上海交通大学试卷(A卷) （2010至2011学年第1学期) 时间：2011年1月14日（周五）13：10-15：10 班级 学号 姓名 课程名称 常微分方程参考答案 成绩 一(15分)、判定、选择和填空题： (四n阶非齐次线性方程组空=Ay+f回(4，回≠0在a,)上连续)在 (a,)上有且只有n+1不线性无关的解（√）（判定题） (2)设Φ（红）和（红）是同一个常系数齐次线性方程的两个基解矩阵，则它们之间的关系 是( 存在非奇异常数矩阵C使得(c)=(x)C )(填空题) (3)设(x)是二阶方程”+p(x)+q(x)y=0(p(x),q(x)∈C(a,b),R)的一个非零 解，则(x)在[a,C(a,)上零点的个数（一定有限）（一定有限，一定 无穷，可能有限也可能无穷)。（选择题〉 (④在某区域上解析的微分方程在该区域的任意一点的某邻域中有唯一一个解析解 (√)。（判定题） (⑤)在某区域上连续可微的n阶常微分方程组在该区域上函数独立的首次积分的个数 最多为(n个)。（填空题） 二(40分)、求下列方程的通解或初值问题的解： -(（(w-() ②票+鼎+尝+物=m 同2优+2所-当-1时=oy 国器+院+e-院=0当=1时a=-1 解：(1)先求出齐次方程组的一个基解矩阵，再用常数变易公式可得方程组初值问题的解 是 e'(1-t-t2) x()= e'(2+t-t2) ˛ ° œ å Æ £ Ú ( A Ú) ( 2010 ñ 2011 Æc 1 1 Æœ) ûmµ2011c114F(± ) 13:10–15:10 Å? Æ“ 6¶ ë߶° ~á©êß ÎâY §1 ò £15©§!½!¿J⁄WòKµ (1) n ö‡gÇ5êß| dy dx = A(x)y + f(x) (A(x),f(x) 6≡ 0 3 (a, b) ˛ÎY§3 (a, b) ˛kÖêk n + 1 áÇ5Ã')£ √ )"£½K§ (2)  Φ(x) ⁄ Ψ(x) ¥”òá~X͇gÇ5ê߸áƒ)› ßKßÇÉm'X ¥£ 3ö¤…~Í› C ¶ Φ(x) = Ψ(x)C ).£WòK§ (3)  φ(x) ¥êß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 (p(x), q(x) ∈ C((a, b), R)) òáö" )ßK φ(x) 3 [α, β] ⊂ (a, b) ˛":áÍ £ ò½kÅ §£ò½kÅßò½ ðßåUkÅèåUð§"£¿JK§ (4) 3,´ç˛)¤á©êß3T´ç?øò:,ç•kçòòá)¤) £ √ )"£½K§ (5) 3,´ç˛ÎYåá n ~á©êß|3T´ç˛ºÍ’·ƒg»©áÍ Åıè£ n á §"£WòK§  £40©§!¶eêßœ)½–äØK)µ (1) dx dt =   2 −1 1 0   x +   0 2e t   , x(0) =   1 2  . (2) d 3 y dx3 + d 2 y dx2 + 4 dy dx + 4y = sin x. (3) 2√ x ∂z ∂x + 2√y ∂z ∂y = z, x = 1û, z = cos y. (4) x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + (z − xy) ∂u ∂z = 0, x = 1û, u = yz − 1. )µ(1) k¶—‡gêß|òáƒ)› ß2^~ÍC¥˙™åêß|–äØK) ¥ x(t) =   e t (1 − t − t 2 ) e t (2 + t − t 2 )   1