北京大学数学科学学院高等代数(I)期末考试题 班级姓名 学号 成绩 (本题共40分)给定有理数域Q上的多项式f(x)=x4+3x2+3 (本题5分)证明f(x)为Q中的不可约多项式 (本题5分)设a是f(x)在复数域C内的一个根.定义 Ca]=tao+aia+a2a) 证明:对于任意的g(x)∈Q[],有g(a)∈Qa];又对于任意的β,y∈Qa],有βy∈Qa 3.(本题5分)接上题.证明:若β∈Qa],B≠0,则存在y∈Q[a],使得B=1 4.(本题15分)找出f(x)的一个 sturm序列.判断f(x)有几个实根 5.(本题10分)求下面三阶方阵在有理数域Q上的最小多项式 (本题10分)在欧氏空间R内求下列齐次线性方程组 +x2+3 000 +x2+9x3 的解空间的正交补空间的一组标准正交基 三.(本题15分)给定数域K上的多项式f(x)=x3+px+q设f(x)在复数域C内的三 个根是a1,a2,a3.求K上的首1三次多项式F(x),它以a2,a2,a3为三个根 四.(本题共15分)设A是m维酉空间V内的一个 Hermite变换 1.(本题5分)证明A-i可逆,这里i为虚单位 2.(本题10分)证明U=(A-iE)-1(A+iE)为酉变换 五.(本题10分)设A是n维酉空间V内的一个线性变换.如果A的特征向量都是A* 的特征向量,证明A是正规变换 六.(本题5分)证明在n维欧氏空间v中两两夹钝角(即夹角大于翌)的向量不能多于 +1个 七.(本题5分)考察复数域上全体m阶方阵所成的集合Mn(C,它关于矩阵的加法及实数 与矩阵的数乘组成实数域R上的线性空间.设M为其子空间,且满足:()若A,B∈M, 则AB∈M;(i)若A∈M,A≠0,则A可逆,且A 1.证明:任给A∈M,则A=aE(a∈或A=aE+B,这里a∈R且B2=bE (b∈Rb<0) 2.令N={A∈M42=bE,b∈R,b<0},证明N是M的子空间￾ ✁✂✄☎✆☎✝☎☎✞✟✠✡✆ ☛✌☞✍☞✏✎✒✑✓✔✕✖ ✗✙✘ ✚✜✛ ✢✙✣ ✤✙✥ ✦★✧✪✩✬✫★✭✯✮✙✰✌✱✳✲✵✴✷✶✯✸★✹✯✺★✻★✼✾✽❀✿★❁✯❂★❃✯❄✜❅✍✩❇❆❈✴❊❉❋❆❍●❏■▲❑▼❆❖◆✷■P❑❘◗ ￾ ◗❙✩✬✫★✭✜❚❯✲✵✴✷❱❳❲❨❅✍✩❇❆❈✴❬❩❭✽❬❪❴❫▲❁★❵✯❛★❜★❂✯❃★❄✯✧ ❝ ◗❙✩✬✫★✭✜❚❯✲✵✴✷❞✙❡❣❢✜❅✍✩❤❆❈✴✷✐✯❥★✻★✼✾❦✒❧♠❁✯♥★♦✯♣★✧P✸✯q ✽sr❡✉t✈❉①✇③②⑤④❊■▲②❘⑥⑦❡⑧■P②◆ ❡◆▼⑨✌⑩ ❱❶❲▲❷P❸✯❹★❺★❻✯❁❽❼❾✩❇❆❈✴❬❿➀✽➁r❆❘t➃➂❾✹❭❼❾✩❤❡✍✴❬❿➄✽➁r❡✉t➃➅❾➆✯❸★❹✯❺★❻★❁➈➇✷➉➋➊➌❿➄✽➍r❡✉t➎➂➏✹❽➇❾➊➌❿➄✽➍r❡✉t➎◗ ❑❘◗❙✩✬✫★✭✜❚❯✲✵✴✷➐✯✿★✭★✧➑❱❶❲▲❷P➒✙➇♠❿➄✽➍r❡✉t➎➂➓➇→➔❉➣✱❍➂⑤↔★↕★✐➙➊✪❿⑧✽➍r❡➏t➃➂❾➛✯➜❽➇❾➊➄❉ ￾ ◗ ✰❍◗❙✩✬✫★✭ ￾ ❚❯✲➣✴✷➝❶➞❨❅✍✩❇❆➟✴✷❁★♥✯♦✙➠➋➡➤➢❘➥➧➦➩➨★➫✯✧P➭★➯✜❅✍✩❤❆❈✴✷✹✯➲★♦★➳✯♣★✧ ❚➵◗❙✩✬✫★✭ ￾ ✱✳✲➣✴✷➸★➺★➻✯➼★➽✯➾❶➚♠✐✯✹★✺✯✻★✼✜✽①✿★❁★➪✯➶★❂✯❃★❄★❷ ➹ ❉ ➘➴ ➴➷ ✱➬✱ ➮❙❑ ￾ ✱ ✱ ✱ ￾ ➮❙❑ ➱❐✃✃ ❒ ⑩ ❮✧✪✩✬✫★✭ ￾ ✱✳✲✵✴✷✐★❰❳Ï♠Ð❳ÑÓÒ➓●➌❧♠➸★➺✯➫★Ô✯Õ★Ö★×✯➾★Ø✯Ù ÚÛ Û Ü Û ÛÝ ❝❆ ⑥ ■s❆ ◆ ■➁❑Þ❆❈ß ➮❏❆ ● ❉ ✱ ❑▼❆ ⑥ ■❝❆ ◆ ➮ ❝❆ ● ❉ ✱ ❑▼❆ ⑥ ■s❆ ◆ ■➁àÞ❆❈ß ➮❏❆ ● ❉ ✱ ❁★á✯Ð❶Ñ▲❁★â★ã✯ä★Ð❳Ñ♠❁★♥✯Ù★å✯æ★â★ã✯ç★✧ è✧➌✩✬✫★✭ ￾ ❚➍✲✵✴é✶★✸✯✻★✼❭êë✿✯❁★❂★❃✯❄❭❅✍✩❤❆❈✴é❉➣❆ß ■⑧ì❍❆❯■❣íî◗➓❞✙❅✍✩❇❆❈✴é✐✯❥★✻★✼❭❦①❧▲❁★➼ ♦★♣✯❢✙❡⑥ ➉➧❡◆ ➉➤❡➓ß▼◗✏➸✙êï✿★❁★ð ￾ ➼✯Õ★❂★❃✯❄✜ñò✩❇❆➟✴ó➂îô✯õ✙❡◆ ⑥ ➉➧❡◆ ◆ ➉➤❡◆ ß ❩★➼★♦✯♣★✧ ö ✧✪✩✬✫★✭✯✮ ￾ ❚❯✲✵✴✷❞✙÷ø❢❽ù❴ú★û✯Ð❶Ñ❨üý❧♠❁✯♥★♦✙þÿ❐➥➤➦✁➡➧ÿ✄✂✆☎★✧ ￾ ◗❙✩✬✫★✭✜❚❯✲✵✴✷❱❳❲Ó÷ ➮ ✁✞✝ ❛✠✟✆✡☞☛✠✌ ✁ ❩✆✍✠✎✠✏✯✧ ❝ ◗❙✩✬✫★✭ ￾ ✱✳✲➣✴✷❱❶❲✒✑ø❉ ✩❤÷ ➮ ✁✓✝✴✕✔ ⑥ ✩❤÷❶■ ✁✖✝✴é❩★û✆✂✠☎✯✧ ✗✧✪✩✬✫★✭ ￾ ✱❯✲✵✴✷❞❽÷ ❢❭ù➀ú✯û★Ð❶ÑÓüø❧♠❁✯♥★♦✯Ö★×✠✂✆☎★✧✙✘✠✚❽÷ø❁✆✛✠✜✣✢✥✤✠✦✯❢❭÷★✧ ❁✠✛✆✜✣✢✥✤✠✡P❱❳❲❨÷ø❢★â✆✩✠✂✆☎★✧ ✪✧▲✩✫✯✭➙❚ ✲✵✴❏❱❶❲♠✐ ù✪ú★❰❳Ï♠Ð❶Ñ❭ü ❫✬✫✠✫✆✭✠✮✆✯ ✩✱✰✠✭✆✯✠✲★❹ ✳ ◆ ✴❬❁✣✢✥✤★❵✵✴★❂✯❹ ù ■ ￾ ♦✯✧ ✶✧ ✩✫★✭ ❚ ✲➣✴✸✷✠✹➣❥➣✻➣✼➣✿✠✺✼✻Óùò➽➣➾➚✬✽✼✾➣❁✼✿✼❀❂❁✬❃❾✩❦✈✴ó◗❊ô✼❄➣❹✼❅❶➚❁✼❆✼❇✼❈★➳➣✻ ❉❅➚♠❁➣✻✼❊➣Ù✼✾★➳➣✻➣✼✙ÒP✿➣❁➣Ö➣×★ÐÑ✧➍❞❋❁❭❩✼●✠❍➣ÐÑ✙✡❏■✼❑✼▲★❷ ✩ ✁ ✴✷➒ ➹ ➉✞▼❳❿◆❁❶➂ ↔ ➹▼❳❿❖❁❶➅➏✩ ✁P✁ ✴✷➒ ➹ ❿◆❁❶➂ ➹ ❉✵✱❍➂î↔ ➔ ➹ ❛✠✟✠✡◗■ ➹ ✔ ⑥ ❿❖❁❶◗ ￾ ◗➁❱❲▲❷➑❺✯✶ ➹ ❿✥❁❶➂❈↔ ➹ ❉✒②❙❘✩ ②❴❿♠Ò✈✴❯❚ ➹ ❉ ②❙❘ ■❱▼ ➂❲☛✆✌➙②❴❿♠Ò✵■❳▼✳◆ ❉❩❨❬❘ ✩❭❨s❿➄Ò❬➉❪❨❴❫➑✱✌✴⑦◗ ❝ ◗❛❵❝❜ë❉❀✇ ➹ ❿★❁❡❞ ➹ ◆➁❉✼❨❬❘ò➉✕❨❙❿➀Ò❬➉✖❨❪❫❋✱ ⑨ ➂⑤❱❶❲✒❜ ❢❢❁✜❁✠❍✯Ð❶Ñ▲✧