中国科学A辑：数学第39卷第3期 引理4.1在定理2.2的条件下，我们有 (c)Zr :maxicterlWl=o(T)a.s. d)=op(） 证明(a)可以由文献21得出. 表5基于渐进方法的非嵌套检验 VaR =0.01 p=0,10 P=0.15 p=0.25 历史模拟法s RiskMetrics -1.7266* -0.6161* -3.7731 -3.7134 -3.2499 历中模拟法GARCH11) -41781 00428* -3g88 -4.6739 -2360 历史模拟法sGJR(1,1) -5.9080 -17774* -4.5301 -5.5301 -3.1765 -1510 051 -0.0824* -0.4639* 0.3413 RiskMetrics vs GJR(1.1) -2.6058 -1.0394* 0.3504* -0.8836* 0.0329* GARCH(1.1)vs GJR(1.1) 0.6561** -18983** -0.2622** 0.3716** 0.3350* (当显著水平为%时，CV=1.96:当显者水平为1%时，CV=2.58) 表6基于经验似然方法的非嵌套检验 VaR p=0.01 p=0.05 =0.10 p=0,15 p=0.25 历史模拟法sRiskMetrics 16567** 0.2486** 3.9777+ 5.1641* 6.4872* 历史模拟法s GARCHO1,1) 4.6358 0.0014** 5.1185 6.8435 6.R506 历史模拟法sGR(1, 5.6294 1,2511 5.1548 7.447 7.819 RiskMetrics vs GARCH(1,1) 2.2793 0,4039* 0.0121* 0.6602* 0.3472 RiskMetrics ys GIR(11) 2.1566** 2.3947* 0.2439** 1.8763** 0.0027** GARCHILI)YS GIROLI) 0.7857* 3.0060** 11641** 3.2636* 20415* (当显者水平为5%，CV=3.84:当显著水平为1%，CV=6.63) (b)根据文献21附录中的结论，我们有√T(ar-)=O(1),√T(5r-Y)=O1). VT(r-)=O(1),和VT(r-)=O,().最后根据Taylor展开式和大数定律就可以 得到b). (C)因为对任意的t≥1，有Ei?<ox,由著名的不等式∑eP1≥n)≤E≤ 1+∑-1P(≥n,有∑产-1P(i≥T)<o.根据Borel--Cantell写引理，P(limsupr{i? T)=P(2≥T,i.o.)=0,即，仅有有限多的T使得，对所有的1≤t≤T,≥T,as,由 此可以推得，仅有有限多的T使得 所以，limsupT Zr/厅≤1a.5,现在我们得到，对任意的整数m≥1及t≥1，E(m成)P<o 成立，类似的推理可以证明。 ip≤示,对所有的m≥1 一r({m系≤》)=1 381中国科学 A 辑: 数学 第 39 卷 第 3 期 引理 4.1 在定理 2.2 的条件下, 我们有 (a) √ 1 T T t=1 Wˆ t = √ 1 T T t=1 Wt + op(1) → N(0, σ2 ∞). (b) 1 T T t=1 Wˆ 2 t → EW1 2, 依概率. (c) ZT := max1tT |Wˆ t| = o(T 1 2 ) a.s. (d) λ = Op( √ 1 T ). 证明 (a) 可以由文献 [21] 得出. 表 5 基于渐进方法的非嵌套检验 VaR p=0.01 p=0.05 p=0.10 p=0.15 p=0.25 历史模拟法 vs RiskMetrics –1.7266** –0.6161** –3.7731 –3.7134 –3.2499 历史模拟法 vs GARCH(1,1) –4.1781 0.0428** –3.9885 –4.6739 –2.6360 历史模拟法 vs GJR(1,1) –5.9080 –1.7774** –4.5301 –5.5301 –3.1765 RiskMetrics vs GARCH(1,1) –1.5510** 0.5531** –0.0824** –0.4639** 0.3413** RiskMetrics vs GJR(1,1) –2.6058 –1.0394** –0.3504** –0.8836** 0.0329** GARCH(1,1) vs GJR(1,1) –0.6561** –1.8393** –0.2622** –0.3716** –0.3350** (当显著水平为 5% 时, CV = 1.96; 当显著水平为 1% 时, CV = 2.58) 表 6 基于经验似然方法的非嵌套检验 VaR p=0.01 p=0.05 p=0.10 p=0.15 p=0.25 历史模拟法 vs RiskMetrics 1.6567** 0.2486** 3.9777* 5.1641* 6.4872* 历史模拟法 vs GARCH(1,1) 4.6358* 0.0014** 5.1185* 6.8435 6.8506 历史模拟法 vs GJR(1,1) 5.6294* 1.2511** 5.1548* 7.4473 7.8196 RiskMetrics vs GARCH(1,1) 2.2793** 0.4039** 0.0121** 0.6602** 0.3472** RiskMetrics vs GJR(1,1) 2.1566** 2.3947** 0.2439** 1.8763** 0.0027** GARCH(1,1) vs GJR(1,1) 0.7857** 3.0060** 1.1641** 3.2636** 2.0415** (当显著水平为 5%, CV = 3.84; 当显著水平为 1%, CV = 6.63) (b) 根据文献 [21] 附录中的结论, 我们有 √ T(βˆT − β∗) = Op(1), √ T(ˆγT − γ∗) = Op(1), √ T(ˆθT − θ∗) = Op(1), 和 √ T(λˆT − λ∗) = Op(1). 最后根据 Taylor 展开式和大数定律就可以 得到 (b). (c) 因为对任意的 t 1, 有 EWˆ 2 t < ∞ , 由著名的不等式 ∞ n=1 P(|ξ| n) E|ξ| 1 +∞ n=1 P(|ξ| n), 有 ∞ T =1 P(Wˆ 2 t T ) < ∞. 根据 Borel-Cantelli 引理, P(lim supT {Wˆ 2 t T }) = P(Wˆ 2 t T, i.o.) = 0, 即, 仅有有限多的 T 使得, 对所有的 1 t T, Wˆ 2 t T, a.s., 由 此可以推得, 仅有有限多的 T 使得 max 1tT Wˆ 2 t T a.s. ⇐⇒ ZT √ T 1 a.s., 所以, lim supT ZT / √ T 1 a.s., 现在我们得到, 对任意的整数 m 1 及 t 1, E(mWˆ t)2 < ∞ 成立, 类似的推理可以证明, lim sup T ZT √ T 1 m a.s., 对所有的 m 1 ⇐⇒ P   ∞ m=1  lim sup T ZT √ T 1 m  = 1, 381