赵启东等：基于支持向量数据描述方法的生产过程监控、诊断与优化 ·1793· 0 0 n (7) 0 0 0 0 0 其中，n为训练样本的总数，n,为支持向量的个数.由 Ψx:2 于在利用SVDD方法建立监控模型的过程中，只有正 0 0 0 常样本参与建模，而位于超球体外和超球体面上的支 0 持向量x与球心o的距离是大于等于半径R的，即 (12) D(x)≥R.由前面的分析可知，可以作为支持向量 结合式(11)和式(12)可以看出，贡献矩阵C,是 的样本其自身是正常样本，但根据监控准则被判为异 一个p×n的矩阵，只有其中的第j行是有数值的，它 常样本，由此可以用支持向量的个数n来计算虚 警率。 代表的是异常样本点x的第j个变量分别与每个正 常样本的第j个变量之间的相互关系.设有n个正常 为对参数)和核参数进行优化，首先需要给定 样本，那么就将C,中n个非零元素进行加和，可以得 显著性水平a:然后分别确定参数v和核参数σ的取 到异常样本点的第j个变量的能量值E, 值范围，并划分网格，计算每个参数组合下的虚警率， 对n个正常样本求平均值，得到一个新的样本x。, 选出7≈α时的参数u:在确定参数v之后，画出)-0 按照上述计算过程，可以相应获得新样本点的第j个 曲线图，选择η达到稳定时的σ值作为模型中核参数 变量的能量值E。,以此作为后续比较分析的基准值. 值.所提出的参数优化方法的好处在于，完全是根据 定义异常样本点x的第j变量的贡献值为 数据内在的结构特征来确定支持向量的个数，进而获 (13) 得虚警率，并以此作为收敛条件来确定核参数，无需引 6=lg(E:/E). 入其他复杂的优化算法，使得计算过程效率高，易于实 式中：E为异常样本点的第j个变量的能量值：E为正 常样本点的第广个变量的能量值：δ表示异常样本的 现在线监控 第个变量与正常样本的第个变量之间的偏离程度， 1.2基于贡献图的异常点诊断 δ值越大，则说明第j个变量导致样本异常的可能性 利用建立好的监控模型可以对测试样本进行监 控.在核参数σ确定的情况下，式(6)中第三部分 就越大 假设共有p个变量，依次对这p个变量计算出贡 会会aK)主要是由训练集x决定的，但 献值6j=1,2,…,P,便可画出所有变量对异常的贡献 要对新来的测试样本x进行实时监控，主要是取决 图，如图1所示，横坐标代表各个变量，纵坐标则表示 贡献值.贡献值越大所对应的变量，则越有可能引起 于式(6)的第二部分∑a,K(xx,),即 生产过程的异常 ga)=名a业ge (8) 由上式可知，若Ix-x:‖2越大，式(8)的值就 越小，则D(x)就越大.由此可知，式(6)中测试样 本点到球心的距离主要取决于下式： 含。I=宫a医 (9) 式中，x:=xew-x 变量1 变量2 变量即 假设新来的测试样本x超过了R控制限，被判 图1贡献图的示意图 为异常样本.为了实现对异常样本点的诊断，需要将 Fig.1 Schematic diagram of the contribution plot 式(9)中：和a:结合生成一个新矩阵X 1.3基于邻近点替换的工艺参数优化 X,x=[Wa√瓜…Va…√a].(（10) 在诊断出由哪些变量引起生产过程的异常后，需 式中，p表示样本的变量个数 要对这些异常样本点进行优化控制，使生产过程及时 在此基础上定义第j个变量的贡献矩阵C,为 调整回到受控状态.基本思路如下所述， C=业X= 在核函数映射的高维特征空间中，设山(y)为异常 [aΨ√aΨ2…aΨ…√a乎] 样本，中(z)为正常样本，见图2.定义异常样本到超球 (11) 体球心的距离为D,正常样本到超球体球心的距离 其中，矩阵业仅有a为1，其余元素全为0，如下式： 为Do赵启东等: 基于支持向量数据描述方法的生产过程监控、诊断与优化 η = nsv n ． ( 7) 其中，n 为训练样本的总数，nsv为支持向量的个数． 由 于在利用 SVDD 方法建立监控模型的过程中，只有正 常样本参与建模，而位于超球体外和超球体面上的支 持向量 xsv与球心 o 的距离是大于等于半径 Ｒ 的，即 D2 ( xsv ) ≥Ｒ2 ． 由前面的分析可知，可以作为支持向量 的样本其自身是正常样本，但根据监控准则被判为异 常样本，由 此 可 以 用 支 持 向 量 的 个 数 nsv 来 计 算 虚 警率． 为对参数 υ 和核参数 σ 进行优化，首先需要给定 显著性水平 α; 然后分别确定参数 υ 和核参数 σ 的取 值范围，并划分网格，计算每个参数组合下的虚警率， 选出 η≈α 时的参数 υ; 在确定参数 υ 之后，画出 η － σ 曲线图，选择 η 达到稳定时的 σ 值作为模型中核参数 值． 所提出的参数优化方法的好处在于，完全是根据 数据内在的结构特征来确定支持向量的个数，进而获 得虚警率，并以此作为收敛条件来确定核参数，无需引 入其他复杂的优化算法，使得计算过程效率高，易于实 现在线监控． 1. 2 基于贡献图的异常点诊断 利用建立好的监控模型可以对测试样本进行监 控． 在核参 数 σ 确 定 的 情 况 下，式( 6 ) 中 第 三 部 分 ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 αiαj K( xi，xj ) 主要是由训练集{ xi} 决定的，但 要对新来的测试样本 xnew进行实时监控，主要是取决 于式( 6) 的第二部分 ∑ n i = 1 αiK( xnew，xi ) ，即 ∑ n i = 1 αiK( xnew，xi ) = ∑ n i = 1 αie － ‖xnew － xi‖2 σ2 ． ( 8) 由上式可知，若‖xnew － xi‖2 越大，式( 8) 的值就 越小，则 D2 ( xnew ) 就越大． 由此可知，式( 6) 中测试样 本点到球心的距离主要取决于下式: ∑ n i = 1 αi‖xnew － xi‖2 = ∑ n i = 1 αi‖x^ i‖2 ． ( 9) 式中，x^ i = xnew － xi ． 假设新来的测试样本 xnew超过了 Ｒ2 控制限，被判 为异常样本． 为了实现对异常样本点的诊断，需要将 式( 9) 中 x^ i 和 αi 结合生成一个新矩阵 ^ X ^ Xp × n =［槡α1 x^ 1 槡α2 x^ 2… 槡αix^ i… 槡αn x^ n ］． ( 10) 式中，p 表示样本的变量个数． 在此基础上定义第 j 个变量的贡献矩阵 Cj 为 Cj = Ψj ^ X = ［槡α1Ψj x^ 1 槡α2Ψj x^ 2…槡αiΨj x^ i…槡αnΨj x^ n ］． ( 11) 其中，矩阵 Ψj 仅有 ajj为 1，其余元素全为 0，如下式: Ψj x^ i = 0 0 … 0 0 0   0 0   ajj   0 0   0 0 0 …              0 0  x^ 1i  x^ ji  x^               pi = 0 0 ajj x^ ji               0  ． ( 12) 结合式( 11) 和式( 12) 可以看出，贡献矩阵 Cj 是 一个 p × n 的矩阵，只有其中的第 j 行是有数值的，它 代表的是异常样本点 xnew的第 j 个变量分别与每个正 常样本的第 j 个变量之间的相互关系． 设有 n 个正常 样本，那么就将 Cj 中 n 个非零元素进行加和，可以得 到异常样本点的第 j 个变量的能量值 Ej ． 对 n 个正常样本求平均值，得到一个新的样本 x0， 按照上述计算过程，可以相应获得新样本点的第 j 个 变量的能量值 Ej0，以此作为后续比较分析的基准值． 定义异常样本点 xnew的第 j 变量的贡献值为 δj = lg( E2 j /E2 j0 ) ． ( 13) 式中: Ej 为异常样本点的第 j 个变量的能量值; Ej0为正 常样本点的第 j 个变量的能量值; δj 表示异常样本的 第 j 个变量与正常样本的第 j 个变量之间的偏离程度， δj 值越大，则说明第 j 个变量导致样本异常的可能性 就越大． 假设共有 p 个变量，依次对这 p 个变量计算出贡 献值 δj ，j = 1，2，…，p，便可画出所有变量对异常的贡献 图，如图 1 所示，横坐标代表各个变量，纵坐标则表示 贡献值． 贡献值越大所对应的变量，则越有可能引起 生产过程的异常． 图 1 贡献图的示意图 Fig． 1 Schematic diagram of the contribution plot 1. 3 基于邻近点替换的工艺参数优化 在诊断出由哪些变量引起生产过程的异常后，需 要对这些异常样本点进行优化控制，使生产过程及时 调整回到受控状态． 基本思路如下所述． 在核函数映射的高维特征空间中，设 ( y) 为异常 样本，( z) 为正常样本，见图 2． 定义异常样本到超球 体球心的距离为 Dyo，正常样本到超球体球心的距离 为 Dzo ． ·1793·