曲线坐标系 谢锡麟 其余情况均为零.具体地,有 Ti=v-o lor+(orr-prell, Ti==g loy +S(ww-pyy) T12=T2 (r-or) 2.1.2管径可变化轴对称圆管内流动 区域 Dny2{(x,y,2)0<x2+y2<R2(z),z∈(0,H),且将xz平面的上半平面剖开} 为管径可变化轴对称圆管,如图5所示.现考虑,将此不规则的柱体Dxyε通过向量值映照化成规 则的矩形体.以下研究向量值映照: R(z)cos n x(,n,2):Dn3n→X(,2)y(,m,2)=5:()smn 此处,参数区域为 Dn{(5,n,2)|∈(0,1),n∈(0,2x),∈(0,)} 需要说明的是: 1.X(5,n,2)∈(Dnx,Dny2)在Dnz实现单射.关于这一点,按几何意义易于说明 2.DX(5,n,2)∈R3x3在D=上非奇异.为此,计算曲线坐标系的 Jacobi矩阵 Rcos n-SRsinn ARcos n DX(, m, )=Sinn (R n fRsin n (e, y)=(ge 9, 9. )(6, m, 计算其行列式 det DX(s, n, a)=SR(=), 有DX(,n,2)在Dn2上非奇异 计算度量张量的协变分量矩阵 (gs,9)(g9n)(9,9) R- 0 RR (9n9)a3(gn9n)3(gn,92)a (g2;9)(g29n)3(g2,92)a ∈RR01+∈2R2张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 其余情况均为零. 具体地, 有 Γ 3 11 = 1 ψ − ϕ [ϕxx + ζ (ψxx − ϕxx)] , Γ3 22 = 1 ψ − ϕ [ϕyy + ζ (ψyy − ϕyy)] , Γ 3 12 = Γ 3 21 = 1 ψ − ϕ [ϕxy + ζ (ψxy − ϕxy)] , Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 ψ − ϕ (ψx − ϕx), Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1 ψ − ϕ (ψy − ϕy). 2.1.2 管径可变化轴对称圆管内流动 区域 Dxyz , { (x, y, z)| 0 < x2 + y 2 < R2 (z), z ∈ (0, H), 且将 xz 平面的上半平面剖开} 为管径可变化轴对称圆管, 如图5所示. 现考虑, 将此不规则的柱体 Dxyz 通过向量值映照化成规 则的矩形体. 以下研究向量值映照： X(ξ, η, z) : Dξηz ∋   ξ η z   7→ X(ξ, η, z) ,   x y z   (ξ, η, z) =   ξ · R(z) cos η ξ · R(z)sin η z   . 此处, 参数区域为 Dξηz , {(ξ, η, z)| ξ ∈ (0, 1), η ∈ (0, 2π), ζ ∈ (0, H)} . 需要说明的是: 1. X(ξ, η, z) ∈ C p (Dξηz, Dxyz) 在 Dξηz 实现单射. 关于这一点, 按几何意义易于说明. 2. DX(ξ, η, z) ∈ R 3×3 在 Dξηz 上非奇异. 为此, 计算曲线坐标系的 Jacobi 矩阵 DX(ξ, η, z) =   R cos η −ξR sin η ξR˙ cos η R sin η ξR cos η ξR˙ sin η 0 0 1   (x, y) =: ( gξ gη gz ) (ξ, η, z). 计算其行列式 det DX(ξ, η, z) = ξR2 (z), 有 DX(ξ, η, z) 在 Dξηz 上非奇异. 计算度量张量的协变分量矩阵 ( gij) ,   (gξ , gξ )R3 (gξ , gη )R3 (gξ , gz )R3 (gη , gξ )R3 (gη , gη )R3 (gη , gz )R3 (gz , gξ )R3 (gz , gη )R3 (gz , gz )R3   =   R2 0 ξRR˙ 0 ξ 2R2 0 ξRR˙ 0 1 + ξ 2R˙ 2   ; 10