由此即得1+23=R再将1+23与1+1相乘，类似上面的讨论即得1+2山4=R 重复这一过程最后得到+2…1n=R完全类似地我们得到 4+Π马=i=1…,n 由此即知存在 e。reΠ， 使得 1=所+n,i=1,…,n 于是对任一我们有 r-1∈I. ne1,j≠i 令 r=a1n+…+anrn 则对任一我们有 r-a=a,:-)+Πa ∈a(r,-1)+1 e 也就是说，r是(*)的一个解.证毕 4.3在“秘密共享”中的应用 中国剩余定理是“秘密共享”问题经常使用的数学模型.假设有一秘密（通常称为主 秘钥).要求n个人联手才能解开，而任何n一1个人联手都解不开主秘钥.这里“解不开”的 感思是指在现有的计算条件下，要解开主秘钥需要很长时间，例如上万年 将主秘钥数字化以后设为自然数S.取定n个互素的大数m1,…,m:使得S小于这n个 数的积并且大于其中任意n-1个数的积，并将这n个数公开.用每个m去除S得到a4,0≤ a1≤m一1，i=1,…,n.这个计算过程是快的.将这个数a:给第i个人，也就是说地（他）享有 复 任何n-1个人联手，例如已知a1,…,a-1,虽然也可得到r=a1+…+an-1- 而且S也网样满足S=T+tm1…m-1,其中1∈Z.但由于S>m1…ma-1,S不能够被 唯一地恢复（这与n个人联手的情形不同，国为那时S<m1…mn,故S能够被唯一地恢复）】 因为mn很大，要从区间(m …m-l,m1 …mn-1mn)中逐一尝试得到主秘钥S,要花很长时4 dd=I1 + I2I3 = R.2ÚI1 + I2I3ÜI1 + I4ɶ,aq˛°?ÿ=I1 + I2I3I4 = R. ­E˘òLßÅ￾I1 + I2 · · · In = R.aq/·Ç Ii + Y j6=i Ij = R, i = 1, · · · , n. dd=3 si ∈ Ii , ri ∈ Y j6=i Ij , ¶ 1 = si + ri , i = 1, · · · , n. u¥È?òi·Çk ri − 1 ∈ Ii , ri ∈ Ij , ∀ j 6= i. - r = a1r1 + · · · + anrn. KÈ?òi·Çk r − ai = ai(ri − 1) + Y j6=i aj rj ∈ ai(ri − 1) + Ii ∈ Ii . è“¥`, r¥(∗∗)òá). y..  4.3 3/ìó
ê0•A^∗ •Iê{½n¥/ìó
ê0ØK²~¶^ÍÆ.. bkòìó(œ~°èà ì).á¶ná<ÈÂU)m, ?¤n − 1á<È×)ÿmÃì. ˘p/)ÿm0 øg¥ç3ykOé^áe,á)mÃìIáÈûm,~X˛c. ÚÃìÍiz±￾èg,ÍS. ½nápÉåÍm1, · · · , mn, ¶S u˘ná Í»øÖåuŸ•?øn − 1áÍ», øÚ˘náÍ˙m. ^zámiÿSai , 0 ≤ ai ≤ mi −1, i = 1, · · · , n. ˘áOéLߥØ.Ú˘áÍaiâ1iá<,è“¥`®(¶)êk fìai . XJná<—ÚgCfìai˙m,Kù˛åOér = a1r1+· · ·+anrn;œ èÃìSÜrk'XS = r + tm1 · · · mn, Ÿ•t ∈ ZÖS < m1 · · · mn,SU çò/° E. ?¤n − 1á<ÈÃ, ~XÆa1, · · · , an−1,è,èår 0 = a1r 0 1 + · · · + an−1r 0 n−1 , ÖS蔘vS = r 0 + t 0m1 · · · mn−1, Ÿ•t 0 ∈ Z.duS > m1 · · · mn−1, SÿU  çò/°E(˘Üná<ÈÃú/ÿ”,œè@ûS < m1 · · · mn,SU çò/°E). œèmnÈå,ál´m(m1 · · · mn−1, m1 · · · mn−1mn)•Åò}£ÃìS,ásÈû