VG=max(min a)=min(max au,) 这里:VG=2。 这是矩阵对策在纯策略下有解的充分必要条件,是著名的求解矩阵对策的极大极小 原理。一般来说,当甲选择他的第i个纯策略时,已经考虑到最优嬴得,所以他的赢得 不可能比v再小,因此称V为对策的下值;当乙选择他的第j个纯策略和甲对局时,同 样预计了最优支付问题,这时甲的赢得是V2,不可能比V2大,因此称V为对策的上值。 所以有人把极大极小原理写成下面不等式形式 V≤vG≤V2 相应于对策值V的策略(α3和β2)称为局中人(甲、乙)的最优纯策略,记作: B 由最优纯策略组成的对策局势称为最优局势,记为: (a,B) 并且称(a,B)为矩阵对策G的“鞍点”,称V1=V2的矩阵对策为完全确定对策。 现在给出在纯策略中有解的(极大极小)定理及其证明,作为这个问题的结束语。 定理10.2-1矩阵对策G={S,S24在纯策略中有解的充要条件是,存在一个纯局 势(a2B),使得对一切P=12…,m,户=12,…,n,都有 ax≤ 证明:充分性由于一切i,j均有 < 故有: maxa,≤a,和a.≤mina 所以 maxa1≤a*x≤mna 而 min max d1≤maxa2 minai,smax min air 从而得 min max a≤a,≤ max min d 另外有: max min a s min max aIrmax(min ) min(max ) G ij i i j j V = = α αij 这里：VG = 2。 这是矩阵对策在纯策略下有解的充分必要条件，是著名的求解矩阵对策的极大极小 原理。一般来说，当甲选择他的第 i 个纯策略时，已经考虑到最优赢得，所以他的赢得 不可能比V 再小，因此称V 为对策的下值；当乙选择他的第 j 个纯策略和甲对局时，同 样预计了最优支付问题，这时甲的赢得是V ，不可能比V 大，因此称V 为对策的上值。 所以有人把极大极小原理写成下面不等式形式： 1 1 2 2 2 V V 1 2 ≤ G ≤V 相应于对策值VG 的策略（α3和β 2 ）称为局中人（甲、乙）的最优纯策略，记作： * i a * β j 由最优纯策略组成的对策局势称为最优局势，记为： * * ( , ) i j a β 并且称 * * ( , ) i j a β 为矩阵对策G 的“鞍点”，称V1 =V2 的矩阵对策为完全确定对策。 现在给出在纯策略中有解的（极大极小）定理及其证明，作为这个问题的结束语。 定理 10.2-1 矩阵对策G S = { 1 2 , , S A}在纯策略中有解的充要条件是，存在一个纯局 势 * * ( , ) i j a β ，使得对一切 i=1,2,…,m，j=1,2,…，n，都有 ij* *i j* *i j a a ≤ ≤ a 证明：充分性由于一切 i，j 均有 ij* *i j* *i j a a ≤ ≤ a 故有： ma * * x ij i j i a a ≤ *和 * * mi * n i j i j j a a ≤ 所以 ma * * * x min ij i j i j i j a a a ≤ ≤ * 而 mi * n max max ij ij j i i a a ≤ mi * n max min ij ij j j i a a ≤ 从而得： mi * * n max max min ij i j ij j j i i a a ≤ ≤ a 另外有： max min min max ij ij i i j j a a ≤