魏正红等：基于经验似然的Value-at-Risk模型的评价方法 一P(mp系-0）-1一z=而a (d)注意到 0=22成-江 因此，我们有 2叫-2网2好 AN 所以 +W)≥宁三好 那么我们可以导出 2T, W≤w暖-1宁2Wm网 根据引理的(a)-()，我们有 =() 会明 要=o(T 因此，入=0(1/WT) 引理4.2在定理4.2的条件下，有∑1m,=∑1(Am,)2+0(1) 证明根据Taylor展式，我们可以得到 台1+ -A1-m,+0(am,)2) -2ai-2ataP+o(么时） 注意到A3∑T1引≤A3max1≤≤Tm∑T12=O(T-3/2)o(T±)O(T)=o().因此 有∑1AW .（2+op() 定理2.2的证明由引理4.2，我们有∑，成=A∑，+o(公-1)，所以， 票+(（会时）)一+ooaa》 因此，我们有 9-空+i -2i-2P+2oat=宫成i+o +一（）小依分布 T-1∑1W 382 魏正红等: 基于经验似然的 Value-at-Risk 模型的评价方法 ⇐⇒ P  lim sup T ZT √ T = 0 = 1 ⇐⇒ ZT = o( √ T) a.s. (d) 注意到 0 = 1 T T t=1 Wˆ t 1 + λWˆ t = 1 T T t=1 Wˆ t − λ T T t=1 Wˆ 2 t 1 + λWˆ t . 因此, 我们有 1 T T t=1 Wˆ t = |λ| T T t=1 Wˆ 2 t 1 + λWˆ t |λ| 1 + |λ| maxt |Wˆ t| 1 T T t=1 Wˆ 2 t , 所以, 1 T T t=1 Wˆ t  1 + |λ| maxt |Wˆ t|  |λ| 1 T T t=1 Wˆ 2 t . 那么我们可以导出 |λ| | 1 T T t=1 Wˆ t| 1 T T t=1 Wˆ 2 t − | 1 T T t=1 Wˆ t| maxt |Wˆ t| . 根据引理的 (a)–(c) , 我们有 1 T T t=1 Wˆ t = Op  1 √ T  , 1 T T t=1 Wˆ 2 t →σ2 ∞, max 1tT |Wˆ t| = op(T 1 2 ). 因此, λ = Op(1/ √ T). 引理 4.2 在定理 4.2 的条件下, 有 T t=1 λWˆ t = T t=1(λWˆ t)2 + op(1). 证明 根据 Taylor 展式, 我们可以得到 0 = λ T t=1 Wˆ t 1 + λWˆ t = λ T t=1 Wˆ t(1 − λWˆ t + Op((λWˆ t) 2)), = T t=1 (λWˆ t) − T t=1 (λWˆ t) 2 + λ3Op  T t=1 Wˆ 3 t  . 注意到 λ3| T t=1 Wˆ 3 t | λ3 max1tT |Wˆ t| T t=1 Wˆ 2 t = Op(T −3/2)op(T 1 2 )Op(T ) = op(1). 因此 有 T t=1 λWˆ t = T t=1(λWˆ t)2 + op(1). 定理 2.2 的证明 由引理 4.2 , 我们有 T t=1 Wˆ t = λT t=1 Wˆ 2 t + op(λ−1). 所以, λ = T t=1 Wˆ t T t=1 Wˆ 2 t + op  λ−1  T t=1 Wˆ 2 t −1 = T t=1 Wˆ t T t=1 Wˆ 2 t + op(Op(T 1 2 )Op(T −1)) = T t=1 Wˆ t T t=1 Wˆ 2 t + op  1 √ T  . 因此, 我们有 ρ(2) T = 2 T t=1 log(1 + λWˆ t) = 2 T t=1 λWˆ t − T t=1 (λWˆ t) 2 + 2 T t=1 op((λWˆ t) 2) = λ T t=1 Wˆ t + op(1) = (T −1/2 T t=1 Wˆ t)2 T −1 T t=1 Wˆ 2 t + op(1) −→  σ2 ∞ EWt 2  χ2 1, 依分布. 382