解：（②）特征方程为 X3+X2+4λ+4=0 其特征根为入=-1,23=士2V工.所以原方程对应的齐次方程的通解为 y(r)=cie+c2 cos(2r)+c3 sin(2x). 令非齐次方程有特解 y'(r)=acosz+bsinz 代入原方程，并化简得到 (3a +3b)cos+(-3a+3b)sin x sin 所以 a=-合6=8 故原方程的通解为 y)=e+aoas2y)+ssim2y-c0sx+sim 其中G,2,9是任意常数 解：(3)考虑对称形式的常微分方程 典些 它有两个函数独立的首次积分 u=VE-V@,v=V万-lnlz以 故原方程的通解为 Φ(VE-Vg,g-lnl0=0, 其中Φ是任意光滑函数。由隐函数存在定理从上述方程解出 v-lnll=w(E-列) 从而 z=evw(E-V列 由初始条件得 cosy=ev6(1-V可 令 ξ=1-v@ 2)µ(2) Aêßè λ 3 + λ 2 + 4λ + 4 = 0 ŸAäè λ1 = −1, λ2,3 = ±2 √ −1. §±êßÈA‡gêßœ)è y(x) = c1e −x + c2 cos(2x) + c3 sin(2x). -ö‡gêßkA) y ∗ (x) = a cos x + b sin x ì\êßßøz{ (3a + 3b) cos x + (−3a + 3b) sin x = sin x §± a = − 1 6 , b = 1 6 êßœ)è y(x) = c1e −x + c2 cos(2x) + c3 sin(2x) − 1 6 cos x + 1 6 sin x, Ÿ• c1, c2, c3 ¥?ø~Í )µ(3) ƒÈ°/™~á©êß dx 2 √ x = dy 2 √y = dz z . ßk¸áºÍ’·ƒg»© u = √ x − √ y, v = √ y − ln |z| êßœ)è Φ(√ x − √ y, √ y − ln |z|) = 0, Ÿ• Φ ¥?ø1wºÍ"d¤ºÍ3½nl˛„êß)— √ y − ln |z| = ω( √ x − √ y). l z = e √yψ( √ x − √ y) d–©^á cos y = e √yψ(1 − √ y). - ξ = 1 − √ y 2