关于凸性的一些探讨 廖俊俊,吴洁 (华中科技大学数学与统计学院,武汉430074 [摘要]现行的不少教材在叙述凸函数定义时,通常都假设函数是连续的。本文以没有连续为前提的 凸函数的定义为基础,探讨了函数的连续性,左右导数的存在性,凸函数在区间端点的形态,最后利 用左右导数,给出了判定函数为凸的一个充要条件。 [关键词]连续性:凸函数:左导数:右导数 [中图分类号]0172.1[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2017)05- 在第二届全国大学生数学竞赛(数学类,预赛)中有如下试题 设DcR2是凸区域,函数∫(x,y)是凸函数,证明或否定:f(x,y)在D上连续 注函数f(x,y)是凸函数的定义是va∈(01)以及(x1y1)(x2y2)∈D,成立 f(ax+(1-a)x2,ay1+(-a)y2)≤af(x1,y1)+(1-a)f(x2,y2) 答案是肯定的。需要说明的是,这里所说的凸函数( convex function),在现行的有些 教材中称为下凸函数。 上述试题引起了我们的思考,原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时,通常都假 设函数是连续的,即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件n,也并没有以 此为基础讨论函数的分析性质。最近的文[8],也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。本文 以没有连续为前提的一元凸函数义为基础,探讨了函数的连续性,左右导数的存在性,凸函 数在区间端点的形态,最后利用左右导数,给出判别凸函数的一个充要条件。 2凸函数的定义及连续性 定义1设函数∫在闭区间[ab]上有定义,若va∈(01)以及x1,x2∈[ab, [收稿日期]2016-05-13:[修改日期]2016-06-20 [基金项目]华中科技大学2015年教学研究项目(2015068) [作者简介]廖俊俊(1973-),男,博士,讲师,从事随机分析、泛函分析研究 [通讯作者]吴洁(1962-),女,硕士,教授,主要从事微积分教学与研究.Email:wuJie627415163.com关于凸性的一些探讨 廖俊俊， 吴 洁 （华中科技大学 数学与统计学院,武汉 430074） [摘 要] 现行的不少教材在叙述凸函数定义时，通常都假设函数是连续的。本文以没有连续为前提的 一元凸函数的定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利 用左右导数，给出了判定函数为凸的一个充要条件。 [关键词] 连续性；凸函数；左导数；右导数 [中图分类号] O172.1 [文献标识码] C [文章编号] 1672-1454(2017)05- 1 引 言 在第二届全国大学生数学竞赛（数学类，预赛）中有如下试题： 设 2 D  R 是凸区域，函数 f (x, y) 是凸函数，证明或否定： f (x, y) 在 D 上连续。 注 函数 f (x, y) 是凸函数的定义是   (0,1) 以及 (x1 , y1 ),(x2 y2 )D ，成立 ( (1 ) , (1 ) ) ( , ) (1 ) ( , ) 1 2 1 2 1 1 2 2 f x + − x  y + − y  f x y + − f x y . 答案是肯定的。需要说明的是，这里所说的凸函数（convex function），在现行的有些 教材中称为下凸函数。 上述试题引起了我们的思考，原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时，通常都假 设函数是连续的 [1-4 ] ，即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件[5-7]，也并没有以 此为基础讨论函数的分析性质。最近的文[8]，也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。本文 以没有连续为前提的一元凸函数义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函 数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出判别凸函数的一个充要条件。 2 凸函数的定义及连续性 定义 1 [7] 设函数 f 在闭区间 [a,b] 上有定义，若   (0,1) 以及 , [ , ] x1 x2  a b ， 成立 [收稿日期] 2016-05-13； [修改日期] 2016-06-20 [基金项目] 华中科技大学 2015 年教学研究项目（2015068） [作者简介] 廖俊俊（1973-）,男，博士，讲师，从事随机分析、泛函分析研究. Email:liaojunjun@hust.edu.cn [通讯作者] 吴洁（1962-）,女，硕士，教授，主要从事微积分教学与研究.Email:wujie627415@163.com