理及其应 第9页 于是就得到 在这个例子中,当然仍然可以采用半圃形的围道,这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=/和z=e/4.计算量当然要略微大一些.可以设想,如果要计算 定积分 1 釆用央角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而采用半圃形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半圃形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例10.7计算积分 解显然,这时应该考虑夹角为2x/3的扇形围道(图10.5 图10.5 +=r++人 )++ 27i res 2-i/6 取极限R→∞,因为 0, 所以 最后就得到 7 e-17/6Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ ◗➌r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÛå å ❂æ ➞✃➞ ￾ é❐➑➒ çè⑦ ⑧⑨✷ê➢Ô⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➁î❻❼× z = eiπ/4 é z = ei3π/4 ✷ ➃➄ê æ ➞ëìíîíï✷￾ éðñ❂➷Ú ë➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❐➑ò ó ➁ π/50 ⑦ô è ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼♦Ñ❐➑➒ çè ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➁õ❹➃➄ê Û ⑦ö÷ øù￾ú✷ ➷ÚÜ❂❹ Û ➔êïÛå å ❂ ô è ⑧⑨é➒ çè ⑧⑨➁õûü￾ýþÿ⑦￾ ❂ Ü Ý❂ ❹ ✁ ➔êîÛå å ❂ ô è ⑧⑨✂ ➅✄ô☎í⑦ þÿ✷ ➸ 10.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❩❬❂ ➼ ♦ ✿✆✝✞✟✹✫ 2π/3 ★✠✺ ❫❒ (❪ 10.5) ✷ ❱ 10.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 =  1 − e i2π/3  Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3     z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0. ✈ ④r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 = 2π 3 e −iπ/6 1 − e i2π/3 = π 3 cos π 6 = 2π 3 √ 3