n≥1,令 An={x∈A1:f(x)≥(1-E)b} 则对每个i=1…,k,{4n}腔≥是单调增加的可测集列并且由于lmf(x)≥g(x),我们有 A=∪An对每个自然数n≥1,令 则{8n}是非负简单函数列满足gn≤fn,n≥1.由(ii)和测度的下连续性,我们得到 imJ,2mng4=lm∑(-(A,) ∑(1-(A)=(1-a) 由于E是任意的,我们得到imJf42gd4 引理3设∫是一非负可测函数{Jfn}是一非负简单函数列并且厂n个∫.则有 imJ,4=spsg∈S,并且gs∫ (其中S*表示非负简单函数的全体) 证明显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边反过来,设g是非负简 函数并且g≤由于im=f2g由定理2,必有mn∫,428d因此 imJd2p!sdg∈S:,并且gsf 所以(1)成立■ I.非负可测函数积分 定义4设∫是一非负可测函数定义∫关于测度的积分为 ∫=m∫f 其中{n}是非负简单函数列并且厂n个∫ 由31定理9上述的/是存在的又有引理3∫的值不依赖于/}的选取因此 ∫的定义是确定的而且我们也可以用()式的右边作为的定义这两种定义式等 价的93 n ≥ 1, 令 { : ( ) (1 ) }. i,n i n i A = x ∈ A f x ≥ − ε b 则对每个i = 1,", k, , 1 { } Ai n n≥ 是单调增加的可测集列,并且由于 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ , 我们有 . 1 ∪ , ∞ = = n Ai Ai n 对每个自然数 n ≥ 1, 令 (1 ) . , 1 Ai n i k i n g ∑ b I = = − ε 则{ } gn 是非负简单函数列满足 g ≤ f ,n ≥ 1. n n .由(iii) 和测度的下连续性, 我们得到 (1 ) ( ) (1 ) .. lim lim lim (1 ) ( ) 1 , 1 ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ = − = − ≥ = − = = →∞ →∞ →∞ ε µ ε µ µ µ ε µ b A gd f d g d b A i i k i i i n k i n n n n n 由于ε 是任意的, 我们得到 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .■ 引理 3 设 f 是一非负可测函数,{ }n f 是一非负简单函数列并且 f f . n ↑ 则有 lim sup{ : , }. ∫ ∫ = ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 (1) (其中 + S 表示非负简单函数的全体). 证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设 g 是非负简单 函数并且 g ≤ f . 由于 lim f f g, n n = ≥ →∞ 由定理 2, 必有 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .因此 lim sup{ : , }. ∫ ∫ ≥ ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 所以(1)成立.■ II. 非负可测函数积分 定义 4 设 f 是一非负可测函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ →∞ fdµ = lim f dµ. n n 其中{ }n f 是非负简单函数列并且 f f . n ↑ 由§3.1定理9, 上述的{ }n f 是存在的.又有引理3,∫ fdµ 的值不依赖于{ }n f 的选取.因此 ∫ fdµ 的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为 ∫ fdµ 的定义. 这两种定义式等 价的