间，从计算的角度可以确保在一定的时问内这是办不到的.同样的道理，四为不知道，要从 区间(0，m,一1)逐一尝试a的所有可能值，得到相应的r再得到S,在一定的时间内也是办 不到的 4.4欧拉函数 设n=m.…r是正整数n的标准素分解，即m,…,p,是两两不同的素数，m1,·,m,均 为正整数.令1，=mZ,1≤i≤r则1，…，1，是z的两两互素的理想，且1nn山，=nZ因 此由定理41立即得到 推论4.3设n=…pr是正整数n的标准素分解则有环同构 T:2n兰乙⊕…⊕Zn,x0=(亿，…，i,1ez (注意上述每个的意义不同，指在不同的剩余类环中的元) 由此立即得到 U(Zn)兰U(亿)⊕…⊕U(亿pr), 从而 U(Za1=U(亿p‖…lU(亿p-l. 用p()表示欧拉(Euler)函数，即(m)是区间l,川中与n互素的整数的个数.则U() n).根据定义(p)恰是区间1，卫]中不能被p整除的整数的个数.而区间1，p]中能 祓p整除的整数恰好形如gp,其中g=1,2,…,pm-1,因此p(pm)=pm-pm-1=pm-1(p-1). 这就证明了 推论4.4设n=严是正整数n的标准素分解，()是欧拉函数则 回=L以--=n几a-之 习题 1.今有物不知其数，二二数之剩一，三三数之剩二，五五数之剩三，问物至少几何？ 2.设1，J是环的两个理想.定义环同态f:R-→/1×R/1,f)=(r+1,r+ ),r∈R证明 (句Kcf=InJ.特别地，f是单同态当且仅当InJ={0 ()∫是满同态当且仅当1+J=R. 3设m1,,m是两两互素的整数.设n∈(m)z且满足n1(modm小.证 5 m,lOé›å±(3ò½ûmS˘¥çÿ. ”n,œèÿan,ál ´m(0, mn − 1)Åò}£an§kåUä, ÉAr2S,3ò½ûmSè¥ç ÿ. 4.4 Ó.ºÍ∗ n = p m1 1 · · · p mr r ¥ÍnIOÉ©), =p1, · · · , pr¥¸¸ÿ”ÉÍ, m1, · · · , mr˛ èÍ. -Ii = p mi i Z, 1 ≤ i ≤ r.KI1, · · · , Ir¥Z¸¸pÉné,ÖI1∩· · ·∩Ir = nZ.œ dd½n4.1·= Ìÿ4.3 n = p m1 1 · · · p mr r ¥ÍnIOÉ©).KkÇ” π : Zn ∼= Zp m1 1 ⊕ · · · ⊕ Zp mr r , π( ¯l) = (¯l, · · · , ¯l), ∀ l ∈ Z. (5ø˛„zá¯lø¬ÿ”,ç3ÿ”ê{aÇ•.) dd·= U(Zn) ∼= U(Zp m1 1 ) ⊕ · · · ⊕ U(Zp mr r ), l |U(Zn)| = |U(Zp m1 1 )| · · · |U(Zp mr r )|. ^ϕ(n)L´Ó.(Euler) ºÍ, =ϕ(n)¥´m[1, n]•ÜnpÉÍáÍ. K|U(Zn)| = ϕ(n). 䂽¬ϕ(p m)T¥´m[1, pm]•ÿUpÿÍáÍ. ´m[1, pm]•U pÿÍT–/Xqp, Ÿ•q = 1, 2, · · · , pm−1 , œdϕ(p m) = p m−p m−1 = p m−1 (p−1). ˘“y² Ìÿ4.4 n = p m1 1 · · · p mr r ¥ÍnIOÉ©), ϕ(n)¥Ó.ºÍ.K ϕ(n) = Y 1≤i≤r p mi−1 i (pi − 1) = n Y 1≤i≤r (1 − 1 pi ). SK 1. 8k‘ÿŸÍ,ÍÉêò,nnÍÉê, ÍÉên,Ø‘ñA¤? 2. I, J¥ÇR¸áné. ½¬Ç”f : R −→ R/I × R/J, f(r) = (r + I, r + J), ∀ r ∈ R.y² (i) Kerf = I ∩ J. AO/, f¥¸”Ö=I ∩ J = {0}. (ii) f¥˜”Ö=I + J = R. 3. m1, · · · , mn¥¸¸pÉÍ. ri ∈ ( Q j6=i mj )ZÖ˜vri ≡ 1 (mod mi). y ²