第4期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781· systems,,MAS)的概念"。多智能体系统中各智能 统实现二分一致性的充分条件。 体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文 文中R表示一个实数，R表示一个n×n的 献2]给出了多智能体系统一致性问题的系统基 实数矩阵，x”表示一个n维实数向量，I∈Rmxm为n 础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学 阶单位阵；1n表示向量[11…1]∈R,0n表示向 表达。 量[00…0]eR;diag{d12…n}表示n阶对角阵。 在多智能体系统实际应用中，为解决如机器 人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时 1预备知识 向相反方向飞行问题等。文献[3]研究了存在敌 1.1图论与数学基础 对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二 考虑权重符号图，用三元组G=(V,E,A)来表 分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同 示；其中V={,2,…,yn}表示由一组节点组成的 的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个 集合，EsV×V表示边的集合，节点的下标集合 大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文 N=l,2,…,n,同时A=[a∈R是带权重的符 献[4]分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多 号图G所对应的邻接矩阵，表示权重。如果智 智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证 能体i和智能体j之间存在信息交互，对应邻接 明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最 矩阵A中的元素a非零。边集可以表示为E= 大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。 EUE,E和E分别为边集合中的正边集合和 此外，文献[5-8]在多智能系统二分一致性方面也 负边集合，即E={位，a>0}和E={,)a<0。 做了重要研究。在智能体系统应用中，由于通信 若a≠0，称节点，为节点的邻居，节点y的所 设备发展水平限制各个体之间客观存在通信时 有邻居组成的集合称节点的邻集，记该集合为 延，这一问题严重地影响系统的稳定性。因此， N,即N=UeVI(i,)∈E,i≠j}。带权重符号图的 研究含通信时延的多智能体系统的稳定性在实际 邻接矩阵A=[a∈Rmw,其中元素定义为： 工程中有着至关重要的意义。文献[9-10]通过对 系统进行了频域的分析，同时还利用线性矩阵不 -{共格eE 等式的定理给出了系统在所提出的控制协议中， 本文不考虑带自环的图，即aa=0,i=1,2,…, 允许的时滞上界。文献[11-12]中分别给出了具 n。节点到节点y;的一组边用路径{(v,,), 有常数时延的二阶多智能体系统达成一致的充分 (%),…,(,)}来表示，其中吃是不同的节 必要条件。文献[13]利用线性矩阵不等式理论， 点，m=1,2,…,P,i≠j。如果任意两个节点都存在 对通信时延为常数的二阶多智能体系统给出实现 路径，则无向符号图G是连通的。 一致性收敛的充分条件。对于一般时延线性系 考虑正负混合连接权重矩阵A,若令矩阵 统，文献[14]研究了一种基于观测器的多智能体 L=C-A=[∈Rmw表示无向符号图G的拉普拉 系统控制策略，利用系统转换方法，建立了多智 斯矩阵，则其元素可定义为 能体系统一致性的等价条件。文献[15-16]通过 >ai.j=i 适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性 jEN j≠i 多智能体系统的一致性理论。文献[17-18]针对 通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制 其中C=diag 为图G 算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统 的度矩阵。 环形编队问题。同时，文献[19-22]进一步对考虑 定义12到 对于符号图G,如果节点集V可 时滯约束条件下的多智能系统进行稳定性问题 以分为两个集合V和V,其中，VUV2=V,V1nV2=②， 分析。 且满足以下2个条件： 综合所述，本文研究了具有固定时延和时变 1)若，y∈V,I∈{1,2)，则所有权重a≥0： 时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时 2)若y:∈V,y∈V,1≠q,q∈{1,2)，则所有权 延系统下，利用广义Nyquist准则的方法，分析并 重a时≤0。 得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延 则称该符号图G为结构平衡；否则称该符号 下，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式 图为结构不平衡。 理论，分析得到相较于文献[16]保守性更小的系 引理124若图G为结构平衡时，则存在正systems，MAS) 的概念[1]。多智能体系统中各智能 体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文 献 [2] 给出了多智能体系统一致性问题的系统基 础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学 表达。 在多智能体系统实际应用中，为解决如机器 人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时 向相反方向飞行问题等。文献 [3] 研究了存在敌 对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二 分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同 的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个 大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文 献 [4] 分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多 智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证 明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最 大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。 此外，文献 [5-8] 在多智能系统二分一致性方面也 做了重要研究。在智能体系统应用中，由于通信 设备发展水平限制各个体之间客观存在通信时 延，这一问题严重地影响系统的稳定性。因此， 研究含通信时延的多智能体系统的稳定性在实际 工程中有着至关重要的意义。文献 [9-10] 通过对 系统进行了频域的分析，同时还利用线性矩阵不 等式的定理给出了系统在所提出的控制协议中， 允许的时滞上界。文献 [11-12] 中分别给出了具 有常数时延的二阶多智能体系统达成一致的充分 必要条件。文献 [13] 利用线性矩阵不等式理论， 对通信时延为常数的二阶多智能体系统给出实现 一致性收敛的充分条件。对于一般时延线性系 统，文献 [14] 研究了一种基于观测器的多智能体 系统控制策略，利用系统转换方法，建立了多智 能体系统一致性的等价条件。文献 [15-16] 通过 适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性 多智能体系统的一致性理论。文献 [17-18] 针对 通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制 算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统 环形编队问题。同时，文献 [19-22] 进一步对考虑 时滞约束条件下的多智能系统进行稳定性问题 分析。 综合所述，本文研究了具有固定时延和时变 时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时 延系统下，利用广义 Nyquist 准则的方法，分析并 得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延 下，利用 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式 理论，分析得到相较于文献 [16] 保守性更小的系 统实现二分一致性的充分条件。 R R n×n n×n x n n I ∈ R n×n n 1n [1 1 ··· 1] ∈ R n 0n [0 0 ··· 0] ∈ R n diag{λ1 λ2 ··· λn} n 文中 表示一个实数， 表示一个 的 实数矩阵， 表示一个 维实数向量， 为 阶单位阵； 表示向量 ， 表示向 量 ； 表示 阶对角阵。 1 预备知识 1.1 图论与数学基础 G = (V,E, A) V = {v1, v2,··· , vn} E ⊆ V ×V N = {1,2,··· ,n} A = [ ai j] ∈ R n×n G ai j i j A ai j E = E + ∪ E − E + E − E + = { (i, j)   ai j > 0 } E − = { (i, j)   ai j < 0 } ai j , 0 vj vi vi vi Ni Ni = {j ∈ V |(i, j) ∈ E,i , j} A = [ ai j] ∈ R n×n 考虑权重符号图，用三元组 来表 示；其中 表示由一组节点组成的 集合， 表示边的集合，节点的下标集合 ，同时 是带权重的符 号图 所对应的邻接矩阵， 表示权重。如果智 能体 和智能体 之间存在信息交互，对应邻接 矩阵 中的元素 非零。边集可以表示为 ， 和 分别为边集合中的正边集合和 负边集合，即 和 。 若 ，称节点 为节点 的邻居，节点 的所 有邻居组成的集合称节点 的邻集，记该集合为 ，即 。带权重符号图的 邻接矩阵 ，其中元素定义为： ai j = { 非0, ( vj , vi ) ∈ E 0, 其他 aii = 0,∀i = 1,2,··· , n vi vj {(vi1 , vi2 ) , ( vi2 , vi3 ) ,··· ,(vip−1 , vip ) } vim m = 1,2,··· , p i , j G 本文不考虑带自环的图，即 。节点 到节点 的一组边用路径 来表示，其中 是不同的节 点， ， 。如果任意两个节点都存在 路径，则无向符号图 是连通的。 A L = C− A = [ li j] ∈ R n×n G li j 考虑正负混合连接权重矩阵 ，若令矩阵 表示无向符号图 的拉普拉 斯矩阵，则其元素 可定义为 li j =        ∑ j∈Ni   ai j   , j = i −ai j, j , i C = diag    ∑ j∈N1   a1 j   , ∑ j∈N2   a2 j   ,··· , ∑ j∈Nn   an j       其 中 为 图 G 的度矩阵。 G V V1 V2 V1 ∪V2 = V,V1 ∩V2 = ∅ 定义 1 [23] 对于符号图 ，如果节点集 可 以分为两个集合 和 ，其中， ， 且满足以下２个条件： ∀vi 1) 若 , vj ∈ Vl(l ∈ {1,2}) ，则所有权重 ai j ⩾ 0 ； ∀vi ∈ Vl , vj ∈ Vq,l , q(l,q ∈ {1,2}) ai j ⩽ 0 2) 若 ，则所有权 重 。 则称该符号图 G 为结构平衡；否则称该符号 图为结构不平衡。 引理 1 G [24] 若图 为结构平衡时，则存在正 第 4 期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781·