U),由此得到：T(7x)CT(V,∩(x。+U)CTx,+K及T(Vx。)二T(V。)CUrx。,故 知T(7。)为弱紧集且0生T(Vx。)。 对X中任何y+0,集Ry={z:z=Ay,AEA}的闭包与弱闭包亚合〔2)。y= {z:z=Ay,AEA}为A的一个不变子空间，由假设易知豆，=X。因此，对x。的别开凸邻 域Vx。必有A中算子A,使Ay(y)∈Vx。A,是弱连续的，故存在y的一个弱开邻域U,使 A,(U,)CV,。这样我们就得到一族弱开集U,v,)，它复盖着弱紧集T(。, 于是存在一有限弱开子复盖{U,,Uy:,y:∈T(7x,),1≤i≤r。集T(7x。)是弱 紧的，又是分离的，因而它是个正规拓扑空间，故知存在一个从属于（相对拓扑意义下）弱 开复盖{Uy∩T(7x。)}1≤：的单位分解： t,2}1s,f,(2)20,盘i,(2)=,zer(pg.3) 现在我们定义一个由7x。到7x。中的（弱连续）映射： (x)=∑f,(Tx)A1(Tx),x∈7￥。。 当(Tx)>0时，Tx∈Uy1因而A:(Tx)∈Vx。。因(x)是Vx。中元素的凸组合，故知 (x)∈Vx。即弱连续映射ψ把弱闭凸集x。映入它自己。为了引用不动点原理我们考虑集 ,.A:T(V,)的弱闭凸包，亦即闭凸包C.(2)由A,T的弱紧性知，A1T(7, 为弱紧集；再由K rei n--Smulian的一个定理(2)知它的（弱）闭凸包C仍是弱紧集。集 7:,∩C一(7x。),因而7x。∩C+中.于是得知弱连续映射把非空弱紧凸集7x。∩C映入 它白已，由Schauder-Tychonoff不动点定理(2)知道必存在一个元素云∈7x。nC使 ψ()=：。7x,CV,故：≠0。今考虑由X到X中的映射A: Az=∑f1(Ta)Ay:(z),z∈X。 显然A是代数A中的线性算子，满足条件AT云=云，云≠0：即算子AT以1为特微值。 弱紧算子AT的特微子空间E:={x:ATx=x}是有限维的〔4)。由B(AT)=(AT)B知 (BE:)二上，故B在E:中必有一特征向量，其相应的特征子空间EB就是A的一个不变子 空间。B为非数量算子，故知E≠X。于是得一矛盾，这就证明了定理。 参考资料 1.B.V.JloMouocoB,O6 HaBapuaTHux IlonipocrpancTBax CexcicTea OuepaTopou,KoMMyTupyomnx c BnoJHe HeupepiBuM,yukunona- H以aHaJn.3 Hero Hpnnoxe,T.7,Bwl.3,1973,55一56或H.Radjavi- P.Rosenthal Invariant Subspaces,1973. 2.Dunford-Schwartz Linear Operators,Part 1,1958. 3.Kelley General Topology,1955. 4.A.P.Robertson-W.Robertson Topological Vector Spaces,1964. 117。 由此 得 到 五 几了 一 ‘ 。 。 十 二 ‘ · 。 十 及 丁万丙万二 ‘ 以 初二 · 。 ， 故 知 ， 。 为弱紧集且 磋 ‘ ’ 。 。 对 中任何 笋 ， 集 ， “ 凌 二 ， ， 〔 月 的 闭包 与弱 闭包重 合 〔 〕 。 豆 ， ， 任月 为 。 的一 个不 变子 空 间 ， 由假设 易 知豆 ， 。 因此 ， 对 。 的弱开 凸邻 域 。 必 有 。 中算子 ， 使 ， 〔 。 。 ， 是 弱连 续的 ， 故存在 的一个 弱开 邻域 ， 使 二 。 。 这 样我 们就 得 到一族 弱开集 王 ， ， 丁石妥下 ， 它 复盖着弱 紧集五，币 ， 于 是存在 一 有限弱 开 子 复盖 丫 ，， ，’ ， ， 〔 了 犷几了 ， ‘三‘三 。 集丁 ，心丁是弱 紧 的 ， 又 是分 离的 ， 因 而它是 个正 规 拓 扑 空 间 ， 故 知存在 一个从 属于 相 对 拓扑意义 下 弱 开 复盖 、 ， 。 ‘ ‘ 的单位分解 通 、 ‘ ‘ ， 七 ， 乙 现在我们定义 一个 由歹 。 到歹 。 中的 弱连续 映射 ， 〔 ‘ 。 。 〔 〕 犷 “ 警 ， ， · ， ， · ， 〔 · 。 。 当 时 ， ‘ 〔 ，因而 ， 任 。 。 因 中 是 。 中元素 的 凸组 合 ， 故 知 冲 〔 ， 。 ， 即弱连续映射 中把 弱 闭凸集 。 映 入它 白己 。 为 了 引用不动点原理 我们考虑集 」二 ‘ 石 集 ‘ ， 五 。 了的弱 闭凸 包 ， 亦 即 闭凸包 。 〔 〕 由 ， ， ‘ 的弱 紧性知 ‘ ‘ ， 为弱 紧集， 再 由 了 。 。 中 歹 一 的 一个定 理 〔 〕 知 它的 弱 闭凸 包 仍 是 弱 紧集 。 ， 因 而歹 。 笋 小 于是得 知 弱 连 续映射 冲把非 空 弱 紧 凸集 。 映 入 它 亡己 ， 由 一 ， 不动点定 理 〔 〕 知道 必存在 一个元素 三〔 歹 ‘ 。 门 使 中 动 石 。 犷 。 。 ， 故 石头 今考虑 由 到 中的映射 乙 ‘ 石 ， ， ， 〔 。 显然 是 代数 卫 。 中的线性算子 ， 满 足 条件 石 石 ， 石笋 。 即算子 ’ 以 为特微 值 。 弱 紧算子 ‘ 的特微 子 空 间 王 ， 是 有限维 的 〕 。 由 ‘ 知 ， 故 在 中必 有一 特 征向量 ， 其 相应 的特 征 子空 间 。 就 是 。 的一 个不变子 空 间 。 为非数 址 算子 ， 故 知 祷 。 于是得 一 矛盾 ， 这 就 证 明 了定 理 。 参 考 资 料 ， 几 一 ，一 友 。 ， 幻 坦 仅 ， 中 从 一 一 。 。 二 二 二 。 二 ， ， ， ， 一 或 一 。 著 ， 一 著 ， ， 著 ， 一 著