, ,  =  1,2, 3 d N 来表达。随着近代科技的发展，约束概念有了扩充。(参阅资料 3 第 11 页) 2．广义坐标。 在有约束的情况下，选用适当的坐标系，往往会简化问题。现在，我们来一般地讨论质点系的广义坐标。 广义坐标既称为坐标，当然要满足坐标的基本要求，即坐标的一组取值与质点系的位形之间有一一对应 的关系(广义坐标张成的空间称为位形空间)。广义坐标又应该是相互独立的，即全部约束方程都变为恒等式。 广义坐标也可以选取得不完全独立。称为有多余坐标的情形。（我们暂不考虑） 【例 15】有多余坐标的四连杆机构。（参考资料 3 第 12 页例 3） 广义坐标之所以称为“广义”，其含义：不仅可以是长度、角度，而且可以是面积、体积等；不仅可以是 几何量，而且可以是其他物理量；不仅可以从各质点的坐标中选取，而且可以引入不是属于任一质点，而是属 于整个质点系的广义坐标（§2．2）。 当然熟知的质点的曲线坐标如：球坐标，柱坐标，平面极坐标以至直角坐标也都是广义坐标的例子。 广义坐标的优越性在于能简化问题，这就要求选取得适当。选取适当是指：和系统所受的约束互相协调， 能使约束方程化为恒等式；便于解决我们的问题（在很大程度上依靠经验，应注意积累经验）。 3．广义坐标的数学表述： 一系统， N 个质点， l 个完整约束： F x y z t i N l N  ( i i i , , , 0, 1,2, , 1,2, 3 ) = = =   选 取 n N l = − 3 个 独 立 的广 义 坐 标 1 2 , n q q q ， 我 们 可 以通 过 坐 标变 换 引 入广 义 坐 标 ： ri ri (q1 ,q2 ,  ,qs ,t),i 1,2,  ,n   = = 或 3N 个直角坐标表达式。如果约束是稳定的，我们有可能（不是必须） 采用不显含 t 的坐标变换。例如：在稳定约束 2 2 2 x y R + − = 0 下，引入广义坐标  ，可以采用： cos sin x R y R    =   = （不含 t ）但也可以采用： cos( ) sin( ) x R t y R t      = +   = + （含 t ） 因此上述坐标变换式显含 t ，并不能推断约束是不稳定的。 如果约束是非稳定的，一般说，应采用显含 t 的变换式 r r q q q t i i n = ( 1 2 , , ) ， i N = 1,2