(0-E) d2u 它的解是: A sinh ar (F<a) Bsin(kr+8),(r>a) 其中已经考虑到了边界条件u(0)=0。让lnu(r)在r=a处连续,得 tan(ka+8) 所以相移是 这是一个准确的表达式,但是太复杂,而且没有必要,因为我们本来假设了ka≤1,所以可以把它按 小量ka展开,在最低阶近似下只保留到ka的一次项。在ka→>0时, 2u(o-E)a 2山l0a tr 并可注意总有0< tanha/x≤1,所以还可以利用 arctan x~x,于是 →K tanh Ba-l 还可以认为 sin≡0, 所以微分截面成为 () tanh Ba-l 而总截面为 Ot tanh Ba-l. Ba 实际上这是k→0时σ的极限值。注意:在k→>0的时候也→>0,但截面并不→>0,因为截面 的表达式中还有一个1/k。如果→∞,那么Ba→∞,因而 tanh Ba/Ba→>0,所以 G1→4ra V→∞相当于一个半径为a的“完全硬球”。从经典图像看来,它的截面应该是1=a2,但量子截 面却是它的4倍,这是量子干涉效应的结果。 还可以注意:由于( tanh x/x)-1<0,所以O0<0,这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以 从散射波的直观图象中看出。此外,对于低能散射还经常定义“散射长度” an d 如果<1,那么可以近似取sin=tan,所以有 4丌 60=4 不难看出对于球方势垒,2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0, , 2 0, , d u V E u r a dr d u E k u r a k dr        −  − =  =          + =  =         它的解是： ( ) ( 0 ) sinh , ( ) sin , ( ) A r r a u r B kr r a     =  +   其中已经考虑到了边界条件 u(0) 0 = 。让 ln ( ) u r 在 r a = 处连续，得 ( 0 ) 1 1 tanh tan , a ka k    = + 所以相移是 0 arctan tanh . ka a ka a      = −     这是一个准确的表达式，但是太复杂，而且没有必要，因为我们本来假设了 ka 1 ，所以可以把它按 小量 ka 展开，在最低阶近似下只保留到 ka 的一次项。在 ka →0 时， 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 2 , V E a V a V k a a a       → −   = ⎯⎯⎯→ = =       并可注意总有 0 tanh / 1   x x ，所以还可以利用 arctan x x ，于是 0 1 ka a tanh 1 . a      → −     还可以认为 0 0 sin ,    所以微分截面成为 ( ) 2 2 2 0 1 1 sin tanh 1 , a a k a        = = −     而总截面为 2 2 2 0 t 2 1 2 4 tanh 1 . V a a a a a           = − =           实际上这是 ka →0 时  t 的极限值。注意：在 ka →0 的时候 0  也 →0 ，但截面并不 → 0 ，因为截面 的表达式中还有一个 1/ k 。如果 V0 → ，那么 a →  ，因而 tanh / 0   a a → ，所以 2 t   → 4 . a V0 → 相当于一个半径为 a 的“完全硬球”。从经典图像看来，它的截面应该是 2 t   = a ，但量子截 面却是它的 4 倍，这是量子干涉效应的结果。 还可以注意：由于 (tanh / ) 1 0 x x −  ，所以 0   0 ，这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以 从散射波的直观图象中看出。此外，对于低能散射还经常定义“散射长度” 0 0 1 a tan , k = −  如果 0  1 ，那么可以近似取 0 0 sin tan   = ，所以有 2 t 0 0 2 4 sin 4 . a k     = = 不难看出对于球方势垒