中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 九、更新过程 (1)概念及基本性质 定义:设{X,k≥1是独立同分布,取值非负的随机变量,分 布函数为F(x),且F(0)<1。令S=0,S1=X1,S=∑X,对v≥0, 记 N()=Sup{n:Sn≤l} 则称{N(1),t≥0}为更新过程。 更新过程是一计数过程,并有 {N()≥m={Sn≤t} N()=n}={Sn≤t<Sn1}={Sn≤1}-{Sn1≤} 记:F(s)为S的分布函数,由Sn=∑X,易知: F(x)=F(x) F (x)=F1(x-)dF(x)(n≥2) 证明:由全概率公式有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 九、更新过程 （1） 概念及基本性质 定义：设 {X , k 1} k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分 布函数为 F(x) ，且 F(0) 1 。令 = = = = n k S S X S n Xk 1 0 1 1 0, , ，对 t 0 ， 记： N(t) sup{n : S t} = n 则称 {N(t), t 0} 为更新过程。 更新过程是一计数过程，并有： {N(t) n} {S t} = n { ( ) } { } { } { } 1 1 N t n S t S S t S t = = n n+ = n − n+ 记： F (s) n 为 S n 的分布函数，由 = = n k S n Xk 1 ，易知： ( ) ( ) 1 F x = F x ( ) ( ) ( ) ( 2) 0 F x = F −1 x − u dF x n x n n 证明：由全概率公式有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Fn(x)=P{Sn≤x}=PSn1+Xn≤x ∫P{Sn1≤x-lXn=l}f,()d 「P{Sn≤x-ndF(x) =JP{Sn≤x-}dF(x) SE(x-ud F(x) 即F(x)是F(x)的n重卷积,记作:Fn=Fn1*F 另外,记: m()=E{N()} 称m(1)为更新函数。关于更新函数,有以下重要的定理。 定理:对于Ⅵt≥0,有: ()=∑F(t) 证明:根据以上的关系式,计算得: m(1)=∑nP{N()=n}=∑nP{N(1)=n} >>PS {N(t)=n} P{N()= ∑P{N(1)≥k}=∑P{N(t)≥m} ∑P{Sn≤t} 即有: )=∑F(t) 推论:若对t≥0,F()<1,则有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } { } 0 1 0 1 0 1 1 1 F x u dF x P S x u dF x P S x u dF x P S x u X u f u du F x P S x P S X x x n x n n n n X n n n n n = − = − = − = − = = = + − − − − − − 即 F (x) n 是 F(x) 的 n 重卷积，记作： F n = F n−1 F 。 另外，记： m(t) = E{N(t)} 称 m(t) 为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。 定理：对于 t 0 ，有： = = 1 ( ) ( ) n n m t F t 证明：根据以上的关系式，计算得： = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 0 1 { } { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) } ( ) { ( ) } { ( ) } n n k n n k n k n k n n P S t P N t k P N t n P N t n P N t n m t nP N t n nP N t n 即有： = = 1 ( ) ( ) n n m t F t 推论：若对 t 0 ， F(t) 1 ，则有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 m()≤F(1)(1-F() 下面是重要的更新方程。 定理:t≥0,m(1)满足下列更新方程: =F()+m(t-)dF(u) 证明:由m(t)=∑Fn(1),得: m(t)=F(1)+∑F(t) 将F()=JF1(-)dF()(n≥2)代入上式,即有所要的结果。 令 m(s) dm(t) F(s) 则有 m m(s) 1-F(s) 1+m(s) 证明:记:4(=m0(称为更新强度函数),由m)=∑F1(), 可得 两边取 Laplace变换,有: ∫nA()e"dt=m(s)=∑Je"d() 由F(s)=JedF()及F=Fn*F,根据卷积的 Laplace变换的性 质,有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 ( ) ( )(1 ( ))− m t F t − F t 下面是重要的更新方程。 定理： t 0 ， m(t) 满足下列更新方程： = + − t m t F t m t u dF u 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 证明：由 = = 1 ( ) ( ) n n m t F t ，得： = = + 2 ( ) ( ) ( ) n n m t F t F t 将 ( ) ( ) ( ) ( 2) 0 F t = F −1 t − u dF t n t n n 代入上式，即有所要的结果。 令： ( ) ( ) ~ 0 m s e dm t st − = ( ) ( ) ~ 0 F s e dF t st − = 则有： ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) ~ , ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) ~ m s m s F s F s F s m s + = − = 证明：记： dt dm t t ( ) ( ) = （称为更新强度函数），由 = = 1 ( ) ( ) n n m t F t ， 可得： = = = = = 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f t dt dF t dt dm t t 两边取 Laplace 变换，有： = − − = = 1 0 0 ( ) ( ) ~ ( ) n n st st t e dt m s e dF t 由 ( ) ( ) ~ 0 F s e dF t st − = 及 F n = F n−1 F ，根据卷积的 Laplace 变换的性 质，有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 ∫ne"dF()=[F(s) 因此,我们有: ms)=∑e"dF,(=∑[F(s=F(s 1-F(s) (2)极限性质 令:H=E({Xn},由F(0)0,下面给出几个极限 定理。 定理:P{im2=}=1 推论:PmnS,=∞) 推论:Ⅵt≥0,有 m(t)=∑F(t)< 记:N(∞)=lmN(),则有: 定理:P(N(∞)=∞}=1。 定理:;Pim 证明:由于: <NOHL N(o) +1 N() ≤t<S < N( N( N()+1 N( 由以上的定理,两边取极限,我们可以得到: Plim 二 由此定理,我们称为更新过程的速率
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 n n st e dF t F(s)] ~ ( ) [ 0 = − 因此，我们有： ( ) ~ 1 ( ) ~ ( )] ~ ( ) ( ) [ ~ 1 1 0 F s F s m s e dF t F s n n n n st − = = = = = − （2） 极限性质 令： { } = E X n ，由 (0 ) 1 + F ，可知 0 ，下面给出几个极限 定理。 定理： lim =1 = → n S P n n 推论： lim = =1 → n n P S 推论： t 0 ，有： = =1 ( ) ( ) n n m t F t 记： N( ) lim N(t) t→ = ，则有： 定理： PN() = =1。 定理： 1 ( ) 1 lim = = → t N t P t 证明：由于： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 N t N t N t S N t t N t S S t S N t N t N t N t + + + + 由以上的定理，两边取极限，我们可以得到： 1 ( ) 1 lim = = → t N t P t 由此定理，我们称 1 为更新过程的速率
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 (3)例子 例1:设X,H2…Xn…是独立同分布,非负取值的随机变量, 且有 PX=1=p(I-p 求PN(t)=n} 例2:某更新过程的更新强度为: λ,t≥0,>0 n(t) 0 t<0 求该更新过程{N(,t≥0的时间间隔X的概率密度 十、过滤的 Poission过程 定义:设有一 Poission分布的冲激脉冲串经过一线性时不变 滤波器,则滤波器输出是一随机过程{(t),t≥0},即 5(t)=∑h(t-S) 其中h(1)是滤波器的冲激相应,S是第个冲激脉冲出现的刻, NT)是[07内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数,它服从 Poission分布,即: PIN(T)=k (T) k=0,1,2 k! 是单位时间内的平均脉冲数。我们称由(*)代表的随机过程 为过滤的 Poission过程。 设,H2…,Y是独立同分布的随机变量,并且~U(0,7),由
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 （3） 例子 例 1：设 X1 , X2 , , X n , 是独立同分布，非负取值的随机变量， 且有： { } (1 ) 1 1 = = − − P X i p p i i n 求 P{N(t) = n}。 例 2：某更新过程的更新强度为： = 0 , 0 , 0, 0 ( ) t t t 求该更新过程 {N(t), t 0} 的时间间隔 X n 的概率密度。 十、过滤的 Poission 过程 定义：设有一 Poission 分布的冲激脉冲串经过一线性时不变 滤波器，则滤波器输出是一随机过程 {(t), t 0} ，即 = = − ( ) 1 ( ) ( ) N T i Si t h t （*） 其中 h(t) 是滤波器的冲激相应， i S 是第 i 个冲激脉冲出现的刻， N(T) 是 [0,T] 内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数，它服从 Poission 分布，即： , 0,1,2, ! ( ) { ( ) = } = = − e k k T P N T k T k 是单位时间内的平均脉冲数。我们称由（*）代表的随机过程 为过滤的 Poission 过程。 设 Y Y Yk , , , 1 2 是独立同分布的随机变量，并且 ~ (0, ) Y1 U T ，由
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 上节课的内容我们知道,在N()=k的条件下,S,S2…,S的分 布与,H2…的顺序统计量Ya,H2…的分布是一样的。 给定关于过滤的 Poission过程的一些基本假设:(a)T比h(t) 的脉冲持续时间x大得多,即T>τ;(b)h(1)是具有因果性的 滤波器相应,即tτ。 下面研究过滤的 Poission过程的一些统计特性。 (1)5()的均值 E{5()}=∑P(N(m)=k}E{()N(7)=k ∑P、(T)=kE{∑-S) ∑PN()=kB∑Eh(-S ∑P(x小 下面求Eht-1):利用过滤的 Poission过程的基本假设, 有: EG-n)=上如x)kx=CM 因此,我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 上节课的内容我们知道，在 N(T) = k 的条件下， S S Sk , , , 1 2 的分 布与 Y Y Yk , , , 1 2 的顺序统计量 (1) (2) ( ) , , , Y Y Y k 的分布是一样的。 给定关于过滤的 Poission 过程的一些基本假设：（a） T 比 h(t) 的脉冲持续时间 a 大得多，即 T a ；（b） h(t) 是具有因果性的 滤波器相应，即 Si t 时， h(t − Si ) = 0 ；（c）被研究的时刻 t 大于 h(t) 的脉冲持续时间 a ，即 a t 。 下面研究过滤的 Poission 过程的一些统计特性。 （1） (t) 的均值 = = − = = − = = − = = = = = = = = = = k i i k k k i i k k i i k P N T k E h t Y P N T k E h t S P N T k E h t S E t P N T k E t N T k 1 ( ) 0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 下面求 [ ( )] Y(i) E h t − ：利用过滤的 Poission 过程的基本假设， 有： = − = − = − T t t T T i h y d y T h y d y T h t x d x T E h t Y 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 [ ( )] 因此，我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 E{5()=SPNT)=k∑E-y ∑PN(T)=k)Oy) 「。(y)y:∑k (7) h(y)dy. aT ∫m()d (2)5()的相关函数R2(1+) R2(t+)=E{5()5(+) E1∑h(t-S)∑h(+z-S E∑∑h(t-S(+x-S 其中t<T,t+r<T。 利用条件数学期望,我们有: R(1+)=∑{P(N(7)=k},Es∑(-S)(t+x-S) =∑PN(O)=8}·∑∑E(-SM(+r-S 上面的等式中,当i=j时,一共有k项,有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = = = = = = = − = − = = = T T k T k T k T k i i k h y d y h y d y T T e k T h y d y k T h y d y T k P N T k E t P N T k E h t Y 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （2） (t) 的相关函数 ( , ) R t t + = − + − = − + − + = + = = = = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) N T i N T j i j N T j j N T i i E h t S h t S E h t S h t S R t t E t t 其中 t T, t + T 。 利用条件数学期望，我们有： = = = = = = = = − + − + = = − + − 0 1 1 0 1 1 { ( ) } ( ) ( ) ( , ) { ( ) } ( ) ( ) k k i k j S S i j k k i k j S S i j P N T k E h t S h t S R t t P N T k E h t S h t S i j i j 上面的等式中，当 i = j 时，一共有 k 项，有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Ess h(t-S )h(t+T-S)I h(t-xhh(t+r-xdx h(yh( 「h(y)h(y+r)y 当i≠j时,一共有k2-k项,利用独立性和假设条件,每项为: Ess.h(t-S,)(t+T-S) 「(t-x)dx:Jh(+r-x)db 因此,我们有: Re(t,t ∑PN(T)=k}n「()(y+r)y+ ∑P{N(T)=k} h (y)dy EN(①)(yM(y+rh×E{[N(T)-N) h (y)dy a'n(h(y+ r)dy+i r h(y)dy) 其中我们利用了: E{N(T)}= E{N(T-N(}=T+(7)2-AT=(7)2 同时我们得到:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = + = + = − + − − + − − T t t T T S S i i h y h y dy T h y h y dy T h t x h t x dx T E h t S h t S i i 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 当 i j 时，一共有 k − k 2 项，利用独立性和假设条件，每项为： 2 2 0 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) = = − + − − + − T T T S S i j h y dy T h t x dx T h t x dx T E h t S h t S i j 因此，我们有： 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) {[ ( )] ( )} ( ) ( ) { ( )} { ( ) } ( ) { ( ) } ( ) ( ) ( , ) = + + − = + + − + = = = + + + = = T T T T k T k T h y h y d y h y d y h y d y T E N T N T h y h y d y T E N T h y d y T k k P N T k h y h y d y T k P N T k R t t 其中我们利用了： E{N(T)}= T 2 2 2 E{[N(T)] − N(T)}= T + (T) − T = (T) 同时我们得到：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 r)=alh(yh(y+r)dy=Ca(r) (3)5(1)的特征函数 Ee =∑PN(T)=k}E=N()=k ∑PNO)=kB(eNm∑h-S P(N(7)=kE{exp∑h 而 E{exn∑h(t-)}= Expl ji∑h(t-y) TE(exp[iwh(t-r)B=Sexpliwh(t-xkdx 「 expljvh(y)y 代入计算,有 De (v)=2P(N(T)=k)+ exp[/vh(y)ldy ∫exp[m(y xp explo xpm(y)-1列 由于h()具有因果性,其持续时间znx,因此, 在(t-T0)和(,)内,有h(t)=0。因此我们得到:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 dy C C t t h y h y T + = + = （3） (t) 的特征函数 = = = = = = = − = = − = = = = 0 1 ( ) 0 1 0 ( ) ( ) ( ) { ( ) } exp ( ) { ( ) } exp ( ) { ( ) } ( ) ( ) k k i i k k i i k j v t j v t t P N T k E jv h t Y P N T k E jv h t S P N T k E e N T k v E e 而： k t t T k T k i i k i i k i i jvh y d y T jvh t x d x T E jvh t Y E jv h t Y E jv h t Y = = − = − = − − − = = = exp ( ) 1 exp ( ) 1 exp ( ) exp ( ) exp ( ) 0 1 1 1 ( ) 代入计算，有： − − − − = − − = = − = = = = t t T t t T T k t t T k T k k t t T k t jvh y d y e jvh y d y jvh y d y T e k T jvh y d y T v P N T k exp exp( ( )) 1 exp exp ( ) exp ( ) 1 ! ( ) exp ( ) 1 ( ) { ( ) } 0 0 ( ) 由于 h(t) 具有因果性，其持续时间 a T ，同时认为 a t ，因此， 在 (t − T,0) 和 (t,T) 内，有 h(t) = 0 。因此我们得到：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 (v)=expas [exp(]h(v)-1Wy 注意:在给定的假设条件下,随机过程5()的特征函数与1无 关,也就是说()的一维概率密度与时间无关,这样的随机过 程称为一级严平稳过程,同理可以证明,任取 n∈N,0<t1<t2<…<tn5(t1)25(t2)…,5(n)的联合概率密度仅与时 间差2-1,1-12…,t1-t1有关,具有这样性质的随机过程称为严 平稳过程,过滤的 Poission过程就是严平稳过程。 另外,利用(*)式,我们有: dy lro=jao h(y)dy 由特征函数与随机变量数字特征的关系,我们有: E(S()=fh(y)dy D{5()=mr{5()=)d 这些结果与(1)、(2)中所获得的结果是一致的 (4)当4→∞时,特征函数的极限形式 我们记: a=Soh(y)dy, B2=th(vr'dy 则有: ES(=a, Vars(t=nB 作随机变量标准化变换,令: n()=502a B 则有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = − T t v jvh y dy 0 ( ) ( ) exp exp( ( )) 1 （**） 注意：在给定的假设条件下，随机过程 (t) 的特征函数与 t 无 关，也就是说 (t) 的一维概率密度与时间 t 无关，这样的随机过 程 称 为 一 级 严 平 稳 过 程 ， 同 理 可 以 证明，任取 n n N t t t 0 1 2 , ( ), ( ), , ( ) 1 2 n t t t 的联合概率密度仅与时 间差 2 1 3 2 1 , , , − − n − n− t t t t t t 有关，具有这样性质的随机过程称为严 平稳过程，过滤的 Poission 过程就是严平稳过程。 另外，利用（**）式，我们有： = = T v t j h y dy dv d 0 0 ( ) ( ) 由特征函数与随机变量数字特征的关系，我们有： = T E t h y dy 0 {( )} ( ) = = T D t Var t h y dy 0 2 {( )} {( )} [ ( )] 这些结果与（1）、（2）中所获得的结果是一致的。 （4） 当 → 时，特征函数的极限形式 我们记： = = T T h y dy h y dy 0 2 2 0 ( ) , [ ( )] 则有： 2 E{(t)}= , Var{(t)}= 作随机变量标准化变换，令： − = ( ) ( ) t t 则有：