试题答案与评分标准 1.取p=3,利用 Eisenstein判别法 2.设g(x)=q(x)f(x)+r(x)(degr(x)<3或r(x)=0),则g(a)=r(a)∈Qa 到此得3分) 若β=h1(a),y=h2(a),令h(x)=h1(x)h2(x),则y=h(a)∈Qc] (到此得5分) 3.设B=b+b1a+b2a2.令g(x)=b+b1x+b2x2.因f(x)不可约且degg(x) degf(),t((a), g(a))=1 到此得2分) 于是有u(x),v(x)∈Q[z],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.即得v(a)g(a)=1.而 (a)∈Qa],令γ=v(a)即可 到此得5分) 4.令()=f(,f(x)==3x=x2+2x, f6(x)=(x+1)f1(x)+(-2x+3),取f2(x)=2x-3 fi()=(2+f,(rtA 取∫3(x)=-1 于是f0(x),f1(x),f2(x),f3(x)为f(x)的一个 sturm序列 到此得8分) fo(a) fi(a) f2(a)f3(a) w(a) f(x)的实根数=W(-∞)-(+∞)=2-1=1 到此得15分) 若 sturm序列中f2(x),∫3(x)的符号弄错,其他做法正确,得8分) 5.A的特征多项式|E-4=3+3入2+3=f(X),有一个实根,两个共轭复根,故 A在C内的 Jordan标准形为对角矩阵,且主对角线元素互不相同 到此得6分) 于是A的最小多项式即为其特征多项式f(入 (到此得10分) 所求的正交补空间即为由系数矩阵的行向量生成的子空间. 到此得3分) 因 213-1 21 1060 320-2→11-3-1→01-9-1 319-1 1060 0000 故它的一组基.可取为a1=(1,0,6,0),a2=(0,1,-9,1)❝ ❣❢❤❝✐❢❥❢❦❢❧♥♠♣♦♥q ✦ ◗ ￾ ◗sr❨ì ❉★❑❘➂✉t✆✈❝✇✁ ➠ÿ②①❍➠➋➡➤ÿ✁① ➭✆③✠❇✯✧ ❝ ◗✏❞❭❼❾✩❇❆➟✴é❉➣í➵✩❤❆❈✴ ❅✍✩❤❆❈✴✏■✬④➵✩❇❆➟✴ ✩⑥⑤❘ÿ⑧⑦⑨④➵✩❤❆❈✴⑩❫❋❑❯❚❶④➵✩❇❆❈✴❬❉✵✱⑤✴ó➂î↔❭❼❾✩❤❡✍✴é❉❷④➵✩❡✏✴❙❿⑧✽➍r❡➏t➃◗ ✩❹❸✆❺★➜✜❑✳✲✵✴ ➒❽➇✪❉✼❻➟⑥ ✩❡✏✴⑦➂❘➊➄❉✠❻ ◆ ✩❤❡✍✴ó➂❼❵❢❻➓✩❇❆➟✴✷❉✼❻➟⑥▼✩❇❆❈✴✞❻ ◆ ✩❇❆➟✴ó➂î↔➈➇➏➊➄❉✠❻➓✩❤❡✍✴ ❿➄✽➍r❡✉t➎◗ ✩❹❸✆❺★➜✾❚❯✲✵✴ ❑❘◗s❞ ➇➑❉❽❨④ ■❾❨ ⑥ ❡❴■❾❨ ◆ ❡➓◆▼◗❴❵✜❼❾✩❇❆➟✴ ❉❿❨④ ■❾❨ ⑥ ❆ò■❾❨ ◆ ❆❖◆✌◗➁➀ ❅✍✩❤❆❈✴❏❵✯❛✯❜✠■➂⑤➵ÿ②⑦é❼❾✩❇❆❈✴➃❫ ⑤➵ÿ②⑦❬❅✍✩❇❆➟✴ó➂❙➄ ✩➎❅✍✩❇❆➟✴ó➉➋❼❾✩❇❆➟✴ ✴✷❉ ￾ ◗ ✩❹❸✆❺★➜ ❝ ✲✵✴ ❹❀❢✹➆➅✍✩❇❆➟✴ó➉✞➇❈✩❤❆❈✴❣❿✒✽➍r❆❍t➎➂➁➛❀➜➆➅✍✩❇❆➟✴ ❅✍✩❇❆➟✴❏■✆➇❈✩❤❆❈✴➃❼❾✩❇❆➟✴➀❉ ￾ ◗❾✰❀➜➆➇➟✩❤❡✍✴➃❼❾✩❤❡✍✴➄❉ ￾ ◗❾➈ ➇➟✩❤❡✍✴ ❿➀✽sr❡➓t➎➂➉❵ ➊➀❉❷➇➟✩❤❡✍✴➊✰★❛✯✧ ✩❹❸✆❺★➜✾❚❯✲✵✴ ✰❍◗❛❵✜❅④✌✩❇❆❈✴❬❉➣❅✍✩❤❆❈✴ó➂➟❅▼⑥ ✩❤❆❈✴❊❉➌➋➎➍✱➏P➐➎➑ ß ❉ ß ➐②➒✞➓➉➔✖➐ ß ❉✵❆❈◆❊■ ❝❆✉➂ ❅④ ✩❤❆❈✴✷❉ ✩❇❆ ■ ￾ ✴➧❅⑥ ✩❤❆❈✴➓■★✩➋➮ ❝❆ ■▲❑⑤✴ó➉ r✜❅◆ ✩❤❆❈✴❊❉ ❝❆ ➮ ❑❘➅ ❅✌⑥ ✩❇❆➟✴✷❉①✩ ￾ ❝ ❆ ■✣→ ✰ ✴➧❅◆ ✩❤❆❈✴➓■ ❝➵￾ ✰ ➉ r✜❅ß ✩❇❆➟✴✷❉❀➮ ￾ ⑩ ❹★❢✜❅④ ✩❇❆➟✴ó➉ ❅⑥ ✩❤❆❈✴⑦➉➤❅◆ ✩❇❆➟✴ó➉➤❅Þß▼✩❇❆➟✴❊❩✜❅✍✩❇❆➟✴✷❁★♥✯♦✙➠➋➡➤➢❘➥➧➦➩➨★➫✯✧ ✩❹❸✆❺★➜❢➣✳✲✵✴ ❅④✌✩❇❆➟✴➙❅▼⑥Þ✩❇❆❈✴➈❅◆ ✩❤❆❈✴➙❅ß ✩❇❆➟✴❳↔❳✩❇❆➟✴ ■➃↕ ■ ■ ■ ➮ ￾ ➮❴↕ ➮ ■ ➮ ➮ ❝ ❅✍✩❇❆➟✴➎❁✯➳★♣★✻❭❉✠↔❳✩ ➮❴↕P✴✏➮➛➙✳✩➎■➃↕➑✴✷❉ ❝ ➮ ￾ ❉ ￾ ◗ ✩❹❸✆❺★➜ ￾ ❚➍✲➣✴ ✩➒✙➠ ➡➧➢❘➥➤➦ ➨✯➫❶❫❨❅◆ ✩❇❆➟✴ó➉➤❅Þß✌✩❤❆❈✴✷❁✠➜✆➝✠➞✆➟✠✡☞●✆➠✠➡✆❇★â✠➢✆✡P➜♣➣❯✲➣✴ ❚➵◗ ➹ ❁✠✛✆✜★❂★❃✯❄➤❞ ➥➦❘★➮ ➹ ❞▼❉✆➥ß ■♠❑➧➥❖◆✈■♠❑✳❉➣❅✍✩❭➥❈✴ó➂➵✹★♥★♦✯➳★♣✆✡➨✫✯♦★✮✠➩✯❥★♣✆✡➨➄ ➹ ✐✙❦✒❧▲❁❝➫➯➭✌➥✖⑤➳➲➵① å★æ✠➸✯❩★❸✆✯✠❅❶➚✥✡☞■✆➺★❸✠✯✯Ö✠➻✆➼✠➽★❵✆➾✣➚▲✧ ✩❹❸✆❺★➜❢➪✳✲✵✴ ❹★❢ ➹ ❁✯➪★➶★❂✯❃★❄✆✰★❩✠●✆✛✠✜✯❂★❃★❄➙❅✍✩❭➥❈✴ó◗ ✩❹❸✆❺★➜ ￾ ✱ ✲➣✴ ❮ ◗❛✽✯➸★❁✯â★ã★ä✯Ð❶Ñ✥✰★❩✣➶✥➹★✻✆❅❶➚♠❁✆➘✣✢✥✤✠➴✠✾✯❁✠❍✯Ð❶Ñ♠✧ ✩❹❸✆❺★➜✜❑✳✲✵✴ ➀ ➘➴ ➴➷ ❝ ￾ ❑ ➮ ￾ ❑ ❝ ✱ ➮ ❝ ❑ ￾ à ➮ ￾ ➱❐✃✃ ❒ ➬➷ ➘➴ ➴➷ ❝ ￾ ❑ ➮ ￾ ￾ ￾ ➮❙❑ ➮ ￾ ￾ ✱ ➪ ✱ ➱❐✃✃ ❒ ➮➷ ➘➴ ➴➷ ￾ ✱ ➪ ✱ ✱ ￾ ➮❙à ➮ ￾ ✱➬✱ ✱ ✱ ➱❐✃✃ ❒ ➉ ➄★ô✯❁★♥✯Ù★ç★✧➑❛✠r✯❩✜❡✍⑥❏❉ ✩ ￾ ➉➧✱❍➉✞➪❘➉➤✱✌✴⑦➉★❡◆ ❉ ✩❤✱❍➉ ￾ ➉❐➮❙à❘➉ ￾ ✴⑦◗