n 故Fo=f()]=mFo ≠0 +o2(0 注:一般地,若im(x)=f(x),且f(x)古典意义下的傅氏变换Fol=[f1(0)],(m=12,)都 存在,且当n→+∞,函数族{F[m]}收敛,则称该极限为∫(x)在极限意义下的傅氏变换,即 FloJ=slf(x)]= lim Flo] 7.求函数∫(1)=[O6(t+a)+D(-a)+6(+)+(-的傅氏变换。 解F(a)=S[/( 6(+a)cd+」(t dt+ 8.求函数∫()= coSt sin t的傅氏变换。 解F(o)=5[()=cssm-d=Csm2ch=厂2 9.求函数f()=sin3t的傅氏变换 解F)-()=sinl-t 4J(3sint-sin 3r )e-e dr [3(+1)-36(-1)-(+3)+o(-3) 10.求函数∫()=sin(5t+)的傅氏变换 AF F(o)=M/(e" dt= sin(5/+)e"iadt=5(sin 5t+3 cos 5)e"iadt =izo(a+5)-6(0-5+yz(o(a+5)+6(0-5)=2[(3+i)(a+5)+(3-i)6(o-5) 11.证明δ-函数是偶函数,即()=(-1= 1 1 1 1 i i n n ω ω − + − = 2 2 2 i 1 n ω ω − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 故 F[ ] ω =¶ ( ) 2 2 2 2 i , 0 lim [ ] i 1 0, 0 n n f t F n ω ω ω ω ω ω →∞ ⎧ − ⎪ ≠ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = = = ⎨ ⎛ ⎞ + ⎩ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 注： 一般地，若 lim ( ) ( ) n n f x f x →+∞ = ，且 ( ) nf x 古典意义下的傅氏变换 [ ] Fn ω = ¶ ⎡ ⎤ fn (t) ⎣ ⎦ ，( 1 都 存在，且当 ，函数族{ [ n = ,2,") n → +∞ F ω]}收敛，则称该极限为 f (x) 在极限意义下的傅氏变换，即 F[ ] ω =¶[ ( )] lim [ ] n n f x F ω →+∞ = 7．求函数 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a f t = δ δ t + a + −t a + + δ t + − δ t ] 2 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ( ) ( ) 1 i i 2 t t t a e dt t a e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎡ = + + − ⎢⎣∫ ∫ i i 2 2 a a t t t e dt t e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ + + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ∫ ∫ i i i i 2 2 1 2 a a a a e e e e ω ω ω ω − − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ cos cos 2 a a ω = + ω 8．求函数 f ( )t = costsin t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) i cos sin t f t t te dt ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − − +∞ −∞ − − = = e dt e e te dt t t t ωt iω i 2 i 2 i 2 2i 1 sin 2 2 1 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ∫ ∫ +∞ −∞ − + +∞ −∞ − − e dt e dt i 2 t i 2 t 4i 1 ω ω [ ] 2 ( ) 2 2 ( 2 4i 1 = − πδ ω + − πδ ω − ) [ ] ( ) 2 ( 2 2 i = δ ω + −δ ω − π ) 9．求函数 3 f ( )t = sin t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) 3 i sin t f t te dt ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = 1 i (3sin sin 3 ) 4 t t t e dt ω +∞ − −∞ − ∫ i [3 ( 1) 3 ( 1) ( 3) ( 3)] 4 π = + δ ω − δ ω − −δ ω + +δ ω − 。 10．求函数 ( ) sin(5 ) 3 f t t π = + 的傅氏变换。 解 ( ) ( ) i i 1 sin(5 ) (sin 5 3 cos5 ) 3 2 t t F f t e dt t e dt t t e dt ω ω π iωt ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = + = + ∫ ∫ ∫ − 1 3 i [ ( 5) ( 5)] [ ( 5) ( 5)] [( 3 i) ( 5) ( 3 i) ( 5) 2 2 2 π = + π δ ω −δ ω − + π δ ω + +δ ω − = + δ ω + + − δ ω − ] 11．证明δ −函数是偶函数，即δ ( )t t = δ (− )