134 振动工程学报 第24卷 =0(x)x(x)dx (2) fwr.os (4) -(-/:()d] 正=gx)-,fxr)dr= 式中∫x(x)为基本变量x={x1,x2,…,x}的联合 概率密度函数，R为n维变量空间，4和o分别为 2,g国-4fr= 仙(x)的均值和标准差。而计算随机结构动力特性的 各阶统计矩在数学上就是计算式(2)的积分。 FnP(- 定义，(x)的统计矩灵敏度为4，和a对基本变 2P.s国-wiau (5) 量分布参数日，（包括随机变量的均值、方差等）的偏 导数，它能够反映基本变量对统计矩的影响。 飞F. 瓷-=[] 飞F L 8)-b. La0.丁x(x)J )b fx(x) 2E[u,(x)-4)]冠} g(r)b (3) 显然仙，(x)的统计矩及灵敏度信息都可以通过 F Monte Carlo模拟进行求解，但所需要的计算量太 大，对于大型复杂结构来说其计算量不可接受。可靠 图1 基于MCMC的分层抽样引人中间事件的示意图 性研究人员提出了一系列方差缩威技术)]，如重要 抽样、分层抽样、子集模拟法、线抽样等，其中子集模 分别对式(4)和(5)两端关于随机变量分布参数 拟法具有Monte Carlo模拟的优点，对变量的维数、 的导数，得到基于MCMC的分层抽样法的统计矩灵 分布形式，功能函数的形式等没有任何限制，但其计 敏度的计算公式为 算效率比Monte Carlo模拟要高很多。本文在子集 模拟法的基础上1-，建立了基于马尔可夫Monte 0-2P[e]r+ 8。 Carlo(MCMC)的分层抽样法，它的基本思想是将整 aP(F) Jr[g(x)fx(xIF.)]dx (6) 个变量空间划分为一系列互不相容的子空间，通过 对子空间进行样本点的模拟和统计，实现结构响应 意=六2.a-wiau+ 的统计矩和灵敏度分析。 P(F(-)F2]dx- 2基于MCMC的分层抽样法 2P(F) 0【g)-4 fx*IF]ar 基于MCMC的分层抽样法将整个变量空间划 (7) 分为一系列互不相容的子空间，如图1所示。通过引 通过统计条件样本的信息，即可得到统计矩灵敏度 人一系列的临界值b1,b2,·,b将概率空间划分为 的估计值。 互不相容的空间F,(k=0,1,…,m),此时有F。U 式(4)和(5)中的条件概率P(F,)的估计值需要 FUUF.=R",且F,∩F,=中。以下为了叙述方 通过抽取条件样本点进行估计。尽管服从条件分布 便，设所研究问题g(x)中包含的基本随机向量x= 的样本点可以直接由Monte Carlo法抽取，但是这 {x1x2,·,x.},x的联合概率密度函数为fx(x),依 种抽样方法的效率很低，本文采用MCMC来高效地 据统计矩的定义及事件的互不相容性，可得到如下 模拟条件样本点，进而估计概率P(F,)和统计矩。此 所示的功能响应的矩估计计算公式 外，中间事件的选择在统计矩估计的过程中起着重 -s,(s-gc)/(r- 要作用。对于中间事件的选择，需要在模拟条件样本 点数和中间失效事件的个数m上采取折衷的方法， PF.J.[(gfx/P(F]os- 本文通过设定概率P。并进行自动分层的方法来实 现临界值b,(i=1,2,·,m)的取值和统计矩及灵敏 万方数据134 振 动 工 程 学 报 第24卷 I^2 II_皑(工)厂x(工)如 -{ ：： 1寻 (2) 【q 2 LJt．(哪(工)一^)2^(工)以j 2 式中 ^(工)为基本变量工={z，，z：，…，z。)的联合 概率密度函数，Ⅳ为，z维变量空间，雎．和乳。分别为 毗(x)的均值和标准差。而计算随机结构动力特性的 各阶统计矩在数学上就是计算式(2)的积分。 定义咄(工)的统计矩灵敏度为雎i和几．对基本变 量分布参数以(包括随机变量的均值、方差等)的偏 导数，它能够反映基本变量对统计矩的影响。 瓮=『1．掣吣m=E[掣怒] 象=壶{E[掣掣卜 2球吣)一^)]甏} (3) 显然咄(J)的统计矩及灵敏度信息都可以通过 Monte Carlo模拟进行求解，但所需要的计算量太 大，对于大型复杂结构来说其计算量不可接受。可靠 性研究人员提出了一系列方差缩减技术[9]，如重要 抽样、分层抽样、子集模拟法、线抽样等，其中子集模 拟法具有Monte CarIo模拟的优点，对变量的维数、 分布形式，功能函数的形式等没有任何限制，但其计 算效率比Monte Carlo模拟要高很多。本文在子集 模拟法的基础上[11叫¨，建立了基于马尔可夫Monte Carlo(MCMC)的分层抽样法，它的基本思想是将整 个变量空间划分为一系列互不相容的子空间，通过 对子空同进行样本点的模拟和统计，实现结构响应 的统计矩和灵敏度分析。 2 基于MCMC的分层抽样法 基于MCMC的分层抽样法将整个变量空间划 分为一系列互不相容的子空间，如图l所示。通过引 入一系列的临界值6，，6：，…，6_将概率空间划分为 互不相容的空间R(七=O，1，…，优)，此时有F。U F，U…UF。一Ⅳ，且Fjn凡=声。以下为了叙述方 便，设所研究问题g(工)中包含的基本随机向量工= {z。，z：，…，毛}，工的联合概率密度函数为^(工)，依 据统计矩的定义及事件的互不相容性，可得到如下 所示的功能响应的矩估计计算公式 广』生r 心5 J矿譬(工)厶(工)如。荟J矿[to)g(．r)^(工)]妇= ∑尸(F．)I』t(j)g(工)^(工)／P(凡)p= ∑P(n)l』g(工)^(z限)批 (4) ●-O J^ 《2 J∥(g(工)一心)2^(工)以2 善J矿_(以础)_∥^(州工一 ∑P(n)I，[f‘(r)(g(z)一心)2厶o)／P(n)]如= l=O o^ 妻眦·)，F[(咖)一∥^(郴洲如 (5) ～． j龟z 够，蚍舒 、也删= 、， k莲 D 山g(磅=6， 疑谶：∞=以 6l 图1基于MCMC的分层抽样引入中间事件的示意图 分别对式(4)和(5)两端关于随机变量分布参数 的导数，得到基于MCMC的分层抽样法的统计矩灵 敏度的计算公式为 甏=毒眦，肌∽掣卜+ 掣肛(工胤郴加出 (6) 爰=壶耋{掣心础卜旷舶脚计 P(R)．『。。[(g(工)一心)2半]dz一 2P(¨擎Jl_№(工)一心)^(工限)弘) (7) 通过统计条件样本的信息，即可得到统计矩灵敏度 的估计值。 式(4)和(5)中的条件概率P(凡)的估计值需要 通过抽取条件样本点进行估计。尽管服从条件分布 的样本点可以直接由Monte carlo法抽取，但是这 种抽样方法的效率很低，本文采用MCMC来高效地 模拟条件样本点，进而估计概率P(凡)和统计矩。此 外，中间事件的选择在统计矩估计的过程中起着重 要作用。对于中间事件的选择，需要在模拟条件样本 点数和中间失效事件的个数优上采取折衷的方法， 本文通过设定概率户。并进行自动分层的方法来实 现临界值抚(i=1，2，…，优)的取值和统计矩及灵敏 万方数据