中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 、剩余寿命与年龄 设N()为在[0,1)内事件A发生的个数,S表示第n个事件发 生的时刻,S表示在时刻前最后一个事件发生的时刻,S表 示在t时刻后首次事件发生的时刻,令: w(=s, V(t=t-s 称W()为剩余寿命或剩余时间,(t)为年龄。 由定义可知:t≥0,W(t)≥0,0≤V(t)≤t,我们有以下重要定 理 定理:设{N(1.,t≥0是参数为x的 Poission过程,则有 (a)W(1)与{x,n≥1}同分布,即 P{W(1)≤x}=1-e,x≥0 (b)(1)的分布为“截尾”的指数分布,即 0≤x<t P{()≤x}= t≤x 证明:注意到: {W(1)>x}={N(+x)-N(t)=0} 以及 {(m)>x} ∫(N()-N(-x)=0 t≤x 即可得所要的结果。 定理:若{X,n≥}独立同分布,又对vt≥0,(t)与x(n≥1)同 分布,分布函数为F(x),且F(0)=0,则{N(,t≥0}为 Poission中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 三、 剩余寿命与年龄 设 N(t) 为在 [0,t) 内事件 A 发生的个数， S n 表示第 n 个事件发 生的时刻， S N (t) 表示在 t 时刻前最后一个事件发生的时刻， SN (t)+1 表 示在 t 时刻后首次事件发生的时刻，令：    = − = + − ( ) ( ) 1 ( ) ( ) N t N t V t t S W t S t 称 W(t) 为剩余寿命或剩余时间， V(t) 为年龄。 由定义可知： t  0 ,W(t)  0 , 0 V(t)  t ，我们有以下重要定 理。 定理：设 {N(t), t  0} 是参数为  的 Poission 过程，则有： （a） W(t) 与 {X , n 1} n 同分布，即 { ( )  }=1− ,  0 − P W t x e x  x （b） V(t) 的分布为“截尾”的指数分布，即     −    = − t x e x t P V t x x 1, 1 , 0 { ( ) }  证明：注意到： {W(t)  x}={N(t + x) − N(t) = 0} 以及      − − =   = t x N t N t x t x V t x , { ( ) ( ) 0}, { ( ) } 即可得所要的结果。 定理：若 {X , n 1} n 独立同分布，又对 t  0 ,W(t) 与 X (n 1) n 同 分布，分布函数为 F(x) ，且 F(0) = 0 ，则 {N(t), t  0} 为 Poission