《电路》课程电子教案：第二章 电阻电路的等效变换

第二章电阻电路的等效变换 、教学基本要求 两个电路互为等效是指(1)两个结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流 关系,因而可以互相代换;(2)代换的效果是不改变外电路(或电路中未被代换的部分) 中的电压、电流和功率 电路的等效变换的条件是互相代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是 外电路(或电路中未被代换的部分)中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路。 深刻地理解“等效变换”的思想,熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是很 重要的。 本章学习的内容有:电路的等效变换概念,电阻的串联和并联,电阻的Y形连接和A 形连接的等效变换,电压源、电流源的串联和并联,实际电源的两种模型及其等效变换, 输入电阻的概念及计算。 内容重点: 电路等效的概念;电阻的串、并联;实际电源的两种模型及其等效变换,输入电阻的 概念及计算是本章学习的重点 本章内容以第一章阐述的元件特性、基尔霍夫定律为基础,等效变换的思想和几种等 效变换对所有线性电路都具有普遍意义,在后面章节中都要用到。 难点: 1.等效变换的条件和等效变换的目的 2.含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解 、学时安排 总学时:6 教学内容 学时 1.电路的等效变换概念电阻的串联和并联 2.电阻的Y形连接和Δ形连接的等效变换电压源、电流源的串联和并联 222 3.实际电源的两种模型及其等效变换输入电阻的概念及计算

2-1 1 第二章 电阻电路的等效变换 一、教学基本要求 两个电路互为等效是指（1）两个结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流 关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分） 中的电压、电流和功率。 电路的等效变换的条件是互相代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是 外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路。 深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握 “等效变换”的方法在电路分析中是很 重要的。 本章学习的内容有：电路的等效变换概念，电阻的串联和并联，电阻的 Y 形连接和 形连接的等效变换，电压源、电流源的串联和并联，实际电源的两种模型及其等效变换， 输入电阻的概念及计算。 内容重点： 电路等效的概念； 电阻的串、并联；实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻的 概念及计算是本章学习的重点。 本章内容以第一章阐述的元件特性、基尔霍夫定律为基础，等效变换的思想和几种等 效变换对所有线性电路都具有普遍意义，在后面章节中都要用到。 难点： 1. 等效变换的条件和等效变换的目的； 2. 含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解。 二、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．电路的等效变换概念 电阻的串联和并联 2 2．电阻的 Y 形连接和形连接的等效变换 电压源、电流源的串联和并联 2 3．实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻的概念及计算 2

§2-1引言 1.电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路(或简称电阻电路)。 分析方法 (1)欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据; (2)对简单电阻电路常采用等效变换的方法,也称化简的方法 本章着重介绍等效变换的概念。等效变换的概念在电路理论中广泛应用。所谓等效变 换,是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后,不影响原电路中未作变 换的任何一条支路中的电压和电流。在学习中首先弄清等效变换的概念是什么?这个概念 是根据什么引出的?然后再研究各种具体情况下的等效变换方法

2-2 2 §2－1 引言 1．电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路（或简称电阻电路）。 2．分析方法 （1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； （2）对简单电阻电路常采用等效变换的方法,也称化简的方法。 本章着重介绍等效变换的概念。等效变换的概念在电路理论中广泛应用。所谓等效变 换，是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响原电路中未作变 换的任何一条支路中的电压和电流。在学习中首先弄清等效变换的概念是什么？这个概念 是根据什么引出的？然后再研究各种具体情况下的等效变换方法

§2-2电路的等效变换 1.两端电路(网络) 任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮,且从一个端子流入的电流等于从另一端子 流出的电流,则称这一电路为二端电路(或一端口电路)。若两端电路仅由无源元件构成,称 无源两端电路。 无 源 两端电路 无源两端电路 2.两端电路等效的概念 结构和参数完全不相同的两个两端电路B与C,当它们的端口具有相同的电压、电流 关系(VCR,则称B与C是等效的电路。 B sx c 相等效的两部分电路B与C在电路中可以相互代换,代换前的电路和代换后的电路对 任意外电路A中的电流、电压和功率而言是等效的,即满足 B=CHA 需要明确的是: 上述等效是用以求解A部分电路中的电流、电压和功率,若要求图(a)中B部分电 路的电流、电压和功率不能用图(b)等效电路来求,因为,B电路和C电路对A电路来 说是等效的,但B电路和C电路本身是不相同的。 结论:(1)电路等效变换的条件:两电路具有相同的VCR (2)电路等效变换的对象:未变化的外电路A中的电压、电流和功率; (3)电路等效变换的目的:化简电路,方便计算

2-3 3 §2－2 电路的等效变换 1. 两端电路（网络） 任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子 流出的电流，则称这一电路为二端电路(或一端口电路)。若两端电路仅由无源元件构成，称 无源两端电路。 两端电路 无源两端电路 2. 两端电路等效的概念 结构和参数完全不相同的两个两端电路 B 与 C，当它们的端口具有相同的电压、电流 关系(VCR),则称 B 与 C 是等效的电路。 相等效的两部分电路 B 与 C 在电路中可以相互代换，代换前的电路和代换后的电路对 任意外电路 A 中的电流、电压和功率而言是等效的，即满足： （a） （b） 需要明确的是： 上述等效是用以求解 A 部分电路中的电流、电压和功率，若要求图（a）中 B 部分电 路的电流、电压和功率不能用图（b）等效电路来求，因为，B 电路和 C 电路对 A 电路来 说是等效的，但 B 电路和 C 电路本身是不相同的。 结论：（1）电路等效变换的条件： 两电路具有相同的 VCR； （2）电路等效变换的对象： 未变化的外电路 A 中的电压、电流和功率； （3）电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算

§2一3电阻的串联、并联和串并联 1.电阻串联( Series Connection of Resistors) (1)电路特点 R lk 电阻串联 图示为n个电阻的串联,设电压、电流参考方向关联,由基尔霍夫定律得电路特点: (a)各电阻顺序连接,根据KCL知,各电阻中流过的电流相同; (b)根据KVL,电路的总电压等于各串联电阻的电压之和,即 n=M,十十,+…+ (2)等效电阻 R1 R R 把欧姆定律代入电压表示式中得 =R+…+Rxi+…+R=(R1+…+R)=R 以上式子说明图(a)多个电阻的串联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR,是互 为等效的电路。 其中等效电阻为: R2=R+…+R2+…+R=∑R>R 结论: 1)电阻串联,其等效电阻等于各分电阻之和 2)等效电阻大于任意一个串联的分电阻 (3)串联电阻的分压 若已知串联电阻两端的总电压,求各分电阻上的电压称分压。由图(a)和图(b)知: Ri=R2 R Ra Re 满足:羁温:…::…翼=R:R2…R:…:R 结论: l,R

2-4 4 §2－3 电阻的串联、并联和串并联 1. 电阻串联( Series Connection of Resistors ) (1)电路特点 电阻串联 图示为 n 个电阻的串联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点： (a) 各电阻顺序连接，根据 KCL 知，各电阻中流过的电流相同； (b) 根据 KVL，电路的总电压等于各串联电阻的电压之和，即： (2)等效电阻 把欧姆定律代入电压表示式中得： 以上式子说明图(a)多个电阻的串联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的 VCR，是互 为等效的电路。 其中等效电阻为： 结论： 1)电阻串联，其等效电阻等于各分电阻之和； 2)等效电阻大于任意一个串联的分电阻。 (3)串联电阻的分压 若已知串联电阻两端的总电压，求各分电阻上的电压称分压。由图（a）和图（b）知： 满足： 结论：

电阻串联,各分电阻上的电压与电阻值成正比,电阻值大者分得的电压大。因此串连 电阻电路可作分压电路。 例2-1求图示两个串联电阻上的电压。 解:由串联电阻的分压公式得: r R H, R+R R1+R2 (注意U2的方向) (4)功率 各电阻的功率为:R=Ri,P2=R…B=R…P=R 所以:B:P:…B∷…P=R:R∷…R∷R 总功率 =R2=(R+R+…+R3+…+R)2 RP2+R12+…+R2+…+R=P+P2+…+P 从上各式得到结论 1)电阻串连时,各电阻消耗的功率与电阻大小成正比,即电阻值大者消耗的功率大 2)等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和 2.电阻并联( Parallel Connection) (1)电路特点 图示为n个电阻的并联,设电压、电流参考方向关联,由基尔霍夫定律得电路特点: (a)各电阻两端分别接在一起,根据KVL知, 各电阻两端为同一电压 (b)根据KCL,电路的总电流等于流过各并联 〃RRRR电阻的电流之和,即 =1+L2+…+L (2)等效电阻 11i IR. R,)u 把欧姆定律代入电流表示式中得: 1+i2+…+i R R, R HG+G2+…+G)=G2n G=1/R为电导 以上式子说明图a)多个电阻的并联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR,是互 -5

2-5 5 电阻串联，各分电阻上的电压与电阻值成正比，电阻值大者分得的电压大。因此串连 电阻电路可作分压电路。 例 2－1 求图示两个串联电阻上的电压。 解： 由串联电阻的分压公式得： （注意 U2 的方向） （４）功率 各电阻的功率为： 所以： 总功率： 从上各式得到结论： 1）电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比，即电阻值大者消耗的功率大； 2）等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和。 2. 电阻并联 (Parallel Connection) (1) 电路特点 图示为 n 个电阻的并联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点： (a) 各电阻两端分别接在一起，根据 KVL 知， 各电阻两端为同一电压； (b) 根据 KCL，电路的总电流等于流过各并联 电阻的电流之和，即： (2) 等效电阻 把欧姆定律代入电流表示式中得： G =1/R 为电导 以上式子说明图(a)多个电阻的并联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的 VCR，是互

为等效的电路。 其中等效电导为:G=G+G2+…+G=∑G>G 因此有 RRR 即R2<R 最常用的两个电阻并联时求等效电阻的公式:Rn=B1B=8 结论 1)电阻并联,其等效电导等于各电导之和且大于分电导 2)等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和,等效电阻小于任意一个并联的分电阻 3)并联电阻的电流分配 若已知并联电阻电路的总电流,求各分电阻上的电流称分流。由图(a)和图(b)知: /R、G 即: 满足:1::…::…=G:G2∷:G2 对于两电阻并联,有 1/R1;R2 /R+1R2R1+R2 R R2 12 -1/R,-Ri 1/R1+1R2R1+R2 结论:电阻并联,各分电阻上的电流与电阻值成反比,电阻值大者分得的电流小。因 此并连电阻电路可作分流电路 (4)功率 各电阻的功率为:F=G1,P2=G24,…,B=G2n,…,P=G 所以 R:P:…R:…P=G:G2∷:G∷…:G 总功率 G2=(G1+G2 G Gn2+G2a2+…+G +Gx2=F+P2+…+P 从上各式得到结论: 1)电阻并连时,各电阻消耗的功率与电阻大小成反比,即电阻值大者消耗的功率小; 2)等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和。 3.电阻的串并联 电路中有电阻的串联,又有电阻的并联的电路称电阻的串并联电路。电阻相串联的部 2-6

2-6 6 为等效的电路。 其中等效电导为： 因此有： 最常用的两个电阻并联时求等效电阻的公式： 结论： 1）电阻并联，其等效电导等于各电导之和且大于分电导； 2）等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻。 3）并联电阻的电流分配 若已知并联电阻电路的总电流，求各分电阻上的电流称分流。由图(a)和图(b)知： 即： 满足： 对于两电阻并联，有： 结论：电阻并联，各分电阻上的电流与电阻值成反比，电阻值大者分得的电流小。因 此并连电阻电路可作分流电路。 （4） 功率 各电阻的功率为： 所以： 总功率： 从上各式得到结论： 1）电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比，即电阻值大者消耗的功率小； 2）等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和。 3. 电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联的电路称电阻的串并联电路。电阻相串联的部

分具有电阻串联电路的特点,电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。 例2-2求图示电路的I1,l4,U4 iR i R 12vO2Ru12Rn22R2R山 解:①用分流方法做 1=-5=-12=- R 2R U=-Lx2R=3 V 1-1 ②用分压方法做 U4 1 14 从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤: (1)求出等效电阻或等效电导; (2)应用欧姆定律求出总电压或总电流 (3)应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。 因此,分析串并联电路的关键问题是判别电路的串、并联关系。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述4点: (1)看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联就是串联,是首首尾尾相联就是并联。 (2)看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流,那就是串联;若两电组上 承受的是同一个电压,那就是并联。 (3)对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边,上面的支路可以翻到下面,弯 曲的支路可以拉直等;对电路中的短线路可以任意压缩与伸长;对多点接地可以用短路线 相连。一般,如果真正是电阻串联电路的问题,都可以判别出来。 (4)找出等电位点。对于具有对称特点的电路,若能判断某两点是等电位点,则根据 电路等效的概念,一是可以用短接线把等电位点联起来;二是把联接等电位点的支路断开 (因支路中无电流),从而得到电阻的串并联关系。 §2-4电阻的星形联接与三角形联接的等效变换(△_Y变换) 电阻的△,Y连接 2-7

2-7 7 分具有电阻串联电路的特点，电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。 例 2－2 求图示电路的 I1 ,I4 ,U4 解：① 用分流方法做 ②用分压方法做 从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤： （1） 求出等效电阻或等效电导； （2）应用欧姆定律求出总电压或总电流； （3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。 因此，分析串并联电路的关键问题是判别电路的串、并联关系。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述 4 点： （1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联就是并联。 （2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若两电组上 承受的是同一个电压，那就是并联。 （3）对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯 曲的支路可以拉直等；对电路中的短线路可以任意压缩与伸长；对多点接地可以用短路线 相连。一般，如果真正是电阻串联电路的问题，都可以判别出来。 （4）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则根据 电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接等电位点的支路断开 （因支路中无电流），从而得到电阻的串并联关系。 §2－4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (△—Y 变换) 1. 电阻的△ ，Y 连接

C R R2 R b R R 如图所示的桥形结构电路,电路中各个电阻之间既不是串联又不是并联,而是△_Y 连接结构,其中Rn、R3和Rs,R2、R4和Rs都构成如图(a)所示的△结构(也称π形电路) 而R、R2和R5,R3、R4和Rs都构成如图(b所示的Y结构也称T形电路)。 R R R R3 R (a)△形网络 (b)Y形网络 △,Y结构的变形: π形电路(△型) T形电路(Y、星型) 图示表明:三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成△(x)形电路。三个电阻一端共同 连接于一个结点上,而电阻的另一端接到3个不同的端钮上,就构成了Y(T)形电路。因此, Δ、Y电路为三端电路,这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时,能够相互等效变换。 2.△—Y电路的等效变换 所谓△电路等效变换为Y电路,就是已知△电路中的三个电阻Rn、R2和R3,通过 变换公式求出Y电路的三个电阻R1、R2和R3 + R R R R3 12Y 根据电路的等效条件,为使图(a)和图(b)两电路等效,必须满足如下端口条件 2-8

2-8 8 如图所示的桥形结构电路，电路中各个电阻之间既不是串联又不是并联，而是△—Y 连接结构，其中 R1、R3 和 R5，R2、R4 和 R5 都构成如图(a)所示的△结构(也称 π 形电路)， 而 R1、R2 和 R5 ，R3、R4 和 R5 都构成如图(b)所示的 Y 结构(也称 T 形电路)。 （a）△形网络 （b）Y 形网络 △ ，Y 结构的变形： π 形电路 (△ 型) T 形电路 (Y、星 型) 图示表明：三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成△(π)形电路 。三个电阻一端共同 连接于一个结点上，而电阻的另一端接到 3 个不同的端钮上，就构成了 Y(T)形电路。因此， △、Y 电路为三端电路，这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效变换。 2. △—Y 电路的等效变换 所谓△电路等效变换为 Y 电路，就是已知△电路中的三个电阻 R12、R23和 R31，通过 变换公式求出 Y 电路的三个电阻 R1、 R2 和 R3 （a） （b） 根据电路的等效条件，为使图（a）和图（b）两电路等效，必须满足如下端口条件：

IIA=l u12A=12y H23A=R23y H31A=R31y 如Δ电路中用电压表示电流,Y电路中用电流表示电压,根据KCL和KVL得如下关 系式 Rr r hx=rtr -r,iy (1) M3y=Riy - Rii3y R3 R, y=-尾n(2) 3123A 0 R31R2 由式(2)解得: u1xxR3-HaurR, rR+rRf+rR =nBB。 h3yR2-H2ayR xy RR+r,,+rr 根据等效条件,比较式(3与式(1)的系数,得Y→△电路的变换条件: R12=R+配2+ RR GL +G,+G2 R2=R,+r+RR, G-- G Ga R1 G1+G+G3 R1=R+R+6 GgR R G1+G2+G3 类似可得到由△→Y电路的变换条件 hirAi G1=G12+G+ R R12+R2+B31 R23B2 R12+R23+R31 G3=Gn+G2+ R1R23 R12+R23+R3 简记方法:

2-9 9 如△电路中用电压表示电流，Y 电路中用电流表示电压，根据 KCL 和 KVL 得如下关 系式： （1） （2） 由式(2)解得： （3） 根据等效条件，比较式(3)与式(1)的系数，得 Y→△电路的变换条件： 或 类似可得到由△→Y 电路的变换条件： 或 简记方法：

R=△相邻电阻乘积G=7相邻电导乘积 ∑RA ∑Gr 特例:若三个电阻相等(对称),则有:R△=3RY RiR, R R23 需要注意的是 (1)△—Y电路的等效变换属于多端子电路的等效,在应用中,除了正确使用电阻变 换公式计算各电阻值外,还必须正确连接各对应端子 (2)等效是对外部(端钮以外)电路有效,对内不成立。 (3)等效电路与外部电路无关 (4)等效变换用于简化电路,因此注意不要把本是串并联的问题看作Δ、Y结构进行 等效变换,那样会使问题的计算更复杂。 例2-3求图示桥T电路中电压源中的电流,其中E=13V,R=2k2。 解:利用电阻电路的D一Y变换,把图中虚线框内的△联接的 IkQIkQ 个1kΩ电阻变换成Y联接,如图(a)所示,求得等效电阻为: 1/3k013k2 IkQ R 1/3kQ R lkR 所以 l311=1m4 本题也可以把图(b)中虚线框内Y联接的三个1kΩ电阻变换成Δ联接,如图(c所示。 lkQ IkQ AKQ 3kn E R R 3kQ 3kQ2 §2-5电压源、电流源的串联和并联 电压源、电流源的串联和并联问题的分析是以电压源和电流源的定义及外特性为基础

2-10 10 特例：若三个电阻相等(对称)，则有：R△=3RY 需要注意的是： （1）△—Y 电路的等效变换属于多端子电路的等效，在应用中，除了正确使用电阻变 换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。 （2）等效是对外部(端钮以外)电路有效，对内不成立。 （3）等效电路与外部电路无关。 （4）等效变换用于简化电路，因此注意不要把本是串并联的问题看作△、Y 结构进行 等效变换，那样会使问题的计算更复杂。 例 2－3: 求图示桥 T 电路中电压源中的电流，其中 E＝13V，R＝2kΩ。 解：利用电阻电路的 D－Y 变换，把图中虚线框内的∆联接的三 个 1kΩ 电阻变换成 Y 联接，如图(a)所示，求得等效电阻为： 所以 本题也可以把图(b)中虚线框内 Y 联接的三个 1kΩ 电阻变换成∆ 联接，如图(c)所示。 （b） （c） §2－5 电压源、电流源的串联和并联 电压源、电流源的串联和并联问题的分析是以电压源和电流源的定义及外特性为基础