定义9.1.2关系式 x2=c211+c22y2+……+C2nyn In=Cnly1 Cn292+.+ Cnnyn 称为由变量x1,x2,…,xn到变量y,y2,…,犰n的线性替换 Cl 12 C y/2 Cnl Cn2 X=Cy 当C是可逆阵时,线性替换称为可逆线性替换,或称为非退化线性替换 对于二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX做可逆线性替换X=CY,则 f(r1,x2,,In)=XAX=(CY)TA(CY)=YBY, 其中B=CAC.因为A是对称阵,所以B也是对称阵,故YTBY定义了二次型,记为 这样,实际上证明了下面的定理 定理9.1.1二次型f(x1,x2, XTAX经过可逆线性替换X=CY化为g(y1,y2,…,yn) YTBY的充分必要条件是CAC 定义913设A,B是数域F上的n阶矩阵,若存在n阶可逆阵C,使B=CAC,则称B A合同,记为A合同于B. 在FnX上的合同关系满足 (1)反身性,即A合同于A; (2)对称性,即如果A合同于B,则B合同于A (3)传递性,即如果A合同于B,B合同于C,则A合同于C 矩阵的合同必是相抵.所以合同的矩阵有相同的秩 合同的定义并没有要求对称阵.注意到,若A是对称矩阵且B合同于A合同,则B是对称矩阵.我 们主要关注数域F上对称阵的合同关系 次型的基本问题是寻找一个可逆线性替换,化为一个只含平方项的二次型 g(y1 yn)=d1y2+d2y2+…+dny 相应地,对于给定的对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使得CAC是对角阵 厘理911设A是数域F上的非零对称矩阵则必存在可逆矩阵C,使CAC的第(1)元素不等" 9.1.2 ?4    x1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn x2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · · · · xn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn (3) 0Sr x1, x2, · · · , xn r y1, y2, · · · , yn ! !. Q C =   c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · cn1 cn2 · · · cnn   , X =   x1 x2 . . . xn   , Y =   y1 y2 . . . yn   . a (3) k 0 X = CY.  C k
f￾9A+K 0 !, L 0 !. (W+> f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX k
9A+K X = CY , a f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX = (CY ) T A(CY ) = Y T BY, s B = C T AC. O0 A ( f￾&L B I( f￾> Y T BY 'Ns+>￾Q0 g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY. eG￾Ri~s5}!'o  9.1.1 +> f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX Ek
9A+K X = CY J0 g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY !3H,W C T AC = B. " 9.1.3  A, B !Z F ! n \ff￾_ n \k
f C,  B = C T AC, a B X AÆ, Q0 A H-W B. _ F n×n !H-?4y| (1) -A￾O A H-W A; (2) ( A￾OD A H-W B, a B H-W A; (3) &A￾OD A H-W B, B H-W C, a A H-W C. ff!H-:#&LH-!ffT:-!r H-!'N zTH( fwM￾ A ( ff B H-W A H-￾a B ( ff3 |vH?w!Z F ( f!H-?4 +>!M2*DdJ9k
9A+K￾J0J9pF0;!+> g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . :Q$￾(W;'!( ff A, Ddk
ff C,  C T AC (Zf # 9.1.1  A !Z F !2u( ff￾a_k
ff C,  C T AC !% (1, 1) [$" Wu 3