【知识工程】相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究

第15卷第6期 智能系统学报 Vol.15 No.6 2020年11月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Nov.2020 D0L:10.11992tis.201909015 相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 曾婷只，唐孝2，谭阳2，丁本香2 (1.四川师范大学数学科学学院，四川成都610066,2.四川师范大学智能信息与量子信息研究所，四川成都 610066) 摘要：在三支决策模糊粗糙集模型中，一些学者基于相似度三支决策模糊粗糙集模型建立了目标函数来得到 最优阈值对(，B)的计算方法，但在该过程的研究中，学者并没有在相似度三支决策模糊粗糙集模型中讨论关 于决策代价的描述问题。基于模糊信息系统用新的函数来描述决策代价成为计算阈值对（α，B)的一种方法， 首先，在模糊信息系统中，通过建立一个描述决策代价的函数，将模糊信息系统中的模糊数与三支决策的决策 代价联系在一起：然后对隶属频率进行拟合，得到了三支决策中决策代价的数值描述；最后，通过两个实例说 明了该方法的可行性和适用性。 关键词：三支决策；模糊粗糙集；决策代价：模糊数；阈值对；属性值：区间值；多重集 中图分类号：TP18:023文献标志码：A文章编号：1673-4785(2020)06-1068-11 中文引用格式：曾婷，唐孝，谭阳，等.相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究.智能系统学报，2020,15(6)： 1068-1078. 英文引用格式：ZENG Ting,.TANG Xiao,TAN Yang,et al.Decision costs of the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model[J].CAAI transactions on intelligent systems,2020,15(6):1068-1078. Decision costs of the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model ZENG Ting2,TANG Xiao2,TAN Yang 2,DING Benxiang'2 (1.School of Mathematical Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China;2.Institute of Intelligent Information and Quantum Information,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China) Abstract:In the three-way decision-theoretic fuzzy rough set model,several scholars established the objective function based on the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model to derive the method for calculating the op- timal threshold pair(a,B).However,during this research,the authors did not discuss the description of the decision costs in the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model.The new function describing the decision costs is used in the method for calculating the threshold pair(a,B)based on the fuzzy information system.First,in the fuzzy information system,the fuzzy number is associated with the decision costs of three-way decisions by establishing a function describing the decision costs.Then,the numerical description of the decision costs of three-way decisions is obtained by fitting the membership frequency.Finally,two examples are given to illustrate the feasibility and applicabil- ity of the method. Keywords:three-way decisions;fuzzy rough set;decision costs;fuzzy number:threshold pair;attribute value;interval value;multiset 模糊集用隶属函数描述对象的隶属程度来刻 画对象间的不可区分关系来对对象进行分类。模 画模糊边界的不分明性。粗糙集用上、下近似刻 糊集和粗糙集都是处理不完全、不确定性信息的 收稿日期：2019-09-06 重要数学工具，同时都推广了经典集合论处理不 基金项目：四川省科技计划资助项目(2019YJ0529):四川省教 确定性和不精确性问题。两者既有相似性又有区 育厅重点项目(18ZA0410). 通信作者：唐孝.E-mail:18242087@qq.com 别，因此不能互相包含、互相取代，很多人就试图

DOI: 10.11992/tis.201909015 相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 曾婷1,2，唐孝1,2，谭阳1,2，丁本香1,2 （1. 四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610066; 2. 四川师范大学 智能信息与量子信息研究所，四川 成都 610066） (α, β) (α, β) 摘 要：在三支决策模糊粗糙集模型中，一些学者基于相似度三支决策模糊粗糙集模型建立了目标函数来得到 最优阈值对 的计算方法，但在该过程的研究中，学者并没有在相似度三支决策模糊粗糙集模型中讨论关 于决策代价的描述问题。基于模糊信息系统用新的函数来描述决策代价成为计算阈值对 的一种方法， 首先，在模糊信息系统中，通过建立一个描述决策代价的函数，将模糊信息系统中的模糊数与三支决策的决策 代价联系在一起；然后对隶属频率进行拟合，得到了三支决策中决策代价的数值描述；最后，通过两个实例说 明了该方法的可行性和适用性。 关键词：三支决策；模糊粗糙集；决策代价；模糊数；阈值对；属性值；区间值；多重集 中图分类号：TP18；O23 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2020)06−1068−11 中文引用格式：曾婷, 唐孝, 谭阳, 等. 相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 [J]. 智能系统学报, 2020, 15(6): 1068–1078. 英文引用格式：ZENG Ting, TANG Xiao, TAN Yang, et al. Decision costs of the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2020, 15(6): 1068–1078. Decision costs of the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model ZENG Ting1,2 ，TANG Xiao1,2 ，TAN Yang1,2 ，DING Benxiang1,2 (1. School of Mathematical Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China; 2. Institute of Intelligent Information and Quantum Information, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China) Abstract: In the three-way decision-theoretic fuzzy rough set model, several scholars established the objective function based on the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model to derive the method for calculating the op￾timal threshold pair (α, β). However, during this research, the authors did not discuss the description of the decision costs in the similarity three-way decision-theoretic fuzzy rough set model. The new function describing the decision costs is used in the method for calculating the threshold pair (α, β) based on the fuzzy information system. First, in the fuzzy information system, the fuzzy number is associated with the decision costs of three-way decisions by establishing a function describing the decision costs. Then, the numerical description of the decision costs of three-way decisions is obtained by fitting the membership frequency. Finally, two examples are given to illustrate the feasibility and applicabil￾ity of the method. Keywords: three-way decisions; fuzzy rough set; decision costs; fuzzy number; threshold pair; attribute value; interval value; multiset 模糊集用隶属函数描述对象的隶属程度来刻 画模糊边界的不分明性。粗糙集用上、下近似刻 画对象间的不可区分关系来对对象进行分类。模 糊集和粗糙集都是处理不完全、不确定性信息的 重要数学工具，同时都推广了经典集合论处理不 确定性和不精确性问题。两者既有相似性又有区 别，因此不能互相包含、互相取代，很多人就试图 收稿日期：2019−09−06. 基金项目：四川省科技计划资助项目 (2019YJ0529)；四川省教 育厅重点项目 (18ZA0410). 通信作者：唐孝. E-mail：18242087@qq.com. 第 15 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.15 No.6 2020 年 11 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Nov. 2020

第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1069· 将粗糙集和模糊集进行融合。20世纪90年代， Liu等2为决策理论粗糙集中的阈值参数优化建 Dubois等1-将粗糙集和模糊集结合在一起，提出 立了理论和系统的框架，并且提出了一种基于优 了描述不确定性的模糊粗糙集模型。在概率近似 化的通用方法来确定具有各种语义的决策理论粗 空间上，Sun等1提出了粗糙近似模糊概念。 糙集的阈值对。 Yao等基于贝叶斯决策近似概念的含义提出了 在模糊决策粗糙集模型中，大多数研究是以 模糊粗糙集。Zhao等)在模糊概率近似空间和 总体决策代价最小化为目标，得出计算最优阈值 区间值模糊概率近似空间的框架下研究了决策粗 对（α，）的方法，其中决策代价是专家给出的，并 糙集。 没有进行进一步的研究。而衷锦仪等)基于区 基于决策粗糙集，Yao提出了三支决策。通 间值模糊决策粗糙集模型，得出了计算决策代价 过推广贝叶斯决策理论得到了三支决策粗糙集， 的方法。本文采用了属性值来描述决策代价，用 其考虑的是粗糙集三个成对互不相交的区域，即 对象间的曼哈顿距离表示决策代价函数，得出最 正域、负域和边界域。之后，Liang等提出了一 优阈值对(a,B)。 系列新的三支决策模型，比如区间值粗糙集三支 决策、双重犹豫模糊粗糙集三支决策，基于点算 1决策粗糙集模型 子的直觉模糊粗糙集的三支决策1等。最近， 本节介绍了多重集的相关概念和基于模糊数 Feng等o基于多粒度模糊近似空间和隶属度算 的决策粗糙集模型，该模型用区间值来刻画损失 子，将三支决策和变精度粗糙集结合在一起，提 代价得到更为紧凑的阈值对（α，β）的上、下近似。 出了1型变精度多粒度决策模糊粗糙集模型。随 1.1多重集 着研究的深入，Deng等川推广了三支近似模糊集 定义118设一个非空论域U,在U上的一 决策模型，提出可变的决策理论公式，通过最小 个多重集M上定义函数CM:U→N,其中N是自 化决策代价计算阈值对（α，B)。杨雯琳等]建立 然数集，CM(x)是x的重数，Hx∈U。 了基于相似度的三支决策模糊粗糙集最优模型来 函数CM称为有限函数，表示每个元素出现 计算阈值对(@，B)。衷锦仪等]基于区间值决策 的次数。μ(U)表示U上的所有多重集族。如果 粗糙集模型，从模糊数学的角度得出了更为紧凑 Yx∈U,CM(x)=0,则M是一个空的多重集，记为 的阈值对(a,B的上、下近似。对于多重集值，Zhao O。多重集有多种表示方式，M=(x,x,x,y,y,),M= 等提出了多重集决策粗糙集模型和多重集模 糊决策粗糙集模型来计算损失函数的期望代价。 Cw(eU.Cw(eN,)M=∑国(U是 Liang等l1将精确值的损失函数概念推广到三角 限集)或M=「C田U是无限集)。 模糊决策粗糙集上来计算决策损失。Lin6基于 约束满意度提出了一种解决模糊线性关系的方 定义2 在(O,1)上，多重集M={(x, 法，该方法被其他学者用于研究阈值对（α，）。 CM(x)x∈[O,1,CM(x)∈NbM的长度定义为：IMp= 目前，三支决策已经得到了广泛的应用，而且 决策粗糙集理论是求解三支分类的经典理论 ,p≥1 之一。因此，三支决策相关的研究成果包括了不 常用的长度有：曼哈顿长度，即IM,=∑Cw()· 同数据模型的决策粗糙集推广，例如：基于代价 敏感度量的概率粗糙集三支决策1、模糊集三 欧几里得长度，即M2 v(x)-x ;无限长度， 支决策1、区间集三支决策201、邻域三支决策2 即IMl。=max{CM(x)·x。 等。不同模型阈值对确定的方法可能是不同的。 1.2基于模糊数的决策粗糙集模型 邢航2提出的基于构造性覆盖算法的三支决策 Yao等基于贝叶斯决策过程，提出决策理 模型可以根据样本的分布特征自动形成三个域， 论粗糙集模型，该模型利用状态集O={A,A}和 相比于基于决策粗糙集的三支决策模型，基于构 动作集a={a,a,a,}来描述决策过程，其中状态集 造性覆盖算法的三支决策模型不必人为决定关键 O={A,A}中的元素分别表示某事件属于A和不 参数，能自动形成三个域，使得如何获得决策粗 属于A,动作集a={a,ah,a,}中的元素分别表示将 糙集理论模型中损失函数、阈值的取值问题得以 对象x划分到正域、边界域和负域。 解决。徐健锋等2)提出了一种基于三支决策代 对象x采取3个行动之一引起的实际代价 价目标函数间逻辑关系的新型阈值计算方法。 R(a.[x]),R(a[x]),R(a,[x)分别为

将粗糙集和模糊集进行融合。20 世纪 90 年代， Dubois 等 [1-2] 将粗糙集和模糊集结合在一起，提出 了描述不确定性的模糊粗糙集模型。在概率近似 空间上， Sun 等 [ 3 ] 提出了粗糙近似模糊概念。 Yao 等 [4] 基于贝叶斯决策近似概念的含义提出了 模糊粗糙集。Zhao 等 [5] 在模糊概率近似空间和 区间值模糊概率近似空间的框架下研究了决策粗 糙集。 (α, β) (α, β) (α, β) (α, β) 基于决策粗糙集，Yao[6] 提出了三支决策。通 过推广贝叶斯决策理论得到了三支决策粗糙集， 其考虑的是粗糙集三个成对互不相交的区域，即 正域、负域和边界域。之后，Liang 等 [7] 提出了一 系列新的三支决策模型，比如区间值粗糙集三支 决策、双重犹豫模糊粗糙集三支决策[8] ，基于点算 子的直觉模糊粗糙集的三支决策[ 9 ] 等。最近， Feng 等 [10] 基于多粒度模糊近似空间和隶属度算 子，将三支决策和变精度粗糙集结合在一起，提 出了 1 型变精度多粒度决策模糊粗糙集模型。随 着研究的深入，Deng 等 [11] 推广了三支近似模糊集 决策模型，提出可变的决策理论公式，通过最小 化决策代价计算阈值对 。杨雯琳等[12] 建立 了基于相似度的三支决策模糊粗糙集最优模型来 计算阈值对 。衷锦仪等[13] 基于区间值决策 粗糙集模型，从模糊数学的角度得出了更为紧凑 的阈值对 的上、下近似。对于多重集值，Zhao 等 [14] 提出了多重集决策粗糙集模型和多重集模 糊决策粗糙集模型来计算损失函数的期望代价。 Liang 等 [15] 将精确值的损失函数概念推广到三角 模糊决策粗糙集上来计算决策损失。Lin[16] 基于 约束满意度提出了一种解决模糊线性关系的方 法，该方法被其他学者用于研究阈值对 。 目前，三支决策已经得到了广泛的应用,而且 决策粗糙集理论[17] 是求解三支分类的经典理论 之一。因此，三支决策相关的研究成果包括了不 同数据模型的决策粗糙集推广，例如：基于代价 敏感度量的概率粗糙集三支决策[18-19] 、模糊集三 支决策[8] 、区间集三支决策[20] 、邻域三支决策[21] 等。不同模型阈值对确定的方法可能是不同的。 邢航[22] 提出的基于构造性覆盖算法的三支决策 模型可以根据样本的分布特征自动形成三个域， 相比于基于决策粗糙集的三支决策模型，基于构 造性覆盖算法的三支决策模型不必人为决定关键 参数，能自动形成三个域，使得如何获得决策粗 糙集理论模型中损失函数、阈值的取值问题得以 解决。徐健锋等[23] 提出了一种基于三支决策代 价目标函数间逻辑关系的新型阈值计算方法。 Liu 等 [24] 为决策理论粗糙集中的阈值参数优化建 立了理论和系统的框架，并且提出了一种基于优 化的通用方法来确定具有各种语义的决策理论粗 糙集的阈值对。 (α, β) (α, β) 在模糊决策粗糙集模型中，大多数研究是以 总体决策代价最小化为目标，得出计算最优阈值 对 的方法，其中决策代价是专家给出的，并 没有进行进一步的研究。而衷锦仪等[13] 基于区 间值模糊决策粗糙集模型，得出了计算决策代价 的方法。本文采用了属性值来描述决策代价，用 对象间的曼哈顿距离表示决策代价函数，得出最 优阈值对 。 1 决策粗糙集模型 (α, β) 本节介绍了多重集的相关概念和基于模糊数 的决策粗糙集模型，该模型用区间值来刻画损失 代价得到更为紧凑的阈值对 的上、下近似。 1.1 多重集 U U M CM : U → N N CM (x) x ∀x ∈ U 定义 1 [18] 设一个非空论域 ，在 上的一 个多重集 上定义函数 ，其中 是自 然数集， 是 的重数， 。 CM µ(U) U ∀x ∈ U,CM (x) = 0 M Ø M = (x, x, x, y, y,· · ·) M = {(x,CM (x))|x ∈ U,CM (x) ∈ N } M = ∑ x∈U CM (x) x U M = ∫ x∈U CM (x) x U 函数 称为有限函数，表示每个元素出现 的次数。 表示 上的所有多重集族。如果 ，则 是一个空的多重集，记为 。多重集有多种表示方式， ， ， ( 是 有 限集) 或 ( 是无限集)。 µF ([0,1]) M = {(x, CM (x))|x ∈ [0,1],CM (x) ∈ N } M ∥M∥p =   ∑ x CM (x)· x p   1 p , p ⩾ 1 定义 2 [ 1 4 ] 在 上，多重集 ， 的长度定义为： 。 ∥M∥1 = ∑ x CM (x)· x ∥M∥2 =   ∑ x CM (x)· x 2   1 2 ∥M∥℘ = maxx {CM (x)· x} 常用的长度有：曼哈顿长度，即 ； 欧几里得长度，即 ；无限长度， 即 。 1.2 基于模糊数的决策粗糙集模型 O = { A,A C } a = {ae ,ab,ar} O = { A,A C } A A a = {ae ,ab,ar} x Yao 等 [4] 基于贝叶斯决策过程，提出决策理 论粗糙集模型，该模型利用状态集 和 动作集 来描述决策过程，其中状态集 中的元素分别表示某事件属于 和不 属于 ，动作集 中的元素分别表示将 对象 划分到正域、边界域和负域。 x R(ae |[x]),R(ab |[x]),R(ar |[x]) 对象 采取 3 个行动之一引起的实际代价 分别为 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1069·

·1070· 智能系统学报 第15卷 1)R(al[x])=pP(Al[x])+P(Acx]) 设决策代价入.的梯形模糊数为M.,即 2)R(a,l)=p·P(I)+dm·P(AcI[x) Mep=(11,r12,r3,r4) 3)R(a,l[x])=ApP(Al[x])+mP(AC[x]) Mp=(21,r2,23,24) 式中：p、p、p分别表示当x∈A采取行动 Mp=(31,r32,3,4） ae、a、a,时的决策代价；n、m、m分别表示当 Mn=(S11,S12,513,514） xA采取行动a。、ab、a,时的决策代价；P(A)) Mm=(521,522,523,524) 表示x∈A的条件概率，P(ACI[x)表示x生A的条 Mnm=(S31,S32,S33,S34） 件概率。 可以得到α、B的模糊分布为 所以，总体决策代价为R=》a=∑， 1 1 1 1 P(4I[)+m·P(ACI[x)。 1+24- 1+23-厘'1+2- 1+21-4 S31-524 S32-S23 S33-S22 534-S21 根据贝叶斯决策准则，要使总体决策代价达 到最小，则需要采取行动的实际代价最小，即决 1 1 1 1 B= 策规则为： 1+4-2'1+3-2'1+2-2'1+1-☒ S21-S14 S22-S13 523-S12 S24-S11 1)如果R(a.lx)≤R(abl[x)且R(a.l[x)≤R(a,l 设M=(,r2,n,r)是梯形模糊数，a=(a1,a2 [x),则采取接受决策； a,a4),B=(b,b2,b3,ba),用模糊满意度16来比较两 2)如果R(al[x)≤R(ax)且R(a[x)≤R(a,l 个模糊数的大小，-水平截集的左右断点分别记 [),则采取延迟决策： 为a吃、a、片、，则a吃=a2n+a1(1-),ag=a7+ 3)如果R(a,I[x)≤R(a.I[x)且R(a,I[)≤R(al a4(1-,P%=b2n+b1(1-),f=b+b,(1-o [x),则采取拒绝决策。 可以计算出阈值对（α，）为 入am-hn 2 基于三支决策模糊粗糙集模型的 (Aar-Amn)+(Abp-Aap) 决策代价 Aon-Arm (Am-Am)+(Arp-Abp) 在文献[12]中只是给出了最优阈值对（α，β） 定义31设论域U上的模糊数为F,如果F 关于决策代价的表示，并没有讨论决策代价的问 的隶属度函数：U→0,1】表示为 题。文献[14]在多重集中用了重数刻画决策代 0,xvij-ve 间值=[，]： 距离为dis= 其中i=1,2,…,n,j= 2)找出n个区间值中的最小值dm和最大值 la,以为起点，a为终点■二为长度 k 1,2,,m,则对象对相应属性的距离D=(dis)n (k∈N),作k个区间的划分； 常用的距离有： 3)计算每个区间的隶属频率了=%其中加为随 机选择的样本总数，m为区间样本覆盖入.的频数； ∑- 4)以实数x为横坐标，隶属频率为纵坐标，绘 曼哈顿距离：dis 出L.的模糊分布曲线。 u-vo 5)对该模糊分布左右两边的曲线进行直线拟 合，得到一个梯形分布函数。 欧氏距离：dis房，=

1)R(ae |[x]) = λep · P(A|[x])+λen · P ( A C |[x] ) 2)R(ab |[x]) = λbp · P(A|[x])+λbn · P ( A C |[x] ) 3)R(ar |[x]) = λrp · P(A|[x])+λrn · P ( A C |[x] ) λep、λbp、λrp x ∈ A ae、ab、ar λen、λbn、λrn x < A ae、ab、ar P(A|[x]) x ∈ A P ( A C |[x] ) x < A 式中： 分别表示当 采取行动 时的决策代价； 分别表示当 采取行动 时的决策代价； 表示 的条件概率， 表示 的条 件概率。 R = ∑ x∈U R(a|x ) = ∑ x∈U λap· P(A|[x])+λan · P ( A C |[x] ) 所以，总体决策代价为 。 根据贝叶斯决策准则，要使总体决策代价达 到最小，则需要采取行动的实际代价最小，即决 策规则为： R(ae |[x]) ⩽ R(ab |[x]) R(ae |[x]) ⩽ R(ar | [x]) 1) 如果 且 ，则采取接受决策； R(ab |[x]) ⩽ R(ae |[x]) R(ab |[x]) ⩽ R(ar | [x]) 2) 如果 且 ，则采取延迟决策； R(ar |[x]) ⩽ R(ae |[x]) R(ar |[x]) ⩽ R(ab| [x]) 3) 如果 且 ，则采取拒绝决策。 (α, β) ( λan −λbn (λan −λbn)+ ( λbp −λap), λbn −λrn (λbn −λrn)+ ( λrp −λbp) ) 可以计算出阈值对 为 。 U F F µF : U → [0,1] 定义 3 [13] 设论域 上的模糊数为 ，如果 的隶属度函数 表示为 µF    0, x < r1 x−r1 r2 −r1 , r1 ⩽ x < r2 1, r2 ⩽ x < r3 r4 − x r4 −r3 , r3 ⩽ x < r4 0, x ⩾ r4 则称 M = (r1,r2,r3,r4) 为梯形模糊数。 λep = [ λ L ep, λU ep] , λbp= [ λ L bp, λU bp] , λrp = [ λ L rp, λU rp] , λen = [ λ L en, λU en ] , λbn = [ λ L bn, λU bn ] , λrn = [ λ L rn, λU rn ] λ∗∗ 设一组决策代价 。设 为某个状态决策动作的决策代价，模糊统计方 法如下： n n λ∗∗ = [ λ L ∗∗, λU ∗∗ ] 1) 设在一次统计中， 位专家给出了 个区 间值 ； n λmin λmax λmin λmax λmax −λmin k k ∈ N ∗ k 2) 找出 个区间值中的最小值 和最大值 ，以 为起点， 为终点， 为长度 ( )，作 个区间的划分； f = m n n m λ∗∗ 3) 计算每个区间的隶属频率 ，其中 为随 机选择的样本总数， 为区间样本覆盖 的频数； x λ∗∗ 4) 以实数 为横坐标，隶属频率为纵坐标，绘 出 的模糊分布曲线。 5) 对该模糊分布左右两边的曲线进行直线拟 合，得到一个梯形分布函数。 设决策代价 λ∗∗ 的梯形模糊数为 M∗∗，即 Mep = (r11,r12,r13,r14) Mbp = (r21,r22,r23,r24) Mrp = (r31,r32,r33,r34) Men = (s11,s12,s13,s14) Mbn = (s21,s22,s23,s24) Mrn = (s31,s32,s33,s34) 可以得到 α、β 的模糊分布为 α=   1 1+ r24 −r11 s31 − s24 , 1 1+ r23 −r12 s32 − s23 , 1 1+ r22 −r13 s33 − s22 , 1 1+ r21 −r14 s34 − s21   β=   1 1+ r34 −r21 s21 − s14 , 1 1+ r33 −r22 s22 − s13 , 1 1+ r32 −r23 s23 − s12 , 1 1+ r31 −r24 s24 − s11   M = (r1,r2,r3,r4) α = (a1,a2, a3,a4), β = (b1,b2,b3,b4) η α L η、α U η 、β L η、β U η α L η = a2η+a1 (1−η),α U η = a3η+ a4 (1−η), βL η = b2η+b1 (1−η), βU η = b3η+b4 (1−η) 设 是梯形模糊数， ，用模糊满意度[16] 来比较两 个模糊数的大小， -水平截集的左右断点分别记 为 ，则 。 2 基于三支决策模糊粗糙集模型的 决策代价 在文献 [12] 中只是给出了最优阈值对 (α, β) 关于决策代价的表示，并没有讨论决策代价的问 题。文献 [14] 在多重集中用了重数刻画决策代 价，那么在三支决策的模糊粗糙集模型中也可以 用属性值来刻画决策代价。对比文献 [13] 计算决 策代价的方法，本文用对象间的曼哈顿距离表示 决策代价函数，再进行模糊统计，提出了一种基 于相似度三支决策模糊粗糙集模型的计算决策代 价的方法。 Ω = (U,A,V, f) A = {a1,a2,· · ·,am} U = {x1, x2,· · ·, xn} V = {Va |a ∈ A} = ( vi j) n×m Va disi j =   ∑n k=1   vi j −vk j    p n   1/p i = 1,2,··· ,n, j = 1,2,· · ·,m D = ( disp i j) n×m 定义 4 设模糊信息系统 ， 是属性集， 是对象集， 是属性值集， 是一个隶属函 数值，则每个对象在每个属性下相对于其他对象的 距离为 ，其中 ，则对象对相应属性的距离 。 常用的距离有： dis1 i j = ∑n k=1   vi j −vk j    n 曼哈顿距离： dis2 i j = vuuuut∑n k=1   vi j −vk j    2 n 欧氏距离： ·1070· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷

第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1071· 切比雪夫距离：dis号=max1cn{-g} 表1所示。其中，对象集合U={x,2,…,x8,属性 定义5在2=(U,A,Vf)中，决策代价函数 集合A={a1,a2,,a4,YaeA,Yx∈U,对象的隶属 入，：D→入(D),入.为决策动作的决策代价： 度为ua(x)∈0,1]。 1)接受决策：(D)=1-D。 表1模糊信息系统 2)延迟决策：6(D)=0.5-D。 Table 1 Fuzzy information system 3)拒绝决策：，(D)=D。 U a a3 a 当采取接受决策时，需要付出的决策代价为 岁 0.1 0.8 0.9 0.8 产生错误决策的决策代价，入(D)=1-D;当采取 X2 1.0 0.1 0.3 0.2 延迟决策时，未做任何决策，保留了对象的不确 X3 0.6 0.3 0.8 0.4 定性，，(D)=0.5-D外：当采取拒绝决策时，需要付 X4 0.1 0.6 0.9 0.6 出的决策代价为入，(D)=D。 0.2 0.9 0.9 0.5 模糊统计方法如下： X6 0.5 0.2 0.7 0.3 设某个决策动作的决策代价组入.=(！，，，)， x 0.3 0.9 0.5 0.7 X表示第I个属性的决策代价。 % 1.0 0.6 0.2 0.1 1)在一个模糊信息系统2=(U,A,Vf)中，计 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 算每个对象在每个属性下相对于其他对象的距 ∑w- ∑w- k=1 离（此处用曼哈顿距离dis好= l= 一)，得到关 的曼哈顿距离dis,= 8 其中，i=1,2,… 1 于决策代价的曼哈顿距离D=(dis),其中i= 8；j=1,2,…,4,得到的关于决策代价的曼哈顿距 1,2,…,:j=1,2,…,m; 离D=(ds)如表2所示。 2)计算决策代价函数入.(D): 表2曼哈顿距离 3)找出n个值中的最小值mm和最大值dmax, Table 2 Manhattan distance 以1m-6-二出为起点，m+6+如为 对象 0 a a3 a 2k 2k 终点，-血为区间长度kEN),划分为k+1 0.3750 0.3000 0.2500 0.3500 k 0.5250 0.4500 0.3750 0.2750 个区间，其中6为邻域值： 专 0.3250 0.3250 0.2250 0.2000 4)计算每个动作在不同属性下的隶属频率 X4 0.3750 0.2500 0.2500 0.2250 f=m,其中n为随机选择的样本总数，m为区间 0.3250 0.3500 0.2500 0.2000 样本覆盖某个值的6邻域的频数： X6 0.3000 0.3750 0.2250 0.2250 5)以实数x为横坐标，隶属频率为纵坐标，对 0.3000 0.3500 0.2750 0.2750 点进行曲线拟合，取决策动作在每个属性下曲线 李 0.5250 0.2500 0.4500 0.3500 最高点的横坐标，得到一个不同属性下的决策代 计算当采取接受决策时的决策代价入(D)= 价组： 1-D,则得到接受决策的决策代价如表3所示。 6)某个决策动作的决策代价即为 表3接受决策的决策代价 Table 3 Decision costs of accepting the decision 对象 a a ds a4 X1 0.6250 0.7000 0.7500 0.6500 3实例分析 2 0.4750 0.5500 0.6250 0.7250 岁 0.6750 0.6750 0.7750 0.8000 实验采用的配置如下：CPU为Intel(R)Celer- 0.6250 0.7500 07500 0.7750 on(R)CPU1007U@1.5GHz,4.0GB内存，软件 0.6750 0.6500 0.7500 0.8000 是64位MATLAB R2014a. X6 0.7000 0.6250 0.7750 0.7750 基于文献[12]的模糊信息系统实例来分析本 0.7000 0.6500 0.7250 0.7250 文基于三支决策模糊粗糙集模型的决策代价。 0.4750 0.7500 0.5500 0.6500 例1卫=(U,A,Vf)是一个模糊信息系统，如

dism i j = max1⩽k⩽n {  vi j −vk j    } 切比雪夫距离： Ω = (U,A,V, f) λ∗ : D → λ∗ (D) λ∗ 定义 5 在 中，决策代价函数 ， 为决策动作的决策代价： 1) 接受决策： λe (D) = 1− D。 2) 延迟决策： λb (D) = |0.5− D|。 3) 拒绝决策： λr (D) = D。 λe (D) = 1− D λb (D) = |0.5− D| λr (D) = D 当采取接受决策时，需要付出的决策代价为 产生错误决策的决策代价， ；当采取 延迟决策时，未做任何决策，保留了对象的不确 定性， ；当采取拒绝决策时，需要付 出的决策代价为 。 模糊统计方法如下： λ∗ = ( λ 1 ∗ , λ2 ∗ ,· · ·, λm ∗ ) λ l ∗ l 设某个决策动作的决策代价组 ， 表示第 个属性的决策代价。 Ω = (U,A,V, f) dis1 i j = ∑n k=1   vi j −vk j    n D = ( dis1 i j) n×m i = 1,2,· · ·,n；j = 1,2,· · ·,m 1) 在一个模糊信息系统 中，计 算每个对象在每个属性下相对于其他对象的距 离 (此处用曼哈顿距离 )，得到关 于决策代价的曼哈顿距离 ，其中 ； 2) 计算决策代价函数 λ∗ (D) ； n λmin λmax λmin −δ− λmax −λmin 2k λmax +δ+ λmax −λmin 2k λmax −λmin k k ∈ N ∗ k+1 δ 3) 找出 个值中的最小值 和最大值 ， 以 为起点， 为 终点， 为区间长度 ( )，划分为 个区间，其中 为邻域值； f = m n n m δ 4) 计算每个动作在不同属性下的隶属频率 ，其中 为随机选择的样本总数， 为区间 样本覆盖某个值的 邻域的频数； 5) 以实数 x 为横坐标，隶属频率为纵坐标，对 点进行曲线拟合，取决策动作在每个属性下曲线 最高点的横坐标，得到一个不同属性下的决策代 价组； 6) 某个决策动作的决策代价即为 λ∗ = vuuuuut∑m l=1 λ l ∗ 2 m 3 实例分析 实验采用的配置如下：CPU 为 Intel(R) Celer￾on(R) CPU 1007U @ 1.5 GHz，4.0 GB 内存，软件 是 64 位 MATLAB R2014a。 基于文献 [12] 的模糊信息系统实例来分析本 文基于三支决策模糊粗糙集模型的决策代价。 例 1 Ω = (U,A,V, f) 是一个模糊信息系统，如 U = {x1, x2,· · ·, x8} A = {a1,a2,· · ·,a4} ∀a ∈ A,∀x ∈ U µa (x) ∈ [0,1] 表 1 所示。其中，对象集合 ，属性 集合 ， ，对象的隶属 度为 。 表 1 模糊信息系统 Table 1 Fuzzy information system U\A a1 a2 a3 a4 x1 0.1 0.8 0.9 0.8 x2 1.0 0.1 0.3 0.2 x3 0.6 0.3 0.8 0.4 x4 0.1 0.6 0.9 0.6 x5 0.2 0.9 0.9 0.5 x6 0.5 0.2 0.7 0.3 x7 0.3 0.9 0.5 0.7 x8 1.0 0.6 0.2 0.1 dis1 i j = ∑8 k=1   vi j −vk j    8 i = 1,2,· · ·, 8；j = 1,2,· · ·,4 D = ( dis1 i j) 8×4 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 的曼哈顿距离 ，其中， ，得到的关于决策代价的曼哈顿距 离 如表 2 所示。 表 2 曼哈顿距离 Table 2 Manhattan distance 对象 a1 a2 a3 a4 x1 0.3750 0.300 0 0.2500 0.350 0 x2 0.5250 0.450 0 0.3750 0.275 0 x3 0.3250 0.325 0 0.2250 0.200 0 x4 0.3750 0.250 0 0.2500 0.225 0 x5 0.3250 0.350 0 0.2500 0.200 0 x6 0.3000 0.375 0 0.2250 0.225 0 x7 0.3000 0.350 0 0.2750 0.275 0 x8 0.5250 0.250 0 0.4500 0.350 0 λe (D) = 1− D 计算当采取接受决策时的决策代价 ，则得到接受决策的决策代价如表 3 所示。 表 3 接受决策的决策代价 Table 3 Decision costs of accepting the decision 对象 a1 a2 a3 a4 x1 0.6250 0.700 0 0.7500 0.650 0 x2 0.4750 0.550 0 0.6250 0.725 0 x3 0.6750 0.675 0 0.7750 0.800 0 x4 0.6250 0.750 0 07500 0.775 0 x5 0.6750 0.650 0 0.7500 0.800 0 x6 0.7000 0.625 0 0.7750 0.775 0 x7 0.7000 0.650 0 0.7250 0.725 0 x8 0.4750 0.750 0 0.5500 0.650 0 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1071·

·1072· 智能系统学报 第15卷 接受决策的决策代价在属性a下的最小值 0.9 决策代价频率 中子 为0.475，最大值为0.7，取6=0.15，以0.3125为起 0.8 隶属频率拟合 点，0.8625为终点，0.025为区间长度，划分为 0.7 0.6 22个区间。接受决策属性a1的决策代价频率分 布如表4所示。 0.5 0.4 表4属性a1决策代价频率分布 0.3 Table 4 Attribute a decision costs frequency distribution 0.2 序号 区间 频数 频率 1 [0.3125,0.3375] 2 0.2500 01.450.500.550.600.650.700.750.800.85 决策代价X, 2 [0.3375,0.3625] 2 0.2500 3 [0.3625,0.3875] 2 0.2500 图2接受决策属性2频率分布拟合曲线 4 [0.3875,0.4125] 0.2500 Fig.2 Accept the decision attribute az frequency distribu tion fitting curve 5 [0.4125,0.4375] 0.2500 6 [0.4375,0.4625] 2 0.2500 0.9 7 0.4625,0.4875] 4 0.5000 决策代价频率 0.8 隶属频率拟合 8 [0.4875,0.5125] 4 0.5000 部0.7 9 [0.5125,0.5375] 6 0.7500 10 [0.5375,0.5625] 1.0000 11 [0.5625,0.58751 1.0000 [0.5875,0.6125 1.0000 置a3 3 [0.6125,0.6375] 8 1.0000 0.2 14 [0.6375,0.66251 6 0.7500 0.1 .40 0.500.600.70 0.800.90 15 [0.6625,0.6875] 6 0.7500 决策代价X 16 [0.6875,0.7125] 6 0.7500 [0.7125,0.7375] 图3接受决策属性☑3频率分布拟合曲线 17 6 0.7500 Fig.3 Accept the decision attribute a3 frequency distribu 18 [0.7375,0.7625] 6 0.7500 tion fitting curve 19 [0.7625,0.7875] 6 0.7500 20 [0.7875,0.8125 0.5000 1.0 决策代价频率 [0.8125,0.8375] 0.5000 0.9 隶属频率拟合 3 0.8375,0.86251 0.2500 解0.8 0.7 以决策代价x1为横坐标，隶属频率为纵坐 毫06 标，对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在 属性a1下的隶属频率拟合曲线如图1所示。图2~4 分别是接受决策在属性a2、a、a4下的隶属频率 0.3 拟合曲线。 0.2 .550.600.650.700.750.800.850.90 1.0 决策代价X ·决策代价频率 09 ·隶属频率拟合 图4接受决策属性a4频率分布拟合曲线 0.8 Fig.4 Accept the decision attribute a4 frequency distribu 0.7 tion fitting curve 0.6 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 0.4 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 0.3 在属性a、a2、a、a4下的决策代价分别为0.6347、 0.29 0.6738、0.737、0.7465,因此接受决策的决策代价 0.30.40.50.60.70.80.9 决策代价X 组为=(0.6347,0.6738,0.7370,0.7465)。同理，对 延迟决策和拒绝决策按照以上步骤处理，得到延 图1接受决策属性a1频率分布拟合曲线 Fig.1 Accept the decision attribute a frequency distribu- 迟决策的决策代价组为=(0.1459,0.1741,0.2378 tion fitting curve 0.2465),拒绝决策的决策代价组为，=(0.3653

a1 δ = 0.15 a1 接受决策的决策代价在属性 下的最小值 为 0.475，最大值为 0.7，取 ，以 0.312 5 为起 点 ，0.862 5 为终点，0.025 为区间长度，划分为 22 个区间。接受决策属性 的决策代价频率分 布如表 4 所示。 表 4 属性 a1 决策代价频率分布 Table 4 Attribute a1 decision costs frequency distribution 序号 区间 频数 频率 1 [0.312 5,0.337 5] 2 0.250 0 2 [0.337 5,0.362 5] 2 0.250 0 3 [0.362 5,0.387 5] 2 0.250 0 4 [0.387 5,0.412 5] 2 0.250 0 5 [0.412 5,0.437 5] 2 0.250 0 6 [0.437 5,0.462 5] 2 0.250 0 7 [0.462 5,0.487 5] 4 0. 5000 8 [0.487 5,0.512 5] 4 0.500 0 9 [0.512 5,0.537 5] 6 0.750 0 10 [0.537 5,0.562 5] 8 1.000 0 11 [0.562 5,0.587 5] 8 1.000 0 12 [0.587 5,0.612 5] 8 1.000 0 13 [0.612 5,0.637 5] 8 1.000 0 14 [0.637 5,0.662 5] 6 0.750 0 15 [0.662 5,0.687 5] 6 0.750 0 16 [0.687 5,0.712 5] 6 0.750 0 17 [0.712 5,0.737 5] 6 0.750 0 18 [0.737 5,0.762 5] 6 0.750 0 19 [0.762 5,0.787 5] 6 0.750 0 20 [0.787 5,0.812 5] 4 0.500 0 21 [0.812 5,0.837 5] 4 0.500 0 22 [0.837 5,0.862 5] 2 0.250 0 x1 a1 a2、a3、a4 以决策代价 为横坐标，隶属频率为纵坐 标，对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在 属性 下的隶属频率拟合曲线如图 1 所示。图 2~4 分别是接受决策在属性 下的隶属频率 拟合曲线。 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.3 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 决策代价 X1 属性 a1 的隶属频率 隶属频率拟合 决策代价频率 图 1 接受决策属性 a1 频率分布拟合曲线 Fig. 1 Accept the decision attribute a1 frequency distribu￾tion fitting curve 0.45 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 属性 a2 的隶属频率 决策代价 X2 隶属频率拟合 决策代价频率 图 2 接受决策属性 a2 频率分布拟合曲线 Fig. 2 Accept the decision attribute a2 frequency distribu￾tion fitting curve 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 决策代价 X3 属性 a3 的隶属频率 隶属频率拟合 决策代价频率 图 3 接受决策属性 a3 频率分布拟合曲线 Fig. 3 Accept the decision attribute a3 frequency distribu￾tion fitting curve 0.55 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.60 0.3 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 属性 a4 的隶属频率 决策代价 X4 隶属频率拟合 决策代价频率 图 4 接受决策属性 a4 频率分布拟合曲线 Fig. 4 Accept the decision attribute a4 frequency distribu￾tion fitting curve a1、a2、a3、a4 λe = (0.634 7,0.673 8,0.737 0,0.746 5) λb = (0.145 9,0.174 1,0.237 8, 0.246 5) λr = (0.365 3, 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 在属性 下的决策代价分别为 0.6347、 0.673 8、0.737、0.746 5，因此接受决策的决策代价 组为 。同理，对 延迟决策和拒绝决策按照以上步骤处理，得到延 迟决策的决策代价组为 ，拒绝决策的决策代价组为 ·1072· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷

第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1073· 0.3262,0.2630,0.2535)。 表7曼哈顿距离 对3个决策代价组分别求欧氏距离入.= Table 7 Manhattan distance 对象 a 312 a =1 X1 0.3884 0.5203 0.4500 -,得到3个决策动作的决策代价分别为入.= 0.3928 0.4177 0.3933 0.2642 0.2395 0.6995,=0.2055,,=03055。所以，=+0.5L= A+Ap 0.2565 0.3081 0.3796 0.2121 0.86,B=054=0201。 入+入 X4 0.3645 0.3393 0.3741 0.2519 通过比较文献[12]与本文的结果，可以看出 0.4475 0.4104 0.3968 0.2385 本文计算得出的阈值对是合理的。表5给出了文 献[12]与本文计算得出的阈值对。 X6 0.2565 0.2950 0.2560 0.2989 表5文献[12]与本文的阈值对比 0.2599 0.3341 0.2560 0.2493 Table 5 Comparision of the threshold pair between Ref.[12] 0.2799 0.3304 0.3560 0.3339 and this study 0.3504 0.3559 0.4272 0.2259 阈值 文献12] 本文 0.4177 0.2950 0.2582 0.2121 0.829 0.886 B 0.219 0.201 表8接受决策的决策代价 例2 2=(U,A,V,f)是一个模糊信息系统，如 Table 8 Decision costs of accepting the decision 表6所示。其中，对象集合U={,2,…,x0,属性 对象 a 集合A={a,a2,a3,al,Ha∈A,x∈U,对象的隶属度 0.6116 0.4797 0.5500 0.6072 为4.(x)∈[O,l](数据来源UCI:Connectionist Bench (Sonar,Mines vs.Rocks)). 0.5823 0.6067 0.7358 0.7605 表6联结主义数据 0.7435 0.6919 0.6204 0.7879 Table 6 Connectionist date X4 0.6355 0.6607 0.6259 0.7481 U a 02 as 0.5525 0.5896 0.6032 0.7615 0.2086 1.0000 0.9212 0.8703 1.0000 0.0864 0.3724 0.2863 0.7435 0.7050 0.7440 0.7011 0.5946 0.2314 0.1036 0.3894 0.7401 0.6659 0.7440 0.7507 a 0.2484 0.7440 0.8169 0.6942 Xg 0.7201 0.6696 0.6440 0.6661 Xs 0.1348 0.8626 0.8547 0.6627 0.6496 0.6441 0.5728 0.7741 哈 0.5268 0.2969 0.5163 0.1873 X10 0.5823 0.7050 0.7418 0.7879 0.5100 0.7310 0.4134 0.6898 0.7115 0.1757 0.1428 0.1436 接受决策的决策代价在属性a下的最小值为 g 0.8878 0.1331 0.0440 0.3204 0.5525,最大值为0.7435，取6=0.0705，以0.47536 X10 1.0000 0.5356 0.5271 0.5308 为起点，0.82064为终点，0.01328为区间长度，划 分为26个区间。其频率分布如表9所示。 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 表9属性a1决策代价频率分布 - Table 9 Attribute a decision costs frequency distribution 的曼哈顿距离dis= 10—,i=1,2…,10,j=1, 序号 区间 频数 频率 2,·,4,得到的关于决策代价的曼哈顿距离D= 1 [0.47536,0.48864] 0.1 (dis1如表7所示。 2 [0.48864,0.50192] 1 0.1 计算接受决策的决策代价入(D)=1-D,得到 接受决策的决策代价如表8所示。 [0.50192,0.5152] 0.3

0.326 2,0.263 0,0.253 5)。 λ∗ = vuuuuut∑4 l=1 λ l ∗ 2 4 λe = 0.699 5, λb =0.205 5, λr = 0.305 5 α= λe +0.5λb λe +λb = 0.886, β = 0.5λb λb +λr = 0.201 对 3 个决策代价组分别求欧氏距离 ，得到 3 个决策动作的决策代价分别为 。所以， 。 通过比较文献 [12] 与本文的结果，可以看出 本文计算得出的阈值对是合理的。表 5 给出了文 献 [12] 与本文计算得出的阈值对。 表 5 文献 [12] 与本文的阈值对比 Table 5 Comparision of the threshold pair between Ref. [12] and this study 阈值 文献[12] 本文 α 0.829 0.886 β 0.219 0.201 Ω = (U,A,V, f) U = {x1, x2,· · ·, x10} A = {a1,a2,a3,a4} ∀a ∈ A,∀x ∈ U µa (x) ∈ [0,1] 例 2 是一个模糊信息系统，如 表 6 所示。其中，对象集合 ，属性 集合 ， ，对象的隶属度 为 (数据来源 UCI：Connectionist Bench (Sonar, Mines vs. Rocks))。 表 6 联结主义数据 Table 6 Connectionist date U\A a1 a2 a3 a4 x1 0.208 6 1.000 0 0.9212 0.8703 x2 1.000 0 0.086 4 0.3724 0.2863 x3 0.594 6 0.231 4 0.1036 0.3894 x4 0.248 4 0.744 0 0.8169 0.6942 x5 0.134 8 0.862 6 0.8547 0.6627 x6 0.526 8 0.296 9 0.5163 0.1873 x7 0.510 0 0.731 0 0.4134 0.6898 x8 0.711 5 0.175 7 0.1428 0.1436 x9 0.887 8 0.133 1 0.0440 0.3204 x10 1.000 0 0.535 6 0.5271 0.5308 dis1 i j = ∑10 k=1   vi j −vk j    10 i = 1,2,··· ,10, j = 1, 2,··· ,4 D = ( dis1 i j) 10×4 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 的曼哈顿距离 ， ，得到的关于决策代价的曼哈顿距离 如表 7 所示。 计算接受决策的决策代价 λe (D) = 1− D ，得到 接受决策的决策代价如表 8 所示。 表 7 曼哈顿距离 Table 7 Manhattan distance 对象 a1 a2 a3 a4 x1 0.3884 0.520 3 0.4500 0.392 8 x2 0.4177 0.393 3 0.2642 0.239 5 x3 0.2565 0.308 1 0.3796 0.212 1 x4 0.3645 0.339 3 0.3741 0.251 9 x5 0.4475 0.410 4 0.3968 0.238 5 x6 0.2565 0.295 0 0.2560 0.298 9 x7 0.2599 0.334 1 0.2560 0.249 3 x8 0.2799 0.330 4 0.3560 0.333 9 x9 0.3504 0.355 9 0.4272 0.225 9 x10 0.4177 0.295 0 0.2582 0.212 1 表 8 接受决策的决策代价 Table 8 Decision costs of accepting the decision 对象 a1 a2 a3 a4 x1 0.6116 0.479 7 0.5500 0.607 2 x2 0.5823 0.606 7 0.7358 0.760 5 x3 0.7435 0.691 9 0.6204 0.787 9 x4 0.6355 0.660 7 0.6259 0.748 1 x5 0.5525 0.589 6 0.6032 0.761 5 x6 0.7435 0.705 0 0.7440 0.701 1 x7 0.7401 0.665 9 0.7440 0.750 7 x8 0.7201 0.669 6 0.6440 0.666 1 x9 0.6496 0.644 1 0.5728 0.774 1 x10 0.5823 0.705 0 0.7418 0.787 9 a1 δ = 0.070 5 接受决策的决策代价在属性 下的最小值为 0.5525，最大值为 0.7435，取 ，以 0.47536 为起点，0.820 64 为终点，0.013 28 为区间长度，划 分为 26 个区间。其频率分布如表 9 所示。 表 9 属性 a1 决策代价频率分布 Table 9 Attribute a1 decision costs frequency distribution 序号 区间 频数 频率 1 [0.475 36,0.488 64] 1 0.1 2 [0.488 64,0.501 92] 1 0.1 3 [0.501 92,0.51 52] 3 0.3 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1073·

·1074· 智能系统学报 第15卷 续表9 1.0 。决策代价频率 序号 区间 频数 频率 0.9 隶属频率拟合 0.8 4 [0.5152,0.52848] 3 0.3 0.7 0.6 5 [0.52848,0.54176 4 0.4 6 [0.54176,0.555041 4 0.4 0.4 > [0.55504,0.56832] 5 0.5 0.2 [0.56832,0.5816 6 0.6 0.1 0.05 9 [0.5816.0.594881 6 0.6 0.35 0.45 0.550.65 0.750.85 决策代价X 10 [0.59488,0.60816 6 0.6 图6接受决策属性a2频率分布拟合曲线 11 [0.60816,0.62144 6 0.6 Fig.6 Accept the decision attribute az frequency distribu- 12 [0.62144,0.63472] 6 0.6 tion fitting curve 13 [0.63472,0.6481 0.5 1.0 0.9 决策代价频率 [0.648.0.66128] 6 0.6 15 [0.66128,0.67456] 7 0.7 08 隶属频率拟合 16 [0.67456,0.68784 7 0.7 0.6 0.5 17 [0.68784,0.70112] 6 0.6 0.4 40.3 18 [0.70112,0.7144] 6 0.6 0.2 19 [0.7144,0.72768] 5 0.5 0.1 20 [0.72768,0.74096 4 0.4 0840 0.50 0.60.0.700.800.90 决策代价X 21 [0.74096,0.75424] 4 0.4 图7接受决策属性3频率分布拟合曲线 22 [0.75424,0.76752] 4 0.4 Fig.7 Accept the decision attribute a3 frequency distribu- 9 [0.76752,0.7808 4 0.4 tion fitting curve 24 [0.7808.0.794081 4 0.4 1.0 25 [0.79408,0.80736 3 0.3 0.9 决策代价频率 26 0.3 0.8 隶属频率拟合 [0.80736,0.82064] 3 0.7 以决策代价x1为横坐标，隶属频率为纵坐 0.6 5 标，对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在 g04 属性a1下的隶属频率拟合曲线如图5所示。图68 0.3 分别是接受决策在属性a2、a、a4下的隶属频率 03 0.1 拟合曲线。 0 0.550.600.650.700.750.800.85 0.8 决策代价X 。决策代价频率 0.7 一隶属频率拟合 图8接受决策属性☑4频率分布拟合曲线 0.6 Fig.8 Accept the decision attribute a4 frequency distribu- 0.5 tion fitting curve 警 .4 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 0.2 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 0.1 在属性1、a2、a、a4下的决策代价分别为0.6557、 08450.30050.600.60700.730.800-85 0.6568、0.6599、0.7546,因此接受决策的决策代 决策代价X 价组为=0.6557,0.6568,0.6599,0.7546)。同理， 对延迟决策和拒绝决策按照以上步骤处理，得到延 图5接受决策属性α1频率分布拟合曲线 Fig.5 Accept the decision attribute a frequency distribu- 迟决策的决策代价组为=(0.1549,0.1575,0.1592， tion fitting curve 0.2546,拒绝决策的决策代价组为，=(0.3443

x1 a1 a2、a3、a4 以决策代价 为横坐标，隶属频率为纵坐 标，对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在 属性 下的隶属频率拟合曲线如图 5 所示。图 6~8 分别是接受决策在属性 下的隶属频率 拟合曲线。 0.45 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.50 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 0.7 隶属频率拟合 决策代价频率 属性 a1 的隶属频率 决策代价 X1 图 5 接受决策属性 a1 频率分布拟合曲线 Fig. 5 Accept the decision attribute a1 frequency distribu￾tion fitting curve 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 0.9 决策代价 X2 属性 a2 的隶属频率 隶属频率拟合 决策代价频率 图 6 接受决策属性 a2 频率分布拟合曲线 Fig. 6 Accept the decision attribute a2 frequency distribu￾tion fitting curve 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 0.9 属性 a3 的隶属频率 决策代价 X3 隶属频率拟合 决策代价频率 图 7 接受决策属性 a3 频率分布拟合曲线 Fig. 7 Accept the decision attribute a3 frequency distribu￾tion fitting curve 0.50 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.55 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 0.9 决策代价 X4 属性 a4 的隶属频率 隶属频率拟合 决策代价频率 图 8 接受决策属性 a4 频率分布拟合曲线 Fig. 8 Accept the decision attribute a4 frequency distribu￾tion fitting curve a1、a2、a3、a4 λe = (0.655 7,0.656 8,0.659 9,0.754 6) λb = (0.154 9,0.157 5,0.159 2, 0.254 6) λr = (0.344 3, 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 在属性 下的决策代价分别为 0.6557、 0.656 8、0.659 9、0.754 6，因此接受决策的决策代 价组为 。同理， 对延迟决策和拒绝决策按照以上步骤处理，得到延 迟决策的决策代价组为 ，拒绝决策的决策代价组为 续表 9 序号 区间 频数 频率 4 [0.515 2,0.528 48] 3 0.3 5 [0.528 48,0.541 76] 4 0.4 6 [0.541 76,0.555 04] 4 0.4 7 [0.555 04,0.568 32] 5 0.5 8 [0.568 32,0.581 6] 6 0.6 9 [0.581 6,0.594 88] 6 0.6 10 [0.594 88,0.608 16] 6 0.6 11 [0.608 16,0.621 44] 6 0.6 12 [0.621 44,0.634 72] 6 0.6 13 [0.634 72,0.648] 5 0.5 14 [0.648,0.661 28] 6 0.6 15 [0.661 28,0.674 56] 7 0.7 16 [0.674 56,0.687 84] 7 0.7 17 [0.687 84,0.701 12] 6 0.6 18 [0.701 12,0.714 4] 6 0.6 19 [0.714 4,0.727 68] 5 0.5 20 [0.727 68,0.740 96] 4 0.4 21 [0.740 96,0.754 24] 4 0.4 22 [0.754 24,0.767 52] 4 0.4 23 [0.767 52,0.780 8] 4 0.4 24 [0.780 8,0.794 08] 4 0.4 25 [0.794 08,0.807 36] 3 0.3 26 [0.807 36,0.820 64] 3 0.3 ·1074· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷

第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1075· 0.3433,0.3401,0.2454)。 表12接受决策的决策代价 对3个决策代价组分别求欧氏距离入.= Table 12 Decision costs of accepting the decision 对象 a as 312 X1 0.5569 0.38950.8038 0.68950.7362 得到3个决策动作的决策代价分别为入= X2 0.7031 0.7465 0.6998 0.7944 0.7721 0.6830.=0.1864,,=0.3210。所以，a=+05L= 0.5445 0.6736 0.7612 0.7763 0.7780 入+入b 0.8928,B=05=0.1837 0.7694 0.7165 0.7962 0.7864 0.6716 b+入 例32=(U,A,Vf)是一个模糊信息系统，如 Xs 0.7609 0.6986 0.8057 0.6145 0.7780 表10所示。其中，对象集合U={x,,…,x0h,属 X6 0.7277 0.7034 0.6607 0.576 0.6227 性集合A={a1,a2,a3,a4,ash,Ya∈A,Yx∈U,对象的隶 0.7447 0.7465 0.8057 0.7944 0.7566 属度为4(x)∈[0,1J(数据来源UCL:Ionosphere). Xg 0.56440.6105 0.6043 0.6317 0.5854 表10逸散层数据 0.7026 0.6950 0.7007 0.7678 0.6024 Table 10 Lonosphere data x10 0.76940.5350 0.72300.6775 0.6332 a3 x10.10135 0 0.54730 0.31081 0.37162 接受决策的决策代价在属性a下的最小值为 x0.28409 0.68182 0.30682 0.64394 0.59091 0.5445,最大值为0.7694.取6=0.1383.以0.393665 x1.0000 0.921060.77152 0.527980.52940 为起点，0.920135为终点，0.02507为区间长度 x40.473680.83155 0.68421 0.684210.84211 划分21个区间。其频率分布如表13所示。 0.39394 0.45455 0.63636 0.21212 0.56156 x60.681980.46643 0.25795 1.0000 0.18681 表13属性a1决策代价频率分布 x0.353460.68195 0.557170.618360.42271 Table 13 Attribute a decision costs frequency distribution 0.975131.0000 0.99290 0.95737 0.97869 序号 区间 频数 频率 Xg 0.74468 0.885420.87234 0.73050 0.95745 [0.393665,0.418735] 2 0.2 x100.436360.181820.345450.290910.20000 [0.418735,0.443805] 3 0.3 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 3 [0.443805,0.468875] 3 0.3 4 0.468875,0.493945 3 0.3 的曼哈顿距离dis= k=1 [0.493945,0.519015] 3 0.3 -,i=1,2…,10,j=1, 10 6 [0.519015,0.544085] 3 0.3 2,·,5,得到的关于决策代价的曼哈顿距离D= > [0.544085,0.569155] 0.5 (dis)1os,如表11所示。 [0.569155,0.594225] 6 0.6 表11曼哈顿距离 [0.594225,0.619295] > 0.7 Table 11 Manhattan distance 10 0.619295,0.644365] 10 1.0 UU八S d a2 a3 da as 11 [0.644365,0.669435 10 1.0 x10.4431 0.6105 0.1962 0.31050.2638 10 X2 0.2969 0.2535 0.3002 0.2056 0.2279 12 [0.669435,0.694505] 1.0 3 0.4555 0.3264 0.2388 0.2237 0.2220 13 [0.694505,0.719575] 9 0.9 X4 0.2306 0.2835 0.2038 0.2136 0.3284 14 [0.719575,0.744645] > 0.7 Xs 0.2391 0.3014 0.1943 0.3855 0.2220 15 [0.744645,0.769715] > 0.7 X6 0.2723 0.2966 0.3393 0.4024 0.3773 16 [0.769715,0.794785] 7 0.7 0.2553 0.2535 0.1943 0.2056 0.2434 17 [0.794785,0.819855] 7 0.7 0.4356 0.3895 0.3957 0.3683 0.4146 7 Xg 0.29740.3050 0.2993 0.2322 0.3976 18 [0.819855,0.844925] 0.7 X10 0.2306 0.4650 0.2770 0.3225 0.3668 19 [0.844925,0.8699951 5 0.5 20 [0.869995,0.895065] 0.4 计算接受决策的决策代价(D)=1-D,得到 21 0.895065,0.920135 3 0.3 接受决策的决策代价如表12所示

0.343 3,0.340 1,0.245 4)。 λ∗ = vuuuuut∑4 l=1 λ l ∗ 2 4 λe = 0.683 0, λb = v0.186 4, λr =0.321 0 α= λe+0.5λb λe +λb = 0.892 8, β = 0.5λb λb +λr = 0.183 7 对 3 个决策代价组分别求欧氏距离 ，得到 3 个决策动作的决策代价分别为 。所以， 。 Ω = (U,A,V, f) U = {x1, x2,· · ·, x10} A = {a1,a2,a3,a4,a5} ∀a ∈ A,∀x ∈ U µa (x) ∈ [0,1] 例 3 是一个模糊信息系统，如 表 10 所示。其中，对象集合 ，属 性集合 ， ，对象的隶 属度为 (数据来源 UCI：Ionosphere)。 表 10 逸散层数据 Table 10 Lonosphere data Ω a1 a2 a3 a4 a5 x1 0.101 35 0 0.54730 0.31081 0.371 62 x2 0.284 09 0.681 82 0.30682 0.64394 0.590 91 x3 1.000 0 0.921 06 0.77152 0.52798 0.529 40 x4 0.473 68 0.831 55 0.68421 0.68421 0.842 11 x5 0.393 94 0.454 55 0.63636 0.21212 0.561 56 x6 0.681 98 0.466 43 0.25795 1.0000 0.186 81 x7 0.353 46 0.681 95 0.55717 0.61836 0.422 71 x8 0.975 13 1.000 0 0.99290 0.95737 0.978 69 x9 0.744 68 0.885 42 0.87234 0.73050 0.957 45 x10 0.436 36 0.181 82 0.34545 0.29091 0.200 00 dis1 i j = ∑10 k=1   vi j −vk j    10 i = 1,2,··· ,10, j = 1, 2,··· ,5 D = ( dis1 i j) 10×5 计算每个对象在每个属性下相对于其他对象 的曼哈顿距离 ， ，得到的关于决策代价的曼哈顿距离 ，如表 11 所示。 表 11 曼哈顿距离 Table 11 Manhattan distance U\S a1 a2 a3 a4 a5 x1 0.4431 0.6105 0.196 2 0.310 5 0.2638 x2 0.2969 0.2535 0.300 2 0.205 6 0.2279 x3 0.4555 0.3264 0.238 8 0.223 7 0.2220 x4 0.2306 0.2835 0.203 8 0.213 6 0.3284 x5 0.2391 0.3014 0.194 3 0.385 5 0.2220 x6 0.2723 0.2966 0.339 3 0.402 4 0.3773 x7 0.2553 0.2535 0.194 3 0.205 6 0.2434 x8 0.4356 0.3895 0.395 7 0.368 3 0.4146 x9 0.2974 0.3050 0.299 3 0.232 2 0.3976 x10 0.2306 0.4650 0.277 0 0.322 5 0.3668 计算接受决策的决策代价 λe (D) = 1− D ，得到 接受决策的决策代价如表 12 所示。 表 12 接受决策的决策代价 Table 12 Decision costs of accepting the decision 对象 a1 a2 a3 a4 a5 x1 0.5569 0.3895 0.803 8 0.689 5 0.736 2 x2 0.7031 0.7465 0.699 8 0.794 4 0.772 1 x3 0.5445 0.6736 0.761 2 0.776 3 0.778 0 x4 0.7694 0.7165 0.796 2 0.786 4 0.671 6 x5 0.7609 0.6986 0.805 7 0.614 5 0.778 0 x6 0.7277 0.7034 0.660 7 0.597 6 0.622 7 x7 0.7447 0.7465 0.805 7 0.794 4 0.756 6 x8 0.5644 0.6105 0.604 3 0.631 7 0.585 4 x9 0.7026 0.6950 0.700 7 0.767 8 0.602 4 x10 0.7694 0.5350 0.723 0 0.677 5 0.633 2 a1 δ = 0.138 3 接受决策的决策代价在属性 下的最小值为 0.5445，最大值为 0.7694，取 ，以 0.393665 为起点，0.920 135 为终点，0.025 07 为区间长度， 划分 21 个区间。其频率分布如表 13 所示。 表 13 属性 a1 决策代价频率分布 Table 13 Attribute a1 decision costs frequency distribution 序号 区间 频数 频率 1 [0.393 665,0.418 735] 2 0.2 2 [0.418 735,0.443 805] 3 0.3 3 [0.443 805,0.468 875] 3 0.3 4 [0.468 875,0.493 945] 3 0.3 5 [0.493 945,0.519 015] 3 0.3 6 [0.519 015,0.544 085] 3 0.3 7 [0.544 085,0.569 155] 5 0.5 8 [0.569 155,0.594 225] 6 0.6 9 [0.594 225,0.619 295] 7 0.7 10 [0.619 295,0.644 365] 10 1.0 11 [0.644 365,0.669 435] 10 1.0 12 [0.669 435,0.694 505] 10 1.0 13 [0.694 505,0.719 575] 9 0.9 14 [0.719 575,0.744 645] 7 0.7 15 [0.744 645,0.769 715] 7 0.7 16 [0.769 715,0.794 785] 7 0.7 17 [0.794 785,0.819 855] 7 0.7 18 [0.819 855,0.844 925] 7 0.7 19 [0.844 925,0.869 995] 5 0.5 20 [0.869 995,0.895 065] 4 0.4 21 [0.895 065,0.920 135] 3 0.3 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1075·

·1076· 智能系统学报 第15卷 以决策代价x为横坐标，隶属频率为纵坐标， 决策的决策代价组为=(0.6966,0.6840,0.7552 对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在属性 0.7272,0.7077)。同理，对延迟决策和拒绝决策按 a下的隶属频率拟合曲线如图9所示。图10~ 照以上步骤处理，得到延迟决策的决策代价组为 13分别是接受决策在属性a、a3a4、a5下的隶属 =(0.2025,0.1872,0.2552,0.2272,0.2077),拒绝头策 频率拟合曲线。 的决策代价组为，=(0.3033,0.3160,0.2447,0.2729 1.0 0.2923)0 0.9 ·决策代价频率 隶属频率拟合 0.9 决策代价频率 0.8 0.7 隶属频率拟合 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 02 0.40 0.50 0.600.700.800.901.00 0.1 决策代价X 00 0.500.550.600.650.700.750.800.850.90 决策代价X 图9接受决策属性a1频率分布拟合曲线 Fig.9 Accept the decision attribute ai frequency distribu- 图12接受决策属性a4频率分布拟合曲线 tion fitting curve Fig.12 Accept the decision attribute as frequency distri- bution fitting curve 1.0 0.9 决策代价频率 0.7r 0.8 隶属频率拟合 决策代价频率 0.7 0.6 隶属频率拟合 。 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 02 0. 0.2 0.30.40.50.60.70.80.9 决策代价X 0.0 .500.550.600.650.700.750.800.85 图10接受决策属性☑2频率分布拟合曲线 决策代价X Fig.10 Accept the decision attribute az frequency distri- 图13接受决策属性a5频率分布拟合曲线 bution fitting curve Fig.13 Accept the decision attribute as frequency distri- 0.8r bution fitting curve 决策代价频率 0.1 隶属颗率拟合 对3个决策代价组分别求欧氏距离入，= 0.6 0.5 0.4 得到3个决策动作的决策代价分别为入.= s0.3 0.2 0.7146,,=0.2172,=0.2869。所以，=+05 0.1 入。+b 08500.550.600.690700750.800850.90 0.8835,B= 0.5=0.2154。 入+入， 决策代价X 4结束语 图11接受决策属性a3频率分布拟合曲线 Fig.11 Accept the decision attribute as frequency distri- 决策粗糙集模型是粗糙集模型的概率拓展， bution fitting curve 其通过使用损失函数和贝叶斯决策过程计算阈 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 值对。在区间值决策粗糙集的框架下，已经研究 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 了最优阈值对(@，B)的上、下近似。本文在基于 在属性a、a2、a、a4、a5下的决策代价分别为 相似度的三支决策模糊粗糙集模型中讨论决策 0.6966、0.6840、0.7552、0.7272、0.7077,因此接受 代价，通过定义函数将模糊信息系统中的模糊数

x a1 a2、a3、a4、a5 以决策代价 为横坐标，隶属频率为纵坐标， 对点进行曲线拟合，接受决策的决策代价在属性 下的隶属频率拟合曲线如图 9 所示。图 10~ 13 分别是接受决策在属性 下的隶属 频率拟合曲线。 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.2 0.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 属性 a1 的隶属频率 决策代价 X1 隶属频率拟合 决策代价频率 图 9 接受决策属性 a1 频率分布拟合曲线 Fig. 9 Accept the decision attribute a1 frequency distribu￾tion fitting curve 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.3 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 0.9 属性 a2 的隶属频率 决策代价 X2 隶属频率拟合 决策代价频率 图 10 接受决策属性 a2 频率分布拟合曲线 Fig. 10 Accept the decision attribute a2 frequency distri￾bution fitting curve 0.50 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.55 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 属性 a3 的隶属频率 决策代价 X3 隶属频率拟合 决策代价频率 图 11 接受决策属性 a3 频率分布拟合曲线 Fig. 11 Accept the decision attribute a3 frequency distri￾bution fitting curve a1、a2、a3、a4、a5 以上各个拟合曲线取最高点的横坐标作为该 决策动作不同属性下的决策代价，得到接受决策 在属性 下的决策代价分别为 0.696 6、0.684 0、0.755 2、0.727 2、0.707 7，因此接受 λe = (0.696 6,0.684 0,0.755 2, 0.727 2,0.707 7) λb = (0.202 5,0.187 2,0.255 2,0.227 2,0.207 7) λr = (0.303 3,0.316 0,0.244 7,0.272 9, 0.292 3) 决策的决策代价组为 。同理，对延迟决策和拒绝决策按 照以上步骤处理，得到延迟决策的决策代价组为 ，拒绝决策 的决策代价组为 。 0.50 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.55 0.1 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 0.8 属性 a4 的隶属频率 决策代价 X4 隶属频率拟合 决策代价频率 图 12 接受决策属性 a4 频率分布拟合曲线 Fig. 12 Accept the decision attribute a4 frequency distri￾bution fitting curve 0.50 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.55 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 决策代价 X5 属性 a5 的隶属频率 隶属频率拟合 决策代价频率 图 13 接受决策属性 a5 频率分布拟合曲线 Fig. 13 Accept the decision attribute a5 frequency distri￾bution fitting curve λ∗ = vuuuuut∑5 l=1 λ l ∗ 2 5 λe = 0.714 6, λb =0.217 2, λr =0.286 9 α = λe +0.5λb λe +λb = 0.883 5, β = 0.5λb λb +λr = 0.215 4 对 3 个决策代价组分别求欧氏距离 ，得到 3 个决策动作的决策代价分别为 。所以， 。 4 结束语 (α, β) 决策粗糙集模型是粗糙集模型的概率拓展， 其通过使用损失函数和贝叶斯决策过程计算阈 值对。在区间值决策粗糙集的框架下，已经研究 了最优阈值对 的上、下近似。本文在基于 相似度的三支决策模糊粗糙集模型中讨论决策 代价，通过定义函数将模糊信息系统中的模糊数 ·1076· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷

第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1077· 与三支决策的决策代价联系在一起，通过对隶属 2014,279:702-715 频率拟合的过程，得到不同决策动作在不同属性 [12]杨霁琳，张贤勇，唐孝，等.基于最优相似度三支决策的 下的决策代价，再计算其欧氏距离，得到不同决 模糊粗糙集模型).计算机科学，2018,45(10小：27-32. 策动作的决策代价，代入文献[12]得到的阈值对 YANG Jilin,ZHANG Xianyong,TANG Xiao,et al. 表达式来计算（α，）。本文只是在基于相似度的 Fuzzy rough set model based on three-way decisions of 三支决策模糊粗糙集模型中讨论决策代价，还有 optimal similar degrees[J].Computer science,2018, 许多其他的模糊粗糙集模型中的决策代价有待 45(10:27-32. 研究。 [13]衷锦仪，叶东毅.基于模糊数风险最小化的拓展决策粗 糙集模型[U.计算机科学，2014,41(3)：50-54 参考文献： ZHONG Jinyi,YE Dongyi.Extended decision-theoretic [1]DUBOIS D.PRADE H.Rough fuzzy sets and fuzzy rough rough set models based on fuzzy minimum cost[J].Com- sets[J].International journal of general systems,1990. puter science,2014,41(3):50-54 17(2/3):191-209 [14]ZHAO Xuerong,HU Baoqing.Three-way decisions with [2]DUBOIS D.PRADE H.Putting rough sets and fuzzy sets decision-theoretic rough sets in multiset-valued informa- together[M]//SLOWINSKI R.Intelligent Decision Sup- tion tables[J].Information sciences,2020,507:684-699. port:Handbook of Applications and Advances of the [15]LIANG Decui,LIU Dun,PEDRYCZ W,et al.Triangular Rough Sets Theory.Dordrecht:Springer,1992:203-222. fuzzy decision-theoretic rough sets[J].International journ- [3]SUN Bingzhen,MA Weimin,ZHAO Haiyan.Decision- al of approximate reasoning,2013,54(8):1087-1106. theoretic rough fuzzy set model and application[J].Inform- [16]LIU Xinwang.Measuring the satisfaction of constraints in ation sciences,2014,283:180-196. fuzzy linear programming[J].Fuzzy sets and systems, [4]YAO YY,WONG S K M.A decision theoretic frame- 2001,122(2):263-275. work for approximating concepts[].International journal [17]YAO Yiyu,ZHAO Yan.Attribute reduction in decision- of man-machine studies,1992,37(6):793-809. theoretic rough set models[J].Information sciences,2008. [5]ZHAO Xuerong,HU Baoqing.Fuzzy and interval-valued 178(17):3356-3373. fuzzy decision-theoretic rough set approaches based on [18]LI Wentao,XU Weihua.Double-quantitative decision- fuzzy probability measure[J].Information sciences,2015, theoretic rough set[J].Information sciences,2015,316 298:534-554 54-67. [6]YAO Yiyu.An outline of a theory of three-way [19]QIAN Yuhua,ZHANG Hu,SANG Yanli,et al.Multi- decision[C]//Proceedings of the International Conference granulation decision-theoretic rough sets[J].International on Rough Sets and Current Trends in Computing.Berlin, journal of approximate reasoning,2014,55(1):225-237. Heidelberg,Germany,2012:1-17. [20]ZHANG Hongying,YANG Shuyun,MA Jianmin.Rank- [LIANG Decui,LIU Dun.Systematic studies on three-way ing interval sets based on inclusion measures and applica- decisions with interval-valued decision-theoretic rough tions to three-way decisions[J].Knowledge-based sys- sets[J].Information sciences,2014,276:186-203. tems,2016,91:62-70. [8]LIANG Decui,XU Zeshui,LIU Dun.Three-way decisions [21]LI Weiwei,HUANG Zhiqiu,JIA Xiuyi,et al.Neighbor- based on decision-theoretic rough sets with dual hesitant hood based decision-theoretic rough set models[J].Inter- fuzzy information[J].Information sciences,2017,396: national journal of approximate reasoning,2016,69 127-143. 1-17. [9]LIANG Decui,XU Zeshui,LIU Dun.Three-way decisions [22]邢航.基于构造性覆盖算法的三支决策模型D].合肥 with intuitionistic fuzzy decision-theoretic rough sets based 安徽大学，2014 on point operators[J].Information sciences,2017,375: XING Hang.Three-way decisions model based on con- 183-201. structive covering algorithm[D].Hefei:Anhui University. [10]FENG Tao,MI Jusheng.Variable precision multigranula- 2014. tion decision-theoretic fuzzy rough sets[J].Knowledge- [23]徐健锋，何宇凡，刘斓.三支决策代价目标函数的关系 based systems,2016,91:93-101. 及推理研究U.计算机科学，2018.45(6)：176-182 [11]DENG Xiaofei,YAO Yiyu.Decision-theoretic three-way XU Jianfeng,HE Yufan,LIU Lan.Relationship and reas- approximations of fuzzy sets[J].Information sciences oning study for three-way decision cost objective func-

(α, β) 与三支决策的决策代价联系在一起，通过对隶属 频率拟合的过程，得到不同决策动作在不同属性 下的决策代价，再计算其欧氏距离，得到不同决 策动作的决策代价，代入文献 [12] 得到的阈值对 表达式来计算 。本文只是在基于相似度的 三支决策模糊粗糙集模型中讨论决策代价，还有 许多其他的模糊粗糙集模型中的决策代价有待 研究。 参考文献： DUBOIS D, PRADE H. Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J]. International journal of general systems, 1990, 17(2/3): 191–209. [1] DUBOIS D, PRADE H. Putting rough sets and fuzzy sets together[M]//SŁOWIŃSKI R. Intelligent Decision Sup￾port: Handbook of Applications and Advances of the Rough Sets Theory. Dordrecht: Springer, 1992: 203−222. [2] SUN Bingzhen, MA Weimin, ZHAO Haiyan. Decision￾theoretic rough fuzzy set model and application[J]. Inform￾ation sciences, 2014, 283: 180–196. [3] YAO Y Y, WONG S K M. A decision theoretic frame￾work for approximating concepts[J]. International journal of man-machine studies, 1992, 37(6): 793–809. [4] ZHAO Xuerong, HU Baoqing. Fuzzy and interval-valued fuzzy decision-theoretic rough set approaches based on fuzzy probability measure[J]. Information sciences, 2015, 298: 534–554. [5] YAO Yiyu. An outline of a theory of three-way decision[C]//Proceedings of the International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing. Berlin, Heidelberg, Germany, 2012: 1−17. [6] LIANG Decui, LIU Dun. Systematic studies on three-way decisions with interval-valued decision-theoretic rough sets[J]. Information sciences, 2014, 276: 186–203. [7] LIANG Decui, XU Zeshui, LIU Dun. Three-way decisions based on decision-theoretic rough sets with dual hesitant fuzzy information[J]. Information sciences, 2017, 396: 127–143. [8] LIANG Decui, XU Zeshui, LIU Dun. Three-way decisions with intuitionistic fuzzy decision-theoretic rough sets based on point operators[J]. Information sciences, 2017, 375: 183–201. [9] FENG Tao, MI Jusheng. Variable precision multigranula￾tion decision-theoretic fuzzy rough sets[J]. Knowledge￾based systems, 2016, 91: 93–101. [10] DENG Xiaofei, YAO Yiyu. Decision-theoretic three-way approximations of fuzzy sets[J]. Information sciences, [11] 2014, 279: 702–715. 杨霁琳, 张贤勇, 唐孝, 等. 基于最优相似度三支决策的 模糊粗糙集模型 [J]. 计算机科学, 2018, 45(10): 27–32. YANG Jilin, ZHANG Xianyong, TANG Xiao, et al. Fuzzy rough set model based on three-way decisions of optimal similar degrees[J]. Computer science, 2018, 45(10): 27–32. [12] 衷锦仪, 叶东毅. 基于模糊数风险最小化的拓展决策粗 糙集模型 [J]. 计算机科学, 2014, 41(3): 50–54. ZHONG Jinyi, YE Dongyi. Extended decision-theoretic rough set models based on fuzzy minimum cost[J]. Com￾puter science, 2014, 41(3): 50–54. [13] ZHAO Xuerong, HU Baoqing. Three-way decisions with decision-theoretic rough sets in multiset-valued informa￾tion tables[J]. Information sciences, 2020, 507: 684–699. [14] LIANG Decui, LIU Dun, PEDRYCZ W, et al. Triangular fuzzy decision-theoretic rough sets[J]. International journ￾al of approximate reasoning, 2013, 54(8): 1087–1106. [15] LIU Xinwang. Measuring the satisfaction of constraints in fuzzy linear programming[J]. Fuzzy sets and systems, 2001, 122(2): 263–275. [16] YAO Yiyu, ZHAO Yan. Attribute reduction in decision￾theoretic rough set models[J]. Information sciences, 2008, 178(17): 3356–3373. [17] LI Wentao, XU Weihua. Double-quantitative decision￾theoretic rough set[J]. Information sciences, 2015, 316: 54–67. [18] QIAN Yuhua, ZHANG Hu, SANG Yanli, et al. Multi￾granulation decision-theoretic rough sets[J]. International journal of approximate reasoning, 2014, 55(1): 225–237. [19] ZHANG Hongying, YANG Shuyun, MA Jianmin. Rank￾ing interval sets based on inclusion measures and applica￾tions to three-way decisions[J]. Knowledge-based sys￾tems, 2016, 91: 62–70. [20] LI Weiwei, HUANG Zhiqiu, JIA Xiuyi, et al. Neighbor￾hood based decision-theoretic rough set models[J]. Inter￾national journal of approximate reasoning, 2016, 69: 1–17. [21] 邢航. 基于构造性覆盖算法的三支决策模型 [D]. 合肥: 安徽大学, 2014. XING Hang. Three-way decisions model based on con￾structive covering algorithm[D]. Hefei: Anhui University, 2014. [22] 徐健锋, 何宇凡, 刘斓. 三支决策代价目标函数的关系 及推理研究 [J]. 计算机科学, 2018, 45(6): 176–182. XU Jianfeng, HE Yufan, LIU Lan. Relationship and reas￾oning study for three-way decision cost objective func- [23] 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1077·