中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 一、基本概念 (1)独立增量过程 定义:设{X(t),t∈T}是一随机过程,如果对于任意的 t2-∞,一般假定 X(a)=0,则独立增量过程是一马氏过程。特别地,当X(O)=0时, 独立增量过程{X(),t≥0}是一马氏过程。 形式上我们有 PX(t)≤xn|X()=x2,X(2)=x23…,X(tn)=xn} P{X(n)≤xn,X(1)=x1,X(t2)=x2…,X(tn)=xn P{X(1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn-1)=xn1} P{X(n)≤x,X(1)=x1,X(2)=x2…,X(n2)=xn2Y(n)=xm} P{X(t1)=x1,X(2) X(tm-2)=m-2X(tm-1)=xn-1) 因此,我们只要能证明在已知X(n1)=x条件下,X(t)与 (),=12,…n-2相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当a<t1<tn1<t,j=1,2,…,n-2 时,增量X(t)-X(a)与X(n)-X(tn)相互独立,由于在条件
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 一、 基本概念 （1） 独立增量过程 定义：设 {X(t), t T} 是一随机过程，如果对于任意的 t 1 t 2 t n , n N ， t i T,1 i n ，有随机过程 X (t) 的增量： ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 2 − 1 3 − 2 n − n−1 X t X t X t X t X t X t 相互独立，则称随机过程 {X(t), t T} 是独立增量过程。 注意：若独立增量过程的参数集 T =[a,b), a − ，一般假定 X (a) = 0 ，则独立增量过程是一马氏过程。特别地，当 X (0) = 0 时， 独立增量过程 {X(t), t 0} 是一马氏过程。 形式上我们有： { ( ) , ( ) , , ( ) ( ) } { ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) ( ) } { ( ) , ( ) , , ( ) } { ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) } { ( ) ( ) , ( ) , , ( ) } 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 − − − − − − − − − − − − − − = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x 因此，我们只要能证明在已知 1 1 ( ) n− = n− X t x 条件下， ( ) n X t 与 X(t j ) , j =1,2, ,n − 2 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当 a t j t n−1 t n , j =1,2, ,n − 2 时，增量 X(t ) X(a) j − 与 ( ) ( ) n − n−1 X t X t 相互独立，由于在条件
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 X(tn)=x和X(a)=0下,即有X(t,)与X(n)-x相互独立。由 此可知,在X(n)=x条件下,X()与X(1),=12,…n-2相互 独立,结果成立。 (2)计数过程 定义:在[01)出现随机事件A的总数组成的过程{N(,t≥0}称 为计数过程。计数过程满足 (a)N(t)≥0; (b)N()∈N; (c)ys,t>0,s0,s<t,N(t)-N(s)表示在时间间隔[s,1)内事件A 出现的次数。 若计数过程在不相交的时间间隔内事件A出现的次数是相互 独立的,则称此计数过程为独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔[t,t+s)内出现事件A的次数只与时间 差s有关,而与起始时间t无关,则称此计数过程为平稳增量计 数过程。 (3) Poission过程 Poission过程是计数过程,而且是一类最重要、应用广泛的
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 1 ( ) n− = n− X t x 和 X (a) = 0 下，即有 ( )j X t 与 1 ( )n − n− X t x 相互独立。由 此可知，在 1 1 ( ) n− = n− X t x 条件下， ( ) n X t 与 X(t j ) , j =1,2, ,n − 2 相互 独立，结果成立。 （2） 计数过程 定义：在 [0.t) 出现随机事件 A 的总数组成的过程 {N(t), t 0} 称 为计数过程。计数过程满足： （a） N(t) 0 ； （b） 0 N(t) N ； （c） s, t 0, s t ，则有： N(s) N(t) ； （d） s, t 0, s t ， N(t) − N(s) 表示在时间间隔 [s,t) 内事件 A 出现的次数。 若计数过程在不相交的时间间隔内事件 A 出现的次数是相互 独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔 [t,t + s) 内出现事件 A 的次数只与时间 差 s 有关，而与起始时间 t 无关，则称此计数过程为平稳增量计 数过程。 （3） Poission 过程 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 计数过程,它最早于1837年由法国数学家 Poission引入。 定义:一随机计数过程{N(t),t≥0称为时齐(齐次) Poission 过程,若满足: ) (b)独立增量过程,即任取00,n≥0,P{N(s+1)-N(1)=n}=P{N()=n} (d)对任意t>0,和充分小的△t>0,有: P{N(t+△t)-N(t)=l}=A△t+o(△t) PN(+△)-N()≥2}=0(△) 其中λ>0(称为强度常数)。 定理:若{N(1)1≥0为时齐 Poission过程,则vs,t>0,有: P{N(S+1)-N(s)=k}=P{N(1)=k} () e-,k∈N k 即N(s+t)-N(s)是参数为At的 Poission分布。 证明:由增量平稳性,记: P(1)=P{N()=n}=P(N(s+1)-N(s)=n} (I)n=0情形:因为 N(+h)=0}={N()=0,N(t+h)-N(t)=0},h>0, 我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 计数过程，它最早于 1837 年由法国数学家 Poission 引入。 定义：一随机计数过程 {N(t), t 0} 称为时齐（齐次）Poission 过程，若满足： （a） N(0) = 0 ； （b）独立增量过程，即任取 0 t 1 t 2 t n , n N ， ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 − 1 n − n−1 N t N t N t N t N t 相互独立； （c）增量平稳性，即： s,t 0, n 0, P{N(s + t) − N(t) = n}= P{N(t) = n} （d）对任意 t 0 ，和充分小的 t 0 ，有： + − = + − = = + { ( ) ( ) 2} ( ) { ( ) ( ) 1} ( ) P N t t N t t P N t t N t t t 其中 0 （称为强度常数）。 定理：若 {N(t), t 0} 为时齐 Poission 过程，则 s,t 0 ，有： e k N k t P N s t N s k P N t k t k + − = = = = − , ! ( ) { ( ) ( ) } { ( ) } 即 N(s + t) − N(s) 是参数为 t 的 Poission 分布。 证明：由增量平稳性，记： P (t) P{N(t) n} P{N(s t) N(s) n} n = = = + − = （I） n = 0 情形：因为 {N(t + h) = 0}={N(t) = 0, N(t + h) − N(t) = 0}, h 0 ， 我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P(t+h)=P{N()=0,N(t+h)-N(t)=0}= P{N(1)=0}P{N(t+h)-N(m)=0}=P0(D)P(h) 另一方面 P(h)=P{N(+h)-N()=0}=1-(h+o(h) 代入上式,我们有: (+h)-(t) (h) P0(t) h 令h→>0,我们有: P(0)=P{N0)=0} P0() (I〕n>0情形:因为 {N(t+h)=n}={N(t)=n,N(t+h)-N(t)=0)} U{N(t)=n-1,N(t+h)-N(t)=1} UUN(=n-L,N(t+h)N(D=1) 故有 P(t+h=P(t(l-Ah-O(h))+P-(t(h+o(h)+o(h) 化简并令h→>0得: P(1)=-P(D)+APn1() 两边同乘以e,移项后有: ["p(ol=he dt P(0)=P(N(0)=n}=0 当n=1时,有 eP(O)]=,P(0)=0→P 由归纳法可得:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 { ( ) 0} { ( ) ( ) 0} ( ) ( ) ( ) { ( ) 0, ( ) ( ) 0} 0 0 0 P N t P N t h N t P t P h P t h P N t N t h N t = = + − = = + = = + − = = 另一方面 ( ) { ( ) ( ) 0} 1 ( ( )) P0 h = P N t + h − N t = = − h + h 代入上式，我们有： = − + + − h h P t h P t h P t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 令 h →0 ，我们有： t P t e P P N P t P t − = = = = = − ( ) (0) { (0) 0} 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 （II） n 0 情形：因为： = − + − = = − + − = + = = = + − = = n l N t n l N t h N t l N t n N t h N t N t h n N t n N t h N t 2 { ( ) , ( ) ( ) } { ( ) 1, ( ) ( ) 1} { ( ) } { ( ) , ( ) ( ) 0} 故有： ( ) ( )(1 ( )) ( )( ( )) ( ) P n t + h = P n t − h − h + P n−1 t h + h + h 化简并令 h →0 得： ( ) ( ) ( ) 1 P t P t P t n = − n + n− 两边同乘以 t e ，移项后有： = = = = − (0) { (0) } 0 ( ) ( ) 1 P P N n e P t e P t dt d n n t n t 当 n =1 时，有： t t e P t P P t t e dt d − ( ) = , (0) = 0 ( ) = ( ) 1 1 1 由归纳法可得：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P(t) (t) ∈N 注意:E{N(t)}=At E{N(1)} ,因此λ代表单位时间内 事件A出现的平均次数。 注意: Poission过程的转移率矩阵(Q矩阵)的表示,并用 上面讲过的方法求解 Poission过程的一维分布。 、 Poission过程与指数分布的关系 设{N(t),1≥0是一计数过程,记 S=0,S表示第n个事件发生的时刻(n≥1), Xn=Sn-Sn(≥1)表示第n-1个事件与第n事件发生的时间 间隔 当t≥0,n≥0时,有以下基本的关系式: {N()≥n}={Sn≤t =1 t<Sn1}={Sn≤}-{Sn≤t 因此,我们有关于随机变量S的分布函数: 当t<0时,F(1)=0;当t≥0时,有: (0)=PSs=P(N)2m2=1-PN()<m=1-e-(ny 其概率密度为 fs(t) n(t) ≥0
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 0 , ! ( ) ( ) e n N n t P t t n n = − 注意： t E N t E N t t { ( )} { ( )} = = ，因此 代表单位时间内 事件 A 出现的平均次数。 注意：Poission 过程的转移率矩阵（Q 矩阵）的表示，并用 上面讲过的方法求解 Poission 过程的一维分布。 二、 Poission 过程与指数分布的关系 设 {N(t), t 0} 是一计数过程，记： S0 = 0 ， S n 表示第 n 个事件发生的时刻（ n 1 ）， ( 1) X n = S n − S n−1 n 表示第 n −1 个事件与第 n 事件发生的时间 间隔。 当 t 0, n 0 时，有以下基本的关系式： {N(t) n} {S t} = n { ( ) } { } { } { } 1 1 N t n S t S S t S t = = n n+ = n − n+ 因此，我们有关于随机变量 S n 的分布函数： 当 t 0 时， F (t) = 0 Sn ；当 t 0 时，有： = = = − = − − = − 1 0 ! ( ) ( ) { } { ( ) } 1 { ( ) } 1 n k k t S n k t F t P S t P N t n P N t n e n 其概率密度为： , 0 ( 1)! ( ) ( ) 1 − = − − e t n t f t t n Sn
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 特别地,当n=1时,有: P{X1≤t}=P{S1≤t}=1 t≥0 即X1~Bx()是参数为x的指数分布。 问题:x2,X3…,X是否还是服从指数分布?我们以下将给出 一个重要的定理。 为了更好地理解下面的内容,我们先复习一下求随机变量概 率密度的“微元法”和顺序统计量的分布 (1)求随机变量概率密度的“微元法” 一维情形:若随机变量X的概率密度f(x)在x点连续,则有: f(x)=lim P{x<X≤x+h} Px<XSx+h=f(x)h+o(h) 多维情形:若随机向量(X1,X2…,X)的概率密度 f(x1,x2…,x)在点(x,x2…,x)处连续,则有: (x,x,…,x)=lmP<Xx土h<x经,也 h,h2,“,h→0 hh2…hn 即 {x<X1≤x1+h1 Xn≤xn+hn} f(x1,x2…xnhh2…hn+O(hh2…:hn) (2)顺序统计量的分布 定义:给定(∑P),(X1,X2…,X)为其上的随机向量, VO∈Ω,将X(o),X2(o)…,X(o)按从小到大顺序排列,记为 xa(o)≤xa2(o)s…≤Xm1(o),称X1,X3,…X.为(xX1,X2…xn) 的顺序统计量
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 特别地，当 n =1 时，有： { 1 }= { 1 }=1− , 0 − P X t P S t e t t 即 ~ ( ) X1 Ex 是参数为 的指数分布。 问题： X X X n , , , 2 3 是否还是服从指数分布？我们以下将给出 一个重要的定理。 为了更好地理解下面的内容，我们先复习一下求随机变量概 率密度的“微元法”和顺序统计量的分布。 （1） 求随机变量概率密度的“微元法”: ⚫ 一维情形：若随机变量 X 的概率密度 f (x) 在 x 点连续，则有： { } ( ) ( ) { } ( ) lim 0 P x X x h f x h h h P x X x h f x h + = + + = → ⚫ 多维情形：若随机向量 ( , , , ) X1 X2 X n 的概率密度 ( , , , ) 1 2 n f x x x 在点 ( , , , ) 1 2 n x x x 处连续，则有： n n n n n h h h n h h h P x X x h x X x h f x x x n 1 2 1 1 1 1 , , , 0 1 2 { , , } ( , , , ) lim 1 2 + + = → 即： ( , , , ) ( ) { , , } 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n n n f x x x h h h h h h P x X x h x X x h = + + + = （2） 顺序统计量的分布 定义：给定 (,,P) ， ( , , , ) X1 X2 X n 为其上的随机向量， ，将 ( ), ( ), , ( ) X1 X2 X n 按从小到大顺序排列，记为 ( ) ( ) ( ) X(1) X(2) X(n) ，称 (1) (2) ( ) , , , X X X n 为 ( , , , ) X1 X2 X n 的顺序统计量
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 设X1,X2…,X是独立同分布非负的随机变量,其密度函数为 f(x),记x≤Xa≤…≤x为相应的顺序统计量,则对于 00,使得: 0<x,<x+h<x,<x,+h<x,<.<xn+h<x, <x,+h 有 x1<X(≤x1+h,x2<X(2≤x2+h…,xn<X(n≤xn+h}= ∪{x<X≤x+hx2<X≤x2+h X,≤xn+h 等式右边的各事件互不相容,因此有: limP{x<Xa≤x+h,x2<X2≤x2+h…,xn<Xn)≤xn+h/h lim川!P{x<X≤x1+h,x2<X≤x2+h,…,xn<X≤xn+h}/h 由此可得顺序统计量X1,Xa2…Xn的联合概率密度为: f(x,x (x,),0<x1<x2<…<x 0 其它 特别地,若X1,X2…,X在[01上独立同均匀分布,则其顺序 统计量xa,X2,…X的联合概率密度为 f(x1,x2…,x)={,0<x1<x2<…<xn≤t 其它 若X1,X2…,X独立同分布,且X~Ex(4),则其顺序统计量 Xa2Xa…Xa的联合概率密度为: nld"e (x1+x2++xn 0<x,<X f(x1,x2,…,xn) <x 其它 定理:计数过程{N(t),t≥0是 Poission过程的充分必要条件是
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 设 X X X n , , , 1 2 是独立同分布非负的随机变量，其密度函数为 f (x) ，记 X(1) X(2) X(n) 为 相应的顺 序统计量， 则对于 n x x x 0 1 2 ，取充分小的 h 0 ，使得： 0 x1 x1 + h x2 x2 + h x3 x n−1 + h x n x n + h 有 ( , , ) 1 1 2 2 1 (1) 1 2 (2) 2 ( ) 1 2 1 2 { , , , } { , , , } n n i i i i i n i n n n n x X x h x X x h x X x h x X x h x X x h x X x h = + + + + + + = 等式右边的各事件互不相容，因此有： n i i n i n h n n n n h n P x X x h x X x h x X x h h P x X x h x X x h x X x h h n ! { , , , }/ { , , , }/ 1 1 2 2 0 1 (1) 1 2 (2) 2 ( ) 0 lim 1 2 lim = + + + + + + = → → 由此可得顺序统计量 (1) (2) ( ) , , , X X X n 的联合概率密度为： = = 0 , 其它 ! ( ) , 0 ( , , , ) 1 2 1 2 1 n n i i n n f x x x x f x x x 特别地，若 X X X n , , , 1 2 在 [0,t] 上独立同均匀分布，则其顺序 统计量 (1) (2) ( ) , , , X X X n 的联合概率密度为： = 0 , 其它 , 0 ! ( , , , ) 1 2 1 2 x x x t t n f x x x n n n 若 X X X n , , , 1 2 独立同分布，且 X ~ Ex() k ，则其顺序统计量 (1) (2) ( ) , , , X X X n 的联合概率密度为： = − + + + 0 , 其它 ! , 0 ( , , , ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 n n x x x n n e x x x f x x x n 定理：计数过程 {N(t), t 0} 是 Poission 过程的充分必要条件是
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Xn,n≥1}是独立且参数同为的指数分布 注意:此定理反映了 Poission过程的本质特性,也为 Poission 过程的计算机模拟提供了理论基础。 证明:(只证必要性) (a)先求(S1S2,…,S)的联合概率密度 令00,使得: h 1-1<h1+,2 t∠1×n+<h-2n<t+ 由 h h h t1-<S1≤1+,12-<S2≤t2+,…,tn-<Sn≤tn+ h h t1-=0,Nt I L h Nt2--N41+|=0…,Ntn+ 2 UH 2 其中: H=N t 0. NI t h h NI t ≥2 2 2 我们可得: h P{4-<S≤1+,t2-<S2≤t2 2 =(h)e2)+o(h")=2"eh"+o(h") 因此,(S,S2…,S)的联合概率密度为:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 {X , n 1} n 是独立且参数同为 的指数分布。 注意：此定理反映了 Poission 过程的本质特性，也为 Poission 过程的计算机模拟提供了理论基础。 证明：（只证必要性） （a）先求 ( , , , ) S1 S2 S n 的联合概率密度： 令 n t t t 0 1 2 ，取充分小的 h 0 ，使得： − + − + − + − + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 h t t h t h t h t t h t h t t h t n n n n 由： n n n n n n H h N t h N t h N t h N t h N t h N t h N t h S t h t h S t h t h S t h t = − − = + − + − = − − = + = − − + − + − + 1 2 2 0, , 2 2 1, 2 2 0, 2 2 2 , , 2 2 , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 其中： − − + = − − = + = − 2 2 2 1, , 2 2 0, 2 1 1 1 h N t h N t h N t h N t h H N t n n n 我们可得： ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 2 2 , 2 2 2 1 1 1 2 2 2 n n t n n h t n n n n h e h e h h h S t h t h S t h t h S t h P t n n = + = + = − + − + − + − − + 因此， ( , , , ) S1 S2 S n 的联合概率密度为：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 g(1,t2…,tn)= h h S1≤t1+,t2-<S2≤t2 h tn-<Sn≤t h lim h→0 h" λ"eh"+o(h 2 e 0<1<t2<…<tn 即 a e 0 其它 (b)求(X,X2…,X)的联合概率密度: 由:Xn=Sn-Sn1(n≥1)我们有: x1=t1≥0 t1=x1 令: t2-t1 t2=x1+t2 X=S-S t,=x,+ x2 则变换的雅可比行列式为 (1,t2,…,tn) 于是(X1,X2…,X)的联合概率密度为: f(x1,x2…,xn) x≥0,1≤i≤ 其它 由此可得X的概率密度为f(x)=e,x420,1≤k≤n,即 f(x1,x2,…,x)=∏f(x2) kel 由此证明了{X,n≥l}是独立且参数同为的指数分布
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 n n t n n t n n h n n n n h n e t t t h e h h h h S t h t h S t h t h S t h P t g t t t n n = + = − + − + − + = = − − → → 1 2 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 , 0 ( ) 2 2 , , 2 2 , 2 2 ( , , , ) lim lim 即： = − 0 , 其它 , 0 ( , , , ) 1 2 1 2 n n t n e t t t g t t t n （b）求 ( , , , ) X1 X2 X n 的联合概率密度： 由： ( 1) X n = S n − S n−1 n 我们有： = − = − = −1 2 2 1 1 1 Xn Sn Sn X S S X S 令： = + + + = + = = − = − = n n n− n n t x x x t x t t x x t t x t t x t 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 则变换的雅可比行列式为： 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = = = n n x x x t t t J 于是 ( , , , ) X1 X2 X n 的联合概率密度为： ( ) = − + + + 0 , 其它 , 0 ,1 ( , , , ) 1 2 1 2 e x i n f x x x i n x x x n n 由此可得 Xk 的概率密度为 f x e xk k n x k k k = − ( ) , 0 ,1 ，即 = = n k n k k f x x x f x 1 1 2 ( , ,, ) ( ) 由此证明了 {X , n 1} n 是独立且参数同为 的指数分布
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 、剩余寿命与年龄 设N()为在[0,1)内事件A发生的个数,S表示第n个事件发 生的时刻,S表示在时刻前最后一个事件发生的时刻,S表 示在t时刻后首次事件发生的时刻,令: w(=s, V(t=t-s 称W()为剩余寿命或剩余时间,(t)为年龄。 由定义可知:t≥0,W(t)≥0,0≤V(t)≤t,我们有以下重要定 理 定理:设{N(1.,t≥0是参数为x的 Poission过程,则有 (a)W(1)与{x,n≥1}同分布,即 P{W(1)≤x}=1-e,x≥0 (b)(1)的分布为“截尾”的指数分布,即 0≤xx}={N(+x)-N(t)=0} 以及 {(m)>x} ∫(N()-N(-x)=0 t≤x 即可得所要的结果。 定理:若{X,n≥}独立同分布,又对vt≥0,(t)与x(n≥1)同 分布,分布函数为F(x),且F(0)=0,则{N(,t≥0}为 Poission
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 三、 剩余寿命与年龄 设 N(t) 为在 [0,t) 内事件 A 发生的个数， S n 表示第 n 个事件发 生的时刻， S N (t) 表示在 t 时刻前最后一个事件发生的时刻， SN (t)+1 表 示在 t 时刻后首次事件发生的时刻，令： = − = + − ( ) ( ) 1 ( ) ( ) N t N t V t t S W t S t 称 W(t) 为剩余寿命或剩余时间， V(t) 为年龄。 由定义可知： t 0 ,W(t) 0 , 0 V(t) t ，我们有以下重要定 理。 定理：设 {N(t), t 0} 是参数为 的 Poission 过程，则有： （a） W(t) 与 {X , n 1} n 同分布，即 { ( ) }=1− , 0 − P W t x e x x （b） V(t) 的分布为“截尾”的指数分布，即 − = − t x e x t P V t x x 1, 1 , 0 { ( ) } 证明：注意到： {W(t) x}={N(t + x) − N(t) = 0} 以及 − − = = t x N t N t x t x V t x , { ( ) ( ) 0}, { ( ) } 即可得所要的结果。 定理：若 {X , n 1} n 独立同分布，又对 t 0 ,W(t) 与 X (n 1) n 同 分布，分布函数为 F(x) ，且 F(0) = 0 ，则 {N(t), t 0} 为 Poission