【人工智能】含时延约束的多智能体系统二分一致性

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第15卷第4期智能系统学报 Vol.15 No.4 2020年7月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul.2020 D0:10.11992tis.201908027 含时延约束的多智能体系统二分一致性冀秀坤，谢广明2，文家燕'，罗文广 (1.广西科技大学电气与信息工程学院，广西柳州5450062.北京大学工学院，北京100871) 摘要：针对多智能体系统中信息交互存在通信时延这一约束，在无向符号图拓扑结构下分别研究了含固定时延和时变时延的一阶多智能体系统二分一致性问题。通过设计相应的控制协议，使得该系统收敛到两个模值相同但符号不同的状态。在稳定性分析中，利用广义Nyquist准则的方法，得到含固定时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件；对含时变时延系统构造包含三重积分项的Lyapunov函数，利用积分不等式和线性矩阵不等式理论，并结合自由矩阵的方法得到含时变时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件。最后，数值仿真验证了所得结论的有效性和正确性。关键词：多智能体系统：无向图；二分一致性：固定时延：时变时延；yquist准则：线性矩阵不等式；自由矩阵中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2020)04-0780-07 中文引用格式：冀秀坤，谢广明，文家燕，等.含时延约束的多智能体系统二分一致性{J引.智能系统学报，2020,15(4)： 780-786. 英文引用格式：JIXiukun,XIE Guangming,WEN Jiayan,.ctal.Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays J CAAI transactions on intelligent systems,2020,15(4):780-786. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays JI Xiukun',XIE Guangming,WEN Jiayan',LUO Wenguang (1.School of Electrical and Information Engineering,Guangxi University of Science and Technology,Liuzhou 545006,China; 2.College of Engineering,Peking University,Beijing 100871,China) Abstract:The aim of this paper is to consider the practical constraint of interaction network associated with multi-agent systems (MASs)subject to communication delay,the bipartite consensus seeking is investigated for the first-order MASs with fixed time-delays and time-varying delays over an undirected signed graph,respectively.To solve the con- cerned problems,the corresponding algorithms oriented for fixed time-delays or time-varying counterpart are proposed. In other words,the consensus is achieved within each subgroup during evolution,in which the state of each subgroup will converge to the same modulus but different symbol.Sufficient condition of bipartite consensus for the interaction network of MASs suffered from fixed time-delays can be obtained by the use of the generalized Nyquist criterion;Fur- thermore,based on the tools of integral inequality and linear matrix inequality,the sufficient condition for the case of bi- partite consensus for the interaction network of MASs with time-varying delays also can be derived through construct- ing a reasonable Lyapunov function with triple integral term.Numerical simulations are provided that demonstrate the effectiveness of our theoretical results. Keywords:multi-agent systems;undirected graph;bipartite consensus,fixed-time delays,time-varying delays,Nyquist criterion;linear matrix inequality;free matrix 收稿日期：2019-08-23. 自然界里存在着许多生物聚集的现象，比如基金项目：国家自然科学基金项目(61963006,61973007 61633002,61563006):广西省自然科学基金项目候鸟迁徙、鱼群逆流、蚁群迁徙等，通过对自然界 (2018 GXNSFAA050029.2018 GXNSFAA294085):广酉自动检测技术与仪器重点实验室基金项目各种群集现象的研究以及对现有的网络模型结构 (YQ20208). 通信作者：文家燕.E-mail:wenjiayan20I5@pku.edu.cn. 的理解，学者们提出了多智能体系统(multi-agent

DOI: 10.11992/tis.201908027 含时延约束的多智能体系统二分一致性冀秀坤1 ，谢广明1,2，文家燕1 ，罗文广1 （1. 广西科技大学电气与信息工程学院，广西柳州 545006; 2. 北京大学工学院，北京 100871）摘要：针对多智能体系统中信息交互存在通信时延这一约束，在无向符号图拓扑结构下分别研究了含固定时延和时变时延的一阶多智能体系统二分一致性问题。通过设计相应的控制协议，使得该系统收敛到两个模值相同但符号不同的状态。在稳定性分析中，利用广义 Nyquist 准则的方法，得到含固定时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件；对含时变时延系统构造包含三重积分项的 Lyapunov 函数，利用积分不等式和线性矩阵不等式理论，并结合自由矩阵的方法得到含时变时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件。最后，数值仿真验证了所得结论的有效性和正确性。关键词：多智能体系统；无向图；二分一致性；固定时延；时变时延；Nyquist 准则；线性矩阵不等式；自由矩阵中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2020)04−0780−07 中文引用格式：冀秀坤, 谢广明, 文家燕, 等. 含时延约束的多智能体系统二分一致性 [J]. 智能系统学报, 2020, 15(4): 780–786. 英文引用格式：JI Xiukun, XIE Guangming, WEN Jiayan, et al. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2020, 15(4): 780–786. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays JI Xiukun1 ，XIE Guangming1,2 ，WEN Jiayan1 ，LUO Wenguang1 (1. School of Electrical and Information Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China; 2. College of Engineering, Peking University, Beijing 100871, China) Abstract: The aim of this paper is to consider the practical constraint of interaction network associated with multi-agent systems (MASs) subject to communication delay, the bipartite consensus seeking is investigated for the first-order MASs with fixed time-delays and time-varying delays over an undirected signed graph, respectively. To solve the concerned problems, the corresponding algorithms oriented for fixed time-delays or time-varying counterpart are proposed. In other words, the consensus is achieved within each subgroup during evolution, in which the state of each subgroup will converge to the same modulus but different symbol. Sufficient condition of bipartite consensus for the interaction network of MASs suffered from fixed time-delays can be obtained by the use of the generalized Nyquist criterion; Furthermore, based on the tools of integral inequality and linear matrix inequality, the sufficient condition for the case of bipartite consensus for the interaction network of MASs with time-varying delays also can be derived through constructing a reasonable Lyapunov function with triple integral term. Numerical simulations are provided that demonstrate the effectiveness of our theoretical results. Keywords: multi-agent systems; undirected graph; bipartite consensus; fixed-time delays; time-varying delays; Nyquist criterion; linear matrix inequality; free matrix 自然界里存在着许多生物聚集的现象，比如候鸟迁徙、鱼群逆流、蚁群迁徙等，通过对自然界各种群集现象的研究以及对现有的网络模型结构的理解，学者们提出了多智能体系统 (multi-agent 收稿日期：2019−08−23. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61963006， 61973007， 61633002， 61563006);广西省自然科学基金项目 (2018GXNSFAA050029，2018GXNSFAA294085);广西自动检测技术与仪器重点实验室基金项目 (YQ20208). 通信作者：文家燕. E-mail：wenjiayan2015@pku.edu.cn. 第 15 卷第 4 期智能系统学报 Vol.15 No.4 2020 年 7 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul. 2020

第4期冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781· systems,,MAS)的概念"。多智能体系统中各智能统实现二分一致性的充分条件。体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文文中R表示一个实数，R表示一个n×n的献2]给出了多智能体系统一致性问题的系统基实数矩阵，x”表示一个n维实数向量，I∈Rmxm为n 础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学阶单位阵；1n表示向量[11…1]∈R,0n表示向表达。量[00…0]eR;diag{d12…n}表示n阶对角阵。在多智能体系统实际应用中，为解决如机器人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时 1预备知识向相反方向飞行问题等。文献[3]研究了存在敌 1.1图论与数学基础对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二考虑权重符号图，用三元组G=(V,E,A)来表分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同示；其中V={,2,…,yn}表示由一组节点组成的的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个集合，EsV×V表示边的集合，节点的下标集合大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文 N=l,2,…,n,同时A=[a∈R是带权重的符献[4]分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多号图G所对应的邻接矩阵，表示权重。如果智智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证能体i和智能体j之间存在信息交互，对应邻接明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最矩阵A中的元素a非零。边集可以表示为E= 大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。 EUE,E和E分别为边集合中的正边集合和此外，文献[5-8]在多智能系统二分一致性方面也负边集合，即E={位，a>0}和E={,)aai.j=i 适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性 jEN j≠i 多智能体系统的一致性理论。文献[17-18]针对通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制其中C=diag 为图G 算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统的度矩阵。环形编队问题。同时，文献[19-22]进一步对考虑定义12到对于符号图G,如果节点集V可时滯约束条件下的多智能系统进行稳定性问题以分为两个集合V和V,其中，VUV2=V,V1nV2=②，分析。且满足以下2个条件：综合所述，本文研究了具有固定时延和时变 1)若，y∈V,I∈{1,2)，则所有权重a≥0：时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时 2)若y:∈V,y∈V,1≠q,q∈{1,2)，则所有权延系统下，利用广义Nyquist准则的方法，分析并重a时≤0。得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延则称该符号图G为结构平衡；否则称该符号下，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式图为结构不平衡。理论，分析得到相较于文献[16]保守性更小的系引理124若图G为结构平衡时，则存在正

systems，MAS) 的概念[1]。多智能体系统中各智能体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文献 [2] 给出了多智能体系统一致性问题的系统基础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学表达。在多智能体系统实际应用中，为解决如机器人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时向相反方向飞行问题等。文献 [3] 研究了存在敌对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文献 [4] 分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。此外，文献 [5-8] 在多智能系统二分一致性方面也做了重要研究。在智能体系统应用中，由于通信设备发展水平限制各个体之间客观存在通信时延，这一问题严重地影响系统的稳定性。因此，研究含通信时延的多智能体系统的稳定性在实际工程中有着至关重要的意义。文献 [9-10] 通过对系统进行了频域的分析，同时还利用线性矩阵不等式的定理给出了系统在所提出的控制协议中，允许的时滞上界。文献 [11-12] 中分别给出了具有常数时延的二阶多智能体系统达成一致的充分必要条件。文献 [13] 利用线性矩阵不等式理论，对通信时延为常数的二阶多智能体系统给出实现一致性收敛的充分条件。对于一般时延线性系统，文献 [14] 研究了一种基于观测器的多智能体系统控制策略，利用系统转换方法，建立了多智能体系统一致性的等价条件。文献 [15-16] 通过适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性多智能体系统的一致性理论。文献 [17-18] 针对通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统环形编队问题。同时，文献 [19-22] 进一步对考虑时滞约束条件下的多智能系统进行稳定性问题分析。综合所述，本文研究了具有固定时延和时变时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时延系统下，利用广义 Nyquist 准则的方法，分析并得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延下，利用 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式理论，分析得到相较于文献 [16] 保守性更小的系统实现二分一致性的充分条件。 R R n×n n×n x n n I ∈ R n×n n 1n [1 1 ··· 1] ∈ R n 0n [0 0 ··· 0] ∈ R n diag{λ1 λ2 ··· λn} n 文中表示一个实数，表示一个的实数矩阵，表示一个维实数向量，为阶单位阵；表示向量，表示向量；表示阶对角阵。 1 预备知识 1.1 图论与数学基础 G = (V,E, A) V = {v1, v2,··· , vn} E ⊆ V ×V N = {1,2,··· ,n} A = [ ai j] ∈ R n×n G ai j i j A ai j E = E + ∪ E − E + E − E + = { (i, j) ai j > 0 } E − = { (i, j) ai j < 0 } ai j , 0 vj vi vi vi Ni Ni = {j ∈ V |(i, j) ∈ E,i , j} A = [ ai j] ∈ R n×n 考虑权重符号图，用三元组来表示；其中表示由一组节点组成的集合，表示边的集合，节点的下标集合，同时是带权重的符号图所对应的邻接矩阵，表示权重。如果智能体和智能体之间存在信息交互，对应邻接矩阵中的元素非零。边集可以表示为，和分别为边集合中的正边集合和负边集合，即和。若，称节点为节点的邻居，节点的所有邻居组成的集合称节点的邻集，记该集合为，即。带权重符号图的邻接矩阵，其中元素定义为： ai j = { 非0, ( vj , vi ) ∈ E 0, 其他 aii = 0,∀i = 1,2,··· , n vi vj {(vi1 , vi2 ) , ( vi2 , vi3 ) ,··· ,(vip−1 , vip ) } vim m = 1,2,··· , p i , j G 本文不考虑带自环的图，即。节点到节点的一组边用路径来表示，其中是不同的节点，，。如果任意两个节点都存在路径，则无向符号图是连通的。 A L = C− A = [ li j] ∈ R n×n G li j 考虑正负混合连接权重矩阵，若令矩阵表示无向符号图的拉普拉斯矩阵，则其元素可定义为 li j =        ∑ j∈Ni ai j , j = i −ai j, j , i C = diag    ∑ j∈N1 a1 j , ∑ j∈N2 a2 j ,··· , ∑ j∈Nn an j    其中为图 G 的度矩阵。 G V V1 V2 V1 ∪V2 = V,V1 ∩V2 = ∅ 定义 1 [23] 对于符号图，如果节点集可以分为两个集合和，其中，，且满足以下２个条件： ∀vi 1) 若 , vj ∈ Vl(l ∈ {1,2}) ，则所有权重 ai j ⩾ 0 ； ∀vi ∈ Vl , vj ∈ Vq,l , q(l,q ∈ {1,2}) ai j ⩽ 0 2) 若，则所有权重。则称该符号图 G 为结构平衡；否则称该符号图为结构不平衡。引理 1 G [24] 若图为结构平衡时，则存在正第 4 期冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781·

·782· 智能系统学报第15卷交矩阵D使得LD=DLD为图G的拉普拉斯矩其中阵，存在单一特征值0。对应的矩阵D称为规范 LD=DLD=C-DAD= 变换(gauge transformation)。 -laijl,VjEN 引理22s1对于任意y∈[0,1)，当ω∈[-元，可 ∑llj=i 时，凸包yCo(EGw),ieN)不包含(-l,j0)点，其中 0-2× 0,其他四，r为系统的时延。可知系统式(4)的二分一致性问题等价于系引理3图对于we[-元，π，凸包Co(0U(WG@), 统式(6)的稳定性问题。 ieN))包含圆盘集合UreNGio 定理1给定包含n个智能体的一阶系统式 1.2问题描述 (1)的结构平衡符号图G,应用含固定时延的二分假设系统由n个一阶积分器智能体系统组一致性控制协议式(2)，对于通信时延τ。满足成，该系统中每个智能体的动力学方程可以描述为条件：对于vieN,如果w<平其中E=ma (t)=4,(t),i=1,2,…,n (1) 则系统可实现二分一致性。其中x()∈R和4，()∈R分别表示智能体i的状态证明对系统（⑥进行拉氏变换，得到特征方程：和控制输入。在上述系统式(I)中考虑含固定时 det(sI+LD(s))=0 延和时变时延多智能体系统的二分一致性控制协其中议4，（①分别为 LD(s）=e-os(C-DAD)= -lale-a5,y,∈N 4(t)=- ∑axt-o-sgn(a,xt-to》 (2) ∑lage-,j=i 和 0,其他 40=-∑alxt-t0-sgn(a)x,t-tt) (3) 令 jeN, F(s)=det(sI+Lp (s)) (7) 其中o为系统固定时延；t()为系统时变时延，且根据线性系统稳定性条件和判定规则可知， 0≤t()≤h,h为时延上界。系统式(6)要实现稳定性等价于F(s)的零点具有定义向量x(0=[x02(0 … xn(],将负实部或者s=0,接下来分两点进行分析。二分一致性控制协议式(2)或式(3)分别作用于 1)当s=0时，F(O)=det(OI+Ln(O),根据引理系统式(1)，得到 1可得LD存在单一特征根0，因此当s=0时， x(t)=-Lx(t-To) (4) F(s)只有一个零点。和 2)当s≠0时，令 ()=-Lx(t-T()) (5) F*(s)=det(I+G(s)) (8) 其中L为拉普拉斯矩阵。其中 2二分一致性分析 G(s)=e-TC-DAD (9) 2.1含固定时延的二分一致性若使式()的零点都具有负实部，则式(8)的为便于进行二分一致性分析，引入中间变量零点需都具有负实部。令s=jω，代入式(9)得到对原系统进行规范状态变换。定义矩阵D= G(j@)=e-C-DAD (10) diag(c,o2,…,om),o,∈{±1)是在R中进行的坐标根据广义Nyquist准则，当式(10)特征值变换。对给定系统式(4)做如下变换： A(Gjd)不包含点(-1，j0),we[-元，时式(8)的零定义Y:()=σx(),由于：∈{±1}，所以x(0= 点都具有负实部。进一步对式(10)的特征值A σY():其中o:由引理1给出，则进而定义向量 (GGw)进行分析，利用Gerschgorin圆盘定理，可得： Y)=[Y()Y2(①…Yn(,则有Y(0=Dx(0, A(GGw)∈UiENG (11) 代入式(4)可得 (12) Y(t)=Di(t)=D(-Lx(-T))= (6) a-Gih D(-LD-Y(t-To))=-LDY(t-To) 其中，（为任意特征值，C为复数域，令8=

D LD = DLD G D 交矩阵使得为图的拉普拉斯矩阵，存在单一特征值 0。对应的矩阵称为规范变换 (gauge transformation)。 γ ∈ [0,1) ω ∈ [−π,π] γCo(Ei ( jω ) ,i ∈ N) (−1,j0) Ei ( jω ) = π 2τ × e −τjω jω τ 引理 2 [ 2 5 ] 对于任意，当时，凸包不包含点，其中，为系统的时延。 ω ∈ [−π,π] Co(0∪ {Wi ( jω ) , i ∈ N)}) ∪i∈NGi 引理 3 [18] 对于，凸包包含圆盘集合。 1.2 问题描述假设系统由 n 个一阶积分器智能体系统组成，该系统中每个智能体的动力学方程可以描述为 x˙i(t) = ui(t),i = 1,2,··· ,n (1) xi(t) ∈ R ui(t) ∈ R i ui(t) 其中和分别表示智能体的状态和控制输入。在上述系统式 (1) 中考虑含固定时延和时变时延多智能体系统的二分一致性控制协议分别为 ui(t) = − ∑ j∈Ni ai j (xi(t−τ0)−sgn( ai j) xj(t−τ0)) (2) 和 ui(t) = − ∑ j∈Ni ai j (xi(t−τ(t))−sgn( ai j) xj(t−τ(t)) (3) τ0 τ(t) 0 ⩽ τ(t) ⩽ h h 其中为系统固定时延；为系统时变时延，且 , 为时延上界。 x(t) = [x1 (t) x2 (t) ··· xn (t)] 定义向量 T ，将二分一致性控制协议式 (2) 或式 (3) 分别作用于系统式 (1)，得到 x˙ (t) = −Lx(t−τ0) (4) 和 x˙ (t) = −Lx(t−τ(t)) (5) 其中 L 为拉普拉斯矩阵。 2 二分一致性分析 2.1 含固定时延的二分一致性 D = diag(σ1,σ2,··· ,σn),σi ∈ {±1} R 为便于进行二分一致性分析，引入中间变量对原系统进行规范状态变换。定义矩阵是在中进行的坐标变换。对给定系统式 (4) 做如下变换： Yi(t) = σixi(t) σi ∈ {±1} xi(t) = σiYi(t) σi Y (t) = [Y1 (t) Y2 (t) ··· Yn (t)] T Y (t) = Dx (t) 定义，由于，所以；其中由引理 1 给出，则进而定义向量，则有，代入式 (4) 可得 Y˙ (t) = Dx˙ (t) = D(−Lx(t−τ0)) = D ( −LD−1Y (t−τ0) ) = −LDY (t−τ0) (6) 其中 LD = DLD = C− DAD =    −|ai j ∑ |, vj ∈ Ni vj∈Ni ai j , j = i 0, 其他可知系统式 (4) 的二分一致性问题等价于系统式 (6) 的稳定性问题。 n G τ0 ∀i ∈ N ετ0 < π 4 ε = max   ∑ vjϵNi ai j   定理 1 给定包含个智能体的一阶系统式 (1) 的结构平衡符号图，应用含固定时延的二分一致性控制协议式 (2)，对于通信时延满足条件：对于，如果，其中，则系统可实现二分一致性。证明对系统 (6) 进行拉氏变换，得到特征方程： det(sI+ LD (s)) = 0 其中 LD (s) = e −τ0 s (C− DAD) =    −|ai j|e −τ0 s ∑ , vj ∈ Ni vj∈Ni ai j e −τ0 s , j = i 0, 其他令 F (s) = det(sI+ LD (s)) (7) F (s) s = 0 根据线性系统稳定性条件和判定规则可知，系统式 (6) 要实现稳定性等价于的零点具有负实部或者，接下来分两点进行分析。 s = 0 F (0) = det(0I+ LD (0)) LD s = 0 F (s) 1) 当时，，根据引理 1 可得存在单一特征根 0，因此当时，只有一个零点。 2) 当 s , 0 时，令 F ∗ (s) = det(I+G(s)) (8) 其中 G(s) = e −τ0 s C− DAD s (9) s = jω 若使式 (7) 的零点都具有负实部，则式 (8) 的零点需都具有负实部。令，代入式 (9) 得到 G ( jω ) = e −τ0 jω C− DAD s (10) λ ( G ( jω )) (−1,j0) ω ∈ [−π,π] λ ( G ( jω )) 根据广义 Nyquist 准则，当式 (10) 特征值不包含点 , 时式 (8) 的零点都具有负实部。进一步对式 (10) 的特征值进行分析，利用 Gerschgorin 圆盘定理，可得： λ ( G ( jω )) ∈ ∪i∈NGi (11) Gi =    ζϵC,|ζ − ∑ vjϵNi ai j e −τ0 jω jω ⩽ ∑ vjϵNi ai j e −τ0jω jω    (12) 其中， ζ 为任意特征值， C 为复数域，令 εi = ·782· 智能系统学报第 15 卷

∑ vjϵNi ai j ，则圆盘中心为 Gi0 ( jω ) = εi e −τ0 jω jω Gi0 Gi Wi 定义复平面原点为 0 点，则过 0 点和圆盘中心的直线与圆盘的交点为，其轨迹为 Wi ( jω ) = 2εi e −τ0 jω jω Wi ( jω ) = γiEi ( jω ) γi = 4εiτ0 π 0 定理 2 假设系统式 (1) 的拓扑是连通且结构平衡的，如果存在对称矩阵：、，且都为非负矩阵，则系统式 (1) 在控制协议式 (3) 作用下可以达到二分一致性，从而给定时变时延上界满足条件式 (14) 和式 (15)： ψ =   Λ11 Λ12 Λ13 P12 − 1 h WT 11 + 1 h Z ∗ Λ22 −L T D 0 −L T D P13 ∗ ∗ Λ33 P22 −P33 + 1 h WT 12 ∗ ∗ ∗ −Q22 P23 ∗ ∗ ∗ ∗ − 1 h W11 − 1 h 2 Z   0;Q = [ Q11 Q12 Q T 12 Q22 ] > 0 W = [ W11 W12 WT 12 W22 ] > 0; Z > 0 (15) 式中：*表示对称的值，且 Λ11 = P13 + P13 +Q T 11 +hW11 Λ12 = −P11LD −Q12LD −hW11LD Λ13 = −P13 + P T 23 + 1 h W22 Λ22 = Q22 −hL T DW22LD + h 2 2 L T D ZLD Λ33 = −P23 − P T 23 −Q11 − 1 h W22 证明构造如下 Lyapunov-Krasovskii 函数： V(t) = V1 (t)+V2 (t)+V3 (t)+V4 (t) (16) 其中 V1 (t) = ς (t) T Pς (t) V2 (t) = ∫ t t−τ(t) ρ(s) TQρ(s)ds V3 (t) = ∫ 0 −h ∫ t t+θ ρ(s) TWρ(s)dsdθ V4 (t) = ∫ 0 −h ∫ 0 θ ∫ t t+λ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdλdθ ς (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ]T ρ(s) = [ Y (s) T Y˙ (s) T ]T 根据 Newton-Leibniz 公式，则有式（17）和（18）： Y (t−h) = Y (t)− ∫ t t−h Y˙ (s)ds (17) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ = ∫ 0 −h [Y (t)−Y (t−θ)]dθ = hY (t)− ∫ t t−h Y (s)ds (18) 有如下积分不等式： − ∫ t t−h ρ(s) TWρ(s)ds ⩽ − 1 h ∫ t t−h ρ(s) T dsW ∫ t t−h ρ(s)ds (19) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdθ ⩽ − 2 h 2 ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T dsdθR ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ (20) 对式 (17)~(20) 沿系统式 (5) 轨迹的时间导数，考虑式 (21)~(24) 则有 V˙ 1 (t) = ς˙ (t) T Pς (t)+ς (t) T Pς˙ (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ] .   P11 P12 P13 ∗ P22 P23 ∗ ∗ P33     Y (t) Y (t−h) ∫ t t−h Y (s)ds   (21) 第 4 期冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·783·

V˙ 2 (t) = ρ(t) TQρ(t)−ρ(t−h) TQρ(t−h) = [ Y (t) T Y˙ (t) T ] [ Q11 Q12 ∗ Q22 ] [ Y (t) Y˙ (t) ] − [ Y (t−h) Y˙ (t−h) ]T [ Q11 Q12 ∗ Q22 ] [ Y (t−h) Y˙ (t−h) ] (22) V˙ 3 (t) = hρ(t) TWρ(t)− ∫ t t−h ρ(s) TWρ(s)ds ⩽ h [ Y (t) TY˙ (t) T ] [ W11 W12 ∗ W22 ] [ Y (t) Y˙ (t) ] − 1 h ∫ t t−h [ Y (s) Y˙ (s) ]T ds [ W11 W12 ∗ W22 ]∫ t t−h [ Y (s) Y˙ (s) ] ds (23) V˙ 4 (t) = h 2 2 Y˙ (t) T ZY˙ (t)− ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T ZY˙ (s)dsdθ− ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T ZY˙ (s)dsdθ ⩽ h 2 2 Y (t−τ(t))T LD T ZLDY (t−τ(t))− 2 h 2 {[hY (t) T − ∫ t t−h Y (s) T ds ] Z [ hY (t)− ∫ t t−h Y (s)ds ]} (24) 结合式 (21)~(24) 整理得： V˙ (t) ⩽ ξ (t) Tψξ (t) 其中 ξ (t) = [Y (t) T Y (t−τ(t))T Y (t−h) T Y˙ (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds] T V˙ 若式 (14)、(15) 成立，则有 (t) < 0 ，这意味着系统式 (13) 是渐近稳定的，即系统式 (1) 可以在控制协议式 (3) 下达到二分一致性。 3 数值仿真分析 V1 = {v1, v2, v3} V2 = {v4, v5, v6} 本文考虑有 6 个智能体，且其通信拓扑如图 1 所示。且，，满足结构平衡。 1 1 −1 1 2 3 4 1 5 6 1 1 1 图 1 多智能系统通信拓扑图 Fig. 1 Communication topology of multi-agent systems 由图 1 可写出拉普拉斯矩阵 L： L =   2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 −1 2   (25) 3.1 含固定时延的系统 x(0) = [30 −10 0 10 −15 3]T E = max   ∑ vjϵNi ai j   = 3 τ0 < 0.26 τ0 = 0.1 τ0 = 0.25 τ0 = 0.3 假设智能体初始状态，智能体系统的连接权重如图 1。，则根据定理 1 可得 s，分别取时延 s、 s、 s 进行仿真，如图 2 所示。 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s (a) τ0 = 0.1 s (b) τ0 = 0.25 s (c) τ0 = 0.3 s 图 2 固定时延条件下智能体状态 Fig. 2 States of multi-agents with fixed-time delays ·784· 智能系统学报第 15 卷

第4期冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·785· 由图2可看出，多智能体系统在连通无向拓参考文献：扑下，当其能够达到结构平衡时，若系统时延满足定理1中给出的条件，则智能体能实现二分一 [1]FERBER J.WEISS G.Multi-agent systems:an introduc- 致性；反之，当系统时延T。>026s时系统不收 tion to distributed artificial intelligence[M].Reading:Ad- dison-Wesley,1999 敛，无法实现二分一致性。 [2]OLFATI-SABER R,MURRAY R M.Consensus prob- 3.2含时变时延的系统 lems in networks of agents with switching topology and 假设智能体初始状态x(0)=[30-102010 time-delays[J].IEEE transactions on automatic control. -153],系统中6个智能体间的连接权重如图1 2004,49(9):1520-1533 所示。根据定理2利用线性矩阵不等式工具箱， [3]ALTAFINI C.Consensus problems on networks with ant- 求解线性矩阵不等式可得到时延上界h=1.58s, agonistic interactions[].IEEE transactions on automatic 相较文献[16]中的时延1.46s,本文结论表明可以 control,2012.58(4):935-946. 使得系统具有更小的保守性。假设系统存在时变 [4]LI P,LIU Y,ZHAO Y,et al.Consensus control for 时延t(d)=1.5sin()l进行仿真，得到仿真结果如 second-order multi-agent with time-delay on antagonistic 图3所示。 networks[C]//2016 35th Chinese Control Conference. Chengdu,China,2016:8066-8071. 30 -Agentl [5]VALCHER M E.MISRA P.On the consensus and bipart- Agent2 20 Agent3 ite consensus in high-order multi-agent dynamical systems Agent4 Agent5 with antagonistic interactions[J].Systems control letters. 10 Agent6 2014.66:94-103 [6]MENG D,JIA Y,DU J.Bipartite coordination problems 0 on networks of multiple mobile agents[J].Journal of the -10 Franklin Institute,2015,352(11):4698-4720 [7]ZENG J,LI F,QIN J,et al.Distributed event-triggered bi- -20 partite consensus for multiple agents over signed graph to- 10 15 20 25 tis pology[C]//2015 34th Chinese Control Conference.Hang- zhou,China,2015:6930-6935 图3时变时延条件下智能体状态 Fig.3 States of multi-agents under time-varying delays [8]ZHAO L,JIA Y,YU J.Adaptive finite-time bipartite con- 由图3可看出，多智能体系统在连通无向拓 sensus for second-order multi-agent systems with antagon- istic interactions[J].Systems control letters,2017,102: 扑下，且其结构平衡，同时满足定理2中给出的条 22-31. 件，在时变时延t()=1.5sin(训约束情况下，智能 [9]LIN P,JIA Y.Consensus of a class of second-order multi- 体系统仍能够实现二分一致性。 agent systems with time-delay and jointly-connected topo- 4结束语 logies[J].IEEE transactions on automatic control,2010, 55(3):778-784 本文针对一阶多智能体系统，研究了在无向 [10]高玉兰，于俊燕，禹梅.带有时滞的离散多智能体系统符号图拓扑结构并考虑通信网络含时延约束下的的Ho一致性问题J】.系统科学与数学，2015,35(3)：二分一致性问题。利用规范状态变换将多智能体 317-326. 系统的二分一致问题转换成一个相应的系统稳定 GAO Yulan,YU Junyan,YU Mei.Hoo.for discrete multi- 性问题。考虑系统含固定时延约束时，利用广义 agent systems with time delay_[J].Systems science and mathematics,.2015,35(3:317-326 Nyquist准则的方法分析并得到含固定时延系统 [11]YU W.CHEN G,CAO M.Some necessary and suffi- 实现二分一致性的充分条件。进一步考虑系统存 cient conditions for second-order consensus in multi- 在时变时延约束时，通过引入包含三积重分项的 agent dynamical systems[J].Automatica,2010,46(6): Lyapunov函数，利用线性矩阵不等式理论得到满 1089-1095 足系统稳定的充分条件。最后，数值仿真验证了 [12]LIU K,JI Z,REN W.Necessary and sufficient conditions 所给出定理的正确性。在后续工作中，将针对基 for consensus of second-order multiagent systems under 于事件触发的量化多智能体系统时延二分一致性 directed topologies without global gain dependency[J]. 等问题展开深人研究。 IEEE transactions on cybernetics,2016,47(8)

τ0 > 0.26 s 由图 2 可看出，多智能体系统在连通无向拓扑下，当其能够达到结构平衡时，若系统时延满足定理 1 中给出的条件，则智能体能实现二分一致性；反之，当系统时延时系统不收敛，无法实现二分一致性。 3.2 含时变时延的系统 x (0) = [30 −10 20 10 −15 3]T h = 1.58 s 1.46 s τ(t) = 1.5|sin(t)| 假设智能体初始状态，系统中 6 个智能体间的连接权重如图 1 所示。根据定理 2 利用线性矩阵不等式工具箱，求解线性矩阵不等式可得到时延上界，相较文献 [16] 中的时延，本文结论表明可以使得系统具有更小的保守性。假设系统存在时变时延进行仿真，得到仿真结果如图 3 所示。 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s 图 3 时变时延条件下智能体状态 Fig. 3 States of multi-agents under time-varying delays τ(t) = 1.5|sin(t)| 由图 3 可看出，多智能体系统在连通无向拓扑下，且其结构平衡，同时满足定理 2 中给出的条件，在时变时延约束情况下，智能体系统仍能够实现二分一致性。 4 结束语本文针对一阶多智能体系统，研究了在无向符号图拓扑结构并考虑通信网络含时延约束下的二分一致性问题。利用规范状态变换将多智能体系统的二分一致问题转换成一个相应的系统稳定性问题。考虑系统含固定时延约束时，利用广义 Nyquist 准则的方法分析并得到含固定时延系统实现二分一致性的充分条件。进一步考虑系统存在时变时延约束时，通过引入包含三积重分项的 Lyapunov 函数，利用线性矩阵不等式理论得到满足系统稳定的充分条件。最后，数值仿真验证了所给出定理的正确性。在后续工作中，将针对基于事件触发的量化多智能体系统时延二分一致性等问题展开深入研究。参考文献： FERBER J, WEISS G. Multi-agent systems: an introduction to distributed artificial intelligence[M]. Reading: Addison-Wesley, 1999. [1] OLFATI-SABER R, MURRAY R M. Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays[J]. IEEE transactions on automatic control, 2004, 49(9): 1520–1533. [2] ALTAFINI C. Consensus problems on networks with antagonistic interactions[J]. IEEE transactions on automatic control, 2012, 58(4): 935–946. [3] LI P, LIU Y, ZHAO Y, et al. Consensus control for second-order multi-agent with time-delay on antagonistic networks[C]//2016 35th Chinese Control Conference. Chengdu, China, 2016: 8066−8071. [4] VALCHER M E, MISRA P. On the consensus and bipartite consensus in high-order multi-agent dynamical systems with antagonistic interactions[J]. Systems & control letters, 2014, 66: 94–103. [5] MENG D, JIA Y, DU J. Bipartite coordination problems on networks of multiple mobile agents[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(11): 4698–4720. [6] ZENG J, LI F, QIN J, et al. Distributed event-triggered bipartite consensus for multiple agents over signed graph topology[C]//2015 34th Chinese Control Conference. Hangzhou, China, 2015: 6930−6935. [7] ZHAO L, JIA Y, YU J. Adaptive finite-time bipartite consensus for second-order multi-agent systems with antagonistic interactions[J]. Systems & control letters, 2017, 102: 22–31. [8] LIN P, JIA Y. Consensus of a class of second-order multiagent systems with time-delay and jointly-connected topologies[J]. IEEE transactions on automatic control, 2010, 55(3): 778–784. [9] 高玉兰, 于俊燕, 禹梅. 带有时滞的离散多智能体系统的 H∞一致性问题 [J]. 系统科学与数学, 2015, 35(3): 317–326. GAO Yulan, YU Junyan, YU Mei. H∞. for discrete multiagent systems with time delay_[J]. Systems science and mathematics, 2015, 35(3): 317–326. [10] YU W, CHEN G, CAO M. Some necessary and sufficient conditions for second-order consensus in multiagent dynamical systems[J]. Automatica, 2010, 46(6): 1089–1095. [11] LIU K, JI Z, REN W. Necessary and sufficient conditions for consensus of second-order multiagent systems under directed topologies without global gain dependency[J]. IEEE transactions on cybernetics, 2016, 47(8): [12] 第 4 期冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·785·

·786· 智能系统学报第15卷 2089-2098 91-99 [13]葛超.基于改进型Lyapunov泛函的时滞系统稳定性新 [22]何逻辑，谢广明，文家燕，等.通信时滞下事件驱动多智判据研究及应用D1秦皇岛：燕山大学，2014 能体系统环形编队控制.计算机应用研究，2020， GE Chao.Research and application of new stability criter- 37(6:1661-1665. ia for delay systems based on improved Lyapunov func- HE Luoji,XIE Guangming,WEN Jiayan,et al.Circle tional[D].Qinhuangdao:Yanshan University,2014 formation control of event-triggered multi-agent system [14]LIU C,LIU F.Consensus problem of second-order multi- with communication delay[J].Computer application re- agent systems with time-varying communication delay search,2020,37(6:1661-1665 and switching topology[J].Journal of systems engineer- [23]BAO Q,CHEUNG WK,ZHANG Y,et al.A component- ing and electronics,2011,22(4):672-678. based diffusion model with structural diversity for social [15]张晓丹，刘开恩，纪志坚.具有时变时滞多智能体系统 networks[J].IEEE transactions on cybernetics,2016. 二分一致性U.系统科学与数学，2018,38(8：841-851. 47(4)y:1078-1089 ZHANG Xiaodan,LIU Kaien,JI Zhijian.Dichotomous [24]MENG D,JIA Y,DU J.Nonlinear finite-time bipartite consistency of multi-agent systems with time-varying consensus protocol for multi-agent systems associated delay[J].Systems science and mathematics,2018,38(8): with signed graphs[J].International journal of control, 841-851 2015,88(10):2074-2085. [16]ZHANG Xiaodan,LIU Kaien,JI Zhijian.Bipartite con- sensus for multi-Agent systems with time-varying delays [25]TIAN Y P,LIU C L.Consensus of multi-agent systems based on method of delay partitioning[J].IEEE access, with diverse input and communication delays[J].IEEE 2019,7(99):29285-29294. transactions on automatic control,2008,53(9): [17]FATTAHI M.,AFSHAR A Distributed consensus of 2122-2128. multi-agent systems with input faults and time-varying 作者简介： delays[J].Asian journal of control,2018,20(4): 冀秀坤，硕士研究生，主要研究方 1682-1685 向为多智能体系统。 [18]WEN J,WANG C,XIE G.Asynchronous distributed event-triggered circle formation of multi-agent systems[J].Neurocomputing,2018,295:118-126. [19]徐鹏，谢广明，文家燕，等.事件驱动的强化学习多智能体编队控制.智能系统学报，2019,14(1)93-98. XU Peng,XIE Guangming,WEN Jiayan,et al.Event- 谢广明，教授，博士生导师，兼任 triggered reinforcement learning formation control for 中国自动学会机器人竞赛工作委员会 multi-agent[J].CAAI transactions on intelligent systems, 副主任，国际水中机器人联盟创始人， 2019,14(193-98. 主要研究方向为复杂系统动力学与控制、智能仿生机器人多机器人系统与 [20]王世丽，金英花，吴晨.带通信时滞的多智能体系统的控制。现主持包括国家自然科学基金群集运动.计算机工程与应用，2017,53(23)：24-28，重点项目等8项，获发明专利授权 50. 20余项。曾荣获国家自然科学奖二等奖、教育部自然科学 WANG Shili,JIN Yinghua.WU Chen.Swarm motion of 奖一等奖、吴文俊人工智能科学技术奖创新奖二等奖，发表 multi-agent systems with communication delay[J].Com- 学术论文200余篇。 puter engineering and applications,2017,53(23):24-28, 50 文家燕，副教授，博土，主要研究方向为事件驱动控制、多智能体编队 [21]雷明，马培蓓，王娟.具有输入约束和通信时滞的多智控制。任中国自动化学会青年工作委能体编队鲁棒镇定).战术导弹技术，2018(3)：91-99. 员会委员，广西省自动化学会理事。 LEI Ming,MA Peibei,WANG Juan.Robust stabilization 现主持国家自然科学基金及省部级项 of multi-agent formation with input constraints and com- 目4项，获专利授权5项，发表学术论 munication delay[J].Tactical missile technology,2018(3): 文25篇

2089–2098. 葛超. 基于改进型 Lyapunov 泛函的时滞系统稳定性新判据研究及应用 [D].秦皇岛：燕山大学, 2014. GE Chao. Research and application of new stability criteria for delay systems based on improved Lyapunov functional[D]. Qinhuangdao: Yanshan University, 2014 [13] LIU C, LIU F. Consensus problem of second-order multiagent systems with time-varying communication delay and switching topology[J]. Journal of systems engineering and electronics, 2011, 22(4): 672–678. [14] 张晓丹, 刘开恩, 纪志坚. 具有时变时滞多智能体系统二分一致性 [J]. 系统科学与数学, 2018, 38(8): 841–851. ZHANG Xiaodan, LIU Kaien, JI Zhijian. Dichotomous consistency of multi-agent systems with time-varying delay[J]. Systems science and mathematics, 2018, 38(8): 841–851. [15] ZHANG Xiaodan, LIU Kaien, JI Zhijian. Bipartite consensus for multi-Agent systems with time-varying delays based on method of delay partitioning[J]. IEEE access, 2019, 7(99): 29285–29294. [16] FATTAHI M., AFSHAR A Distributed consensus of multi-agent systems with input faults and time-varying delays[J]. Asian journal of control, 2018, 20(4): 1682–1685. [17] WEN J, WANG C, XIE G. Asynchronous distributed event-triggered circle formation of multi-agent systems[J]. Neurocomputing, 2018, 295: 118–126. [18] 徐鹏, 谢广明, 文家燕, 等. 事件驱动的强化学习多智能体编队控制 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(1): 93–98. XU Peng, XIE Guangming, WEN Jiayan, et al. Eventtriggered reinforcement learning formation control for multi-agent[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(1): 93–98. [19] 王世丽, 金英花, 吴晨. 带通信时滞的多智能体系统的群集运动 [J]. 计算机工程与应用, 2017, 53(23): 24–28, 50. WANG Shili, JIN Yinghua, WU Chen. Swarm motion of multi-agent systems with communication delay[J]. Computer engineering and applications, 2017, 53(23): 24–28, 50. [20] 雷明, 马培蓓, 王娟. 具有输入约束和通信时滞的多智能体编队鲁棒镇定 [J]. 战术导弹技术, 2018(3): 91–99. LEI Ming, MA Peibei, WANG Juan. Robust stabilization of multi-agent formation with input constraints and communication delay[J]. Tactical missile technology, 2018(3): [21] 91–99. 何逻辑, 谢广明, 文家燕,等. 通信时滞下事件驱动多智能体系统环形编队控制 [J]. 计算机应用研究, 2020, 37(6): 1661–1665. HE Luoji, XIE Guangming, WEN Jiayan, et al. Circle formation control of event-triggered multi-agent system with communication delay[J]. Computer application research, 2020, 37(6): 1661–1665. [22] BAO Q, CHEUNG W K, ZHANG Y, et al. A componentbased diffusion model with structural diversity for social networks[J]. IEEE transactions on cybernetics, 2016, 47(4): 1078–1089. [23] MENG D, JIA Y, DU J. Nonlinear finite-time bipartite consensus protocol for multi-agent systems associated with signed graphs[J]. International journal of control, 2015, 88(10): 2074–2085. [24] TIAN Y P, LIU C L. Consensus of multi-agent systems with diverse input and communication delays[J]. IEEE transactions on automatic control, 2008, 53(9): 2122–2128. [25] 作者简介：冀秀坤，硕士研究生，主要研究方向为多智能体系统。谢广明，教授，博士生导师，兼任中国自动学会机器人竞赛工作委员会副主任，国际水中机器人联盟创始人，主要研究方向为复杂系统动力学与控制、智能仿生机器人多机器人系统与控制。现主持包括国家自然科学基金重点项目等 8 项，获发明专利授权 20 余项。曾荣获国家自然科学奖二等奖、教育部自然科学奖一等奖、吴文俊人工智能科学技术奖创新奖二等奖,发表学术论文 200 余篇。文家燕，副教授，博士，主要研究方向为事件驱动控制、多智能体编队控制。任中国自动化学会青年工作委员会委员，广西省自动化学会理事。现主持国家自然科学基金及省部级项目 4 项，获专利授权 5 项，发表学术论文 25 篇。 ·786· 智能系统学报第 15 卷

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