中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第一章随机过程及其分类 随机过程举例 例a:如果正弦波随机过程为 X(t=Acos(ot +0) 其中振幅A取常数,角频率o取常数,而相位θ是一个随机变 量,它均匀分布于(-z,丌)间,即: f(x)=12 丌≤X<丌 0 其它 求在1时刻X(t)的概率密度。 例b:设一由正弦振荡器输出的随机过程: X(t)=Acos(t+6),t∈(-∞,+∞) 其中A、Ω和θ是相互独立的随机变量,并且已知它们的分布密 度函数分别为:g~U(250,350)、θ~U(0,2x)及 2 f(a)= 4 a∈(0,A0 a(0,A) 试求随机过程X()的一维概率密度。 例c:(一维随机游动)设有一质点在x轴上作随机游动,即 在t=0时质点属于x轴的原点,在t=1,2,3,…时质点可以在x轴上
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第一章 随机过程及其分类 5．随机过程举例 例 a：如果正弦波随机过程为 X(t) = Acos(t +) 其中振幅 A 取常数，角频率 取常数，而相位 是一个随机变 量，它均匀分布于 (−, ) 间，即： − = 0, 其它 , 2 1 ( ) x f x 求在 t 时刻 X (t) 的概率密度。 例 b：设一由正弦振荡器输出的随机过程： X(t) = Acos(t +), t (−,+ ) 其中 A、 和 是相互独立的随机变量，并且已知它们的分布密 度函数分别为： ~U(250, 350)、 ~U(0,2) 及 = 0, (0, ) , (0, ) 2 ( ) 0 2 0 0 a A a A A a f A a 试求随机过程 X (t) 的一维概率密度。 例 c：（一维随机游动）设有一质点在 x 轴上作随机游动，即 在 t = 0 时质点属于 x 轴的原点，在 t =1,2,3, 时质点可以在 x 轴上
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 正向或反向移动一个单位距离,作正向和作反向移动的概率分别 为p和q=1-p。经时间n,质点偏离原点的距离为k,问处于k的 概率如何? 例d:设有一脉冲数字通信系统,它传送的信号是脉宽为T 的脉冲信号,每隔T送出一个脉冲。脉冲幅度X()是一随机变 量,它可取四个值{+2,+1,-1.-2},且取这四个值的概率是相等的 即: P{X(1)=+2}=P{X()=+1}=P{X(t)=-1}=P{X()=-2}=14 不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的,脉冲的起始时间相对 于原点的时间差u为均匀分部在(0,7)内的随机变量。试求在两 个时刻t2时,随机过程X()所取值(X(t1),X(2)的二维联合 概率密度。 例e:设有某通信系统,它传送的信号是脉宽为T的脉冲信 号,脉冲信号的周期为T。如果脉冲幅度X()是随机的,幅度 服从正态分布N(0a2),不同周期内的的幅度是相互统计独立的。 脉冲沿的位置也是随机的,脉冲的起始时间相对于原点的时间差 l为均匀分部在(O,)内的随机变量。u和脉冲幅度间也是相互 统计独立的(脉冲幅度调制信号),试求在两个时刻12时,该 随机过程X(t)所取值(Xx(t1),X(t2)的二维联合概率密度
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 正向或反向移动一个单位距离，作正向和作反向移动的概率分别 为 p 和 q =1− p 。经时间 n ，质点偏离原点的距离为 k ，问处于 k 的 概率如何？ 例 d：设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度 X (t) 是一随机变 量，它可取四个值 {+2,+1,−1,− 2} ，且取这四个值的概率是相等的， 即： P{X(t) = +2}= P{X(t) = +1}= P{X(t) = −1}= P{X(t) = −2}=1/ 4 不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对 于原点的时间差 u 为均匀分部在 (0, ) T0 内的随机变量。试求在两 个时刻 1 2 t ,t 时，随机过程 X (t) 所取值 ( ( ), ( )) 1 2 X t X t 的二维联合 概率密度。 例 e：设有某通信系统，它传送的信号是脉宽为 T0 的脉冲信 号，脉冲信号的周期为 T0 。如果脉冲幅度 X (t) 是随机的，幅度 服从正态分布 (0, ) 2 N ，不同周期内的的幅度是相互统计独立的。 脉冲沿的位置也是随机的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差 u 为均匀分部在 (0, ) T0 内的随机变量。 u 和脉冲幅度间也是相互 统计独立的（脉冲幅度调制信号），试求在两个时刻 1 2 t ,t 时，该 随机过程 X (t) 所取值 ( ( ), ( )) 1 2 X t X t 的二维联合概率密度
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 例的:考察一随机过程,它在t+n时刻具有宽度为b的矩形 脉冲波,脉冲幅度A为一等概率取值土a的随机变量,且b0,7>0) k (3)X(t)取何值(即所处的状态)与随机变量是相互统计独 立的 求随机电报信号X()的均值和自相关函数 例a解:固定时刻t,则随机变量X(1)= Acos(ot+)是随机变 量θ的函数。由分布函数的定义: x0(y)=P{X(y)≤y}=P{ Acos(ot+b)≤y 当y<-A时,F0(y)=0 当y≥+A时,F2(y) 当-A≤y<+A时,我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 例 f：考察一随机过程，它在 0 nT0 t + 时刻具有宽度为 b 的矩形 脉冲波，脉冲幅度 A 为一等概率取值 a 的随机变量，且 b T0 ， 0 t 是在 (0, ) T0 上服从均匀分布的随机变量，并且脉冲幅度 A 与 0 t 独 立，试求该过程的相关函数和方差。 例 g：随机电报信号定义如下： （1）在任何时刻 t ， X (t) 取值为 0 或 1，只有两种可能状态。并 设 P{X(t) = 0}=1/ 2 , P{X(t) =1}=1/ 2 （2）每个状态的持续时间是随机的，设在 T 时间内波形变化的 次数 服从 Poission 分布即： ( 0, 0) ! ( ) { = } = − e T k T P k T k （3） X (t) 取何值（即所处的状态）与随机变量 是相互统计独 立的。 求随机电报信号 X (t) 的均值和自相关函数 例 a 解：固定时刻 t ，则随机变量 X(t) = Acos(t +) 是随机变 量 的函数。由分布函数的定义： ( ) { ( ) } { cos( ) } ( ) F y P X y y P A t y X t = = + 当 y −A 时， FX (t) (y) = 0 当 y +A 时， FX (t) (y) =1 当 − A y +A 时，我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Fx0()=PX(y)≤y}= PAcos(at+b)≤y =P({-<≤1- arccos{ arccos2-or<≤x}) d 2 2zot-arccos+I+T-arccos+at ==ot+ -arccos 因此,当-A≤y<+A时,X(t)的概率密度为: 最终得到X(1)的概率密度为 A≤y≤+A fo(y)={z√A2-y 其它 例b解:设Y()= acos(ot+),其中a和o是常数,O~U(0,2丌), 由例a的结果可知Y()的一维分布密度为 asy≤ f0(y)=1√a2-y2 0 其它 比较X(t)与Y(),我们有: Y()=X(1A=a,g=) 由连续型全概率公式,我们有: P{X(0)≤x}=P{X()≤xA,gdF(a,O) 由于A,9相互独立,因此有: dF(a,o=f(a, a)dado=(a)fo(o)dada
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = + − = − + + − + = + = − − − = = + = − − − A y t t A y A y t d x d x t A y A y P t F y P X y y P A t y t A y A y t X t arccos 1 arccos arccos 2 1 2 1 ({ arccos } {arccos }) ( ) { ( ) } { cos( ) } arccos arccos ( ) 因此，当− A y +A 时， X (t) 的概率密度为： 2 2 / ( ) ( ) 1 ( ) ( ) A y f y F y X t X t − = = 最终得到 X (t) 的概率密度为： − + = − 0, 其 它 , 1 ( ) 2 2 ( ) A y A f X t y A y 例 b 解：设 Y(t) = acos(t +) ,其中 a 和 是常数， ~U(0,2) ， 由例 a 的结果可知 Y(t) 的一维分布密度为： − + = − 0, 其 它 , 1 ( ) 2 2 ( ) a y a f Y t y a y 比较 X (t) 与 Y(t) ，我们有： Y(t) = X(t A = a, =) 由连续型全概率公式，我们有： P{X(t) x}= P{X(t) x A, }dF(a,) 由于 A, 相互独立，因此有： dF(a,) = f (a,)dad = f A (a) f ()dad
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 故有X()的一维概率密度为 f∫(a)f(O)de d e Ao 2 x|≤A 注意:掌握以下几个重要公式的用法: (全概率公式):P(A)=∑P(B)P(4B,)(离散型) P(4)=P(4Y=)f()(连续型) P(X≤x)=P(X≤x|Y=y)f(y)dy(连续型) (条件数学期望):E(X)=E{E(X1)}=E(x|Y=yf(y) 例c解:设质点第i次移动时的距离为5,则是离散的随机 变量,它可取+1,也可取一1。且P{5=+l}=p P{1=-1}=1-P=q 设:质点在t=n时,偏离原点的距离为X,则X也是一随机 变量,且有: Xn=∑5,X=0 由题意,5与质点所处位置无关,且与(i≠k)独立。 当t=n时,质点可取的值为
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 故有 X (t) 的一维概率密度为： − = − = = − = 0 0 2 2 2 0 0 350 250 2 0 2 2 2 2 ( ) 0, , 2 100 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 x A A x x A A d A a a x d a f a f dad a x f x A x X t A 注意：掌握以下几个重要公式的用法： （全概率公式）： = = n i P A P B P ABi 1 1 ( ) ( ) ( ) （离散型） + − P A = P A Y = y f y dy Y ( ) ( ) ( ) （连续型） + − P X x = P X x Y = y f y dy Y ( ) ( ) ( ) （连续型） （条件数学期望）： + − E X = E E X Y = E X Y = y f y dy Y ( ) { ( )} ( ) ( ) 例 c 解：设质点第 i 次移动时的距离为 i ，则 i 是离散的随机 变 量 ， 它 可 取 ＋ 1 ， 也 可 取 － 1 。 且 P{ 1} p, i = + = P{ i = −1} =1− p = q 设：质点在 t = n 时，偏离原点的距离为 X n ，则 X n 也是一随机 变量，且有： 0 0 1 = = = X X n i n i 由题意， i 与质点所处位置无关，且 i 与 k （ i k ）独立。 当 t = n 时，质点可取的值为: n,n − 2,n − 4, ,− (n − 4),− (n − 2),− n
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 如果在n次游动中有m次质点右向移动一个单位,即有m次 5=+发生,则有n-m次质点左向移动一个单位,即有n-m次 =-1发生,此时有: X=∑5=m×(+1)+(m-m)×(-1)=2m-n=k 由此得到m n+k 因此,由题意,我们有: P(X=k)=Cmpq=C,2 p2 q2=n+kn-k-p 9 sv n+k n+k n-k 此式中m是一正整数,则如果n为奇数时,k也是奇数(k<n); 如果n为偶数时,k也是偶数(k<n)。 例d解:典型样本函数如下图: X(t) 在时间轴上任意固定两个时刻t,2,我们令: 事件C:t1t2间有不同周期的脉冲存在,即t,2处在不同的脉冲周 期内
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 如果在 n 次游动中有 m 次质点右向移动一个单位，即有 m 次 i = +1 发生，则有 n − m 次质点左向移动一个单位，即有 n − m 次 i = −1 发生，此时有： X m n m m n k n i n = i = + + − − = − = = ( 1) ( ) ( 1) 2 1 由此得到 2 n k m + = 。 因此，由题意，我们有： 2 2 2 2 2 )! 2 )!( 2 ( ! { } n k n k n k n k n k n m m n m n n p q n k n k n P X k C p q C p q + + − + − − + − = = = = 此式中 m 是一正整数，则如果 n 为奇数时， k 也是奇数 (k n) ； 如果 n 为偶数时， k 也是偶数 (k n)。 例 d 解：典型样本函数如下图： 在时间轴上任意固定两个时刻 1 2 t ,t ，我们令： 事件 C ： 1 2 t ,t 间有不同周期的脉冲存在，即 1 2 t ,t 处在不同的脉冲周 期内； t Xk (t)
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 事件C:t,t1间没有不同周期的脉冲存在,即1,1处在相同的脉 冲周期内; (1)当t1-tl|>7时,有PC}=1和PC}=0 (2)当1-tl≤r时,1,可能处在同一脉冲内,也可能不处 在同一脉冲内。假设为t所在的脉冲的起始时刻,由 于脉冲的起始时刻相对于原点t=0的时间差u是(0,) 内的均匀分布,而且该信号是等宽的脉冲信号,因此可 以看作均匀分布于(t1-T,1)的随机变量。 如果 P{C}=P{t2t2-T}=1-P{012,则 PC}=P2>)=n∫d0 因此有: P(Co=I_', PCi T 由全概率公式: fsu, (x x,)=Sx,xa c(x, x,C)P(C)+x,x,jc.(x, x c)Pic) 根据不同周期内脉冲幅度是相互独立的随机变量,我们有: fo(x,xC)=∑元 k=2.-1.24 如果t,2处在同一周期内,则X=X,此时有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 事件 c C ： 1 2 t ,t 间没有不同周期的脉冲存在，即 1 2 t ,t 处在相同的脉 冲周期内； （1） 当 1 2 T0 t − t 时，有 P{C}=1 和 { }= 0 c P C （2） 当 1 2 T0 t − t 时， 1 2 t ,t 可能处在同一脉冲内，也可能不处 在同一脉冲内。假设 为 1 t 所在的脉冲的起始时刻，由 于脉冲的起始时刻相对于原点 t = 0 的时间差 u 是 (0, ) T0 内的均匀分布，而且该信号是等宽的脉冲信号，因此 可 以看作均匀分布于 ( , ) 1 0 1 t − T t 的随机变量。 如果 1 2 t t ，则 0 2 1 0 2 0 2 0 2 1 1 1 { } { } { } 1 { } 2 0 1 0 T t t d T P C P t T P t T P t T t T t T c − = − = − = + = − = − − − − 如果 1 2 t t ，则 0 1 2 0 2 1 1 { } { } 2 1 0 T t t d T P C P t t t T c − = = = − − 因此有： 0 1 2 0 1 2 { } 1 { } T t t P C T t t P C c − = − = − 由全概率公式： ( , ) ( , ) { } ( , ) { } 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c c X X X X C X X C f x x f x x C P C f c x x C P C t t t t t t = + 根据不同周期内脉冲幅度是相互独立的随机变量，我们有： − = − =− − =−2,−1,1,2 2 2, 1,1,2 1 2 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 ( , ) 1 2 i k X X C f x x C x i x k t t 如果 1 2 t ,t 处在同一周期内，则 1 2 Xt = Xt ，此时有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 rrc 6(x1-i)6(x2-1) 2,-124 由此最终得到(X(1)X(2)的二维联合概率密度如下: 当1-1|≤7: fn(x1,x2)=∑o(x-0x∑70(x2-k) ∑6(x1 i)o(x2-1) =-2,-1,1,24 T 当(1-t2|>T: fxn(x,x)=∑7o6(x1-0) k=-2,-1,1,2 f() tI-To 例e解:在时间轴上任意固定两个时刻1,t2,讨论同例d 特别注意此时的状态空间! (a)当1-t2>T时,t112位于不同的周期内,此时我们有: fy(xu x2)2to exp 2 (b)当1-tl≤r时,11位于两个不同的周期内的概率为:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = − − =−2,−1,1,2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 1 ( , ) 1 2 i c X X C f x x C x i x i c t t 由此最终得到 ( ( ), ( )) 1 2 X t X t 的二维联合概率密度如下： 当 1 2 T0 t − t ： − − + − − − − = − =− − =− − =− − 0 1 2 2, 1,1,2 1 2 0 1 2 2, 1,1,2 2 2, 1,1,2 1 2 1 ( ) ( ) 1 4 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 ( , ) 1 2 T t t x i x i T t t f x x x i x k i i k Xt X t 当 1 2 T0 t − t ： − = − =− − =−2,−1,1,2 2 2, 1,1,2 1 2 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 ( , ) 1 2 i k X X f x x x i x k t t 例 e 解：在时间轴上任意固定两个时刻 1 2 t ,t ，讨论同例 d。 特别注意此时的状态空间！ （a） 当 1 2 T0 t − t 时， 1 2 t ,t 位于不同的周期内，此时我们有： + = − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 exp 2 1 ( , ) 1 2 x x f x x Xt X t （b） 当 1 2 T0 t − t 时， 1 2 t ,t 位于两个不同的周期内的概率为： 0 t1-T0 t1 f()
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 PICH ,2位于相同的周期内的概率为: P{C}=1 根据全概率公式,我们有: f(xx)=27 T 6(x1-x2)1 t1-t2 explo 因为当t11处在同一脉冲周期时,X(1)X(2)取相同的值,所 以上式的第二项出现了o(x1-x2)函数。 此例中看出,X()X(2)的二维联合概率密度不再是二维正态 分布,虽然X(1)和X(2)都是正态分布。 例f解:由给定的随机过程,我们有: E{X()}=a×-a×=0 2 下面求相关函数: 任意取1,且t时,t,2位于不同的周期内, 此时有: E{X(t1)X(2)}=E{X(t1)E{X(2)=0 当1-l2|≤T,且1,1位于两个不同的周期内时,我们有: E{X(1)X(t2)}=E{X(1)}E{X(t2)}=0 当1-l≤7,且乙,2位于同一的周期内时,假设为所在的脉
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 0 1 2 { } T t t P C − = 1 2 t ,t 位于相同的周期内的概率为： 0 1 2 { } 1 T t t P C c − = − 根据全概率公式，我们有： − − − + − − + = − 0 1 2 2 1 2 2 1 0 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 1 2 exp 2 1 2 exp 2 1 ( , ) 1 2 T t t x x x T x x t t f x x Xt X t 因为当 1 2 t ,t 处在同一脉冲周期时， ( ), ( ) 1 2 X t X t 取相同的值，所 以上式的第二项出现了 ( ) 1 2 x − x 函数。 此例中看出， ( ), ( ) 1 2 X t X t 的二维联合概率密度不再是二维正态 分布，虽然 ( )1 X t 和 ( )2 X t 都是正态分布。 例 f 解：由给定的随机过程，我们有： 0 2 1 2 1 E{X(t)}= a − a = 下面求相关函数： 任意取 1 2 t , t ，且 1 2 t t ，当 1 2 T0 t − t 时， 1 2 t ,t 位于不同的周期内， 此时有： E{X (t 1 )X (t 2 )} = E{X (t 1 )}E{X (t 2 )} = 0 当 1 2 T0 t − t ，且 1 2 t ,t 位于两个不同的周期内时，我们有： E{X (t 1 )X (t 2 )} = E{X (t 1 )}E{X (t 2 )} = 0 当 1 2 T0 t − t ，且 1 2 t ,t 位于同一的周期内时，假设 为 1 t 所在的脉
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 冲的起始时刻,只有当t21是,我们有: E{X(t1)X(t2)}=a2 因此,最终得到: 2(b R(t) D2(1)=R1(0)=qb 例g解 1)均值函数:EX()=1×1+0×1=1,即均值函数是常 数 (2)相关函数:在时间轴上任意固定两个时刻t1,t2,如果 t2>t1,则 Rx(t2t2)=E{X(t1)X(t2)}=1×1P{X(1)=1,X(t2)=1l}+ +0×1P{X(t1)=0,X(t2)=1}+1×0P{X(1)=1,X(t2)=0} 0×0P{X(t1)=0,X(t2)=0} 下面求P{X(t)=1,X(t2)=l}。由于事件:{X(t)=1,X(t2)=1}等价
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 冲的起始时刻，只有当 t 2 + b 时， ( )1 X t 和 ( )2 X t 取到不为零的 值，此时的概率为： 0 2 1 0 2 2 1 ( ) { } 1 { } 1 2 1 0 T b t t d T P t b P t b t b t T − − + = − − = − = − − 由此，我们有： 0 2 2 1 1 2 ( ) { ( ) ( )} T b t t E X t X t a − − = 同理，当 1 2 t t 是，我们有： 0 2 1 2 1 2 ( ) { ( ) ( )} T b t t E X t X t a − − = 因此，最终得到： 2 1 0 2 , ( ) ( ) t t T a b RX = − − = 0 2 ( ) (0) T a b DX t = RX = 例 g 解： （1） 均值函数： 2 1 2 1 0 2 1 E{X(t)} =1 + = ，即均值函数是常 数。 （2） 相关函数：在时间轴上任意固定两个时刻 1 2 t ,t ，如果 2 1 t t ，则 0 0 { ( ) 0, ( ) 0} 0 1 { ( ) 0, ( ) 1} 1 0 { ( ) 1, ( ) 0} ( , ) { ( ) ( )} 1 1 { ( ) 1, ( ) 1} 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + = = + = = + = = = = = = + P X t X t P X t X t P X t X t R t t E X t X t P X t X t X X 下面求 { ( ) 1, ( ) 1} P X t 1 = X t 2 = 。由于事件： { ( ) 1, ( ) 1} X t 1 = X t 2 = 等价