于是得 maxminaj-mnmaxai=aij* 必要性:既然对策G有解,假设mnan在=时达到最大,maxa在j=广时达到 最大,即: maxmin=minaj*j min max a.=max a 而 A=maxmin-minmax ai 故有: - min max a2= max a*≥a. a,;= max min a=mna,;≤a 于是得 ag…≤a…rsar 对于一切=1,2,m,=1,2…,n成立。证毕。 10.2.3混合策略 除前面所述情况外,还会遇到无鞍点的矩阵对策。例如对策矩阵为 则甲、乙双方的可靠赢得和可靠支付如表10-4所示。 这里:V= max min a=-2 表 10-4 V2=min max a,=3 P B甲的可 靠贏得 V≠V2 显然,极大极小原理在这里不适用了, 即在纯策略情况下,这类矩阵对策没有解, 两个局中人都没有最优纯策略 乙的可靠支付3 面对这种情况,局中人应如何选择纯策略呢?通常采用被称为混合策略进行对局。 所谓混合策略,就是局中人为了预防对方识破自己的行动,按照一定概率分布随机地选 择各个纯策略。这时,局中人的赢得被称作“期望赢得”。 对本例来说,如果局中人甲以概率P选取纯策略α,以概率P选取纯策略α2;局 中人乙则以概率q选取纯策略β’以概率φ2选取纯策略β,在这里P2=1-p q2=1-q1。于是甲的期望赢得为:于是得： ma * * x min min max ij ij i j i i j j a a = = a 必要性：既然对策G 有解，假设min 在i ij j a * = i 时达到最大，max ij 在 i a * j = j 时达到 最大，即： ma * x min min ij i j i j j a a = mi * n max max ij ij j i i a a = 而 * * max min min max i j ij ij i i j j a a = = a ≥ a ≤ a 故有： * * mi * * n max max i j ij ij ij j i i a a = = a * * ma * * x min min i j ij i j i j i j j a a = = a 于是得 ij* *i j* *i j a a ≤ ≤ a 对于一切 i=1,2,…,m，j=1,2,…，n 成立。证毕。 10.2.3 混合策略 除前面所述情况外，还会遇到无鞍点的矩阵对策。例如对策矩阵为： 3 2 4 5  −    −  则甲、乙双方的可靠赢得和可靠支付如表 10-4 所示。 这里：V a 1 max min 2 ij i j = = − 表 10-4 β1 β 2 甲的可 靠赢得 α1 3 -2 -2 α2 -4 5 -4 乙的可靠支付 3 5 乙 甲 2 min max 3 ij j i V a = = V V 1 2 ≠ 显然，极大极小原理在这里不适用了， 即在纯策略情况下，这类矩阵对策没有解， 两个局中人都没有最优纯策略。 面对这种情况，局中人应如何选择纯策略呢？通常采用被称为混合策略进行对局。 所谓混合策略，就是局中人为了预防对方识破自己的行动，按照一定概率分布随机地选 择各个纯策略。这时，局中人的赢得被称作“期望赢得”。 对本例来说，如果局中人甲以概率 1 p 选取纯策略α1 ，以概率 2 p 选取纯策略α2 ；局 中人乙则以概率 q1 选取纯策略 β1 ，以概率 q2 选取纯策略 β 2 ，在这里 2 1 p = −1 p ， q2 = −1 q1 。于是甲的期望赢得为：