四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题,可化为 在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理1设A,A2…,An…是一个完备事件组,且P(4)>0,i=1.2,…则对任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|41)+…+P(An)P(B|A1) 注:全概率公式可用于计算较复杂事件的概率,公式指出:在复杂情况下直接计算 P(B)不易时,可根据具体情况构造一组完备事件{A1},使事件B发生的概率是各事件 A(=12,…)发生条件下引起事件B发生的概率的总和 五、贝叶斯公式 利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得 该事件发生的概率下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题即,一事件已经发生, 要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性.例如,有三个放有不同数量和颜色的球 的箱子现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球求该球是取自1号箱的概率或问:该球取自 哪号箱的可能性最大 定理2设A,A2,…,A1…是一完备事件组则对任一事件B,P(B)>0,有 P(A1|B)= P(A P(A1)P(B|41) 贝叶斯公式 P(B)∑P(A)P(B|A 注:公式中,P(4)和P(A|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai=12,…是 在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下诸事件发生的概率当获得新的信息(知 道B发生)人们对诸事件发生的概率P(A|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这 种变化特别地若取n=2,并记A=A,则A2=A,于是公式成为 P(ALB)- P(AB) P(A)P(B A) P(B) P(A)P(B A)+P(A)P(B A) 例题选讲 条件概率 例1(E01)一袋中装有10个球其中3个黑球,7个白球先后两次从袋中各取一球(不 放回) (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率 解记A为事件“第i次取到的是黑球”(=1,2) (1)在已知A发生,即第一次取到的是黑球的条件下,第二次取球就在剩下的2个黑四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为 在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理 1 设 A1 , A2 ,  , An ,  是一个完备事件组,且 ( )  0, P Ai i =1,2,  , 则对任一事件 B ,有 P(B) = P(A1 )P(B| A1 )++ P(An )P(B| An )+ 注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算 P(B) 不易时,可根据具体情况构造一组完备事件 { } Ai , 使事件 B 发生的概率是各事件 A (i =1,2, ) i 发生条件下引起事件 B 发生的概率的总和. 五、贝叶斯公式 利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得 该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生, 要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如,有三个放有不同数量和颜色的球 的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1 号箱的概率.或问:该球取自 哪号箱的可能性最大? 定理 2 设 A1 , A2 ,  , An ,  是一完备事件组,则对任一事件 B , P(B)  0 ,有 , 1,2, , ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) = = =   i P A P B A P A P B A P B P A B P A B j j j i i i i 贝叶斯公式 注: 公式中, ( ) P Ai 和 P(A | B) i 分别称为原因的验前概率和验后概率. P(A )(i =1,2, ) i 是 在没有进一步信息(不知道事件 B 是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知 道 B 发生),人们对诸事件发生的概率 P(A | B) i 有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这 种变化. 特别地,若取 n = 2 ,并记 A1 = A , 则 A2 = A ,于是公式成为 . ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B + = = 例题选讲 条件概率 例 1 (E01) 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球, 7 个白球, 先后两次从袋中各取一球(不 放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 解 记 Ai 为事件“第 i 次取到的是黑球” (i =1,2). (1) 在已知 A1 发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的 2 个黑