第八章相量法 、教学基本要求 1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。 2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的 概念及表达形式 3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。 4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念,参数选定及应用情况。 5、掌握最大功率传输的概念,及在不同情况下的最大传输条件 二、教学重点与难点 1.教学重点:(1).正弦量和相量之间的关系; (2).正弦量的相量差和有效值的概念 (3).R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式 (4).电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量 形式。 2.教学难点:1.正弦量与相量之间的联系和区别; 2.元件电压相量和电流相量的关系 三、本章与其它章节的联系 本章是学习第9-12章的基础,必须熟练掌握相量法的解析运算, 四、学时安排 总学时:4 教学内容 1.复数、正弦量 2.相量法的基础、电路定律的相量形式 2 五、教学内容
第八章 相量法 一、教学基本要求 1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。 2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的 概念及表达形式。 3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。 4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。 5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系； (2). 正弦量的相量差和有效值的概念 (3). R、L、C 各元件的电压、电流关系的相量形式 (4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量 形式。 2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。 三、本章与其它章节的联系： 本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时 1．复数、正弦量 2 2．相量法的基础、电路定律的相量形式 2 五、教学内容
§8.1复数 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的,因此,必须掌握复数的四 种表示形式及运算规则。 1.复数的四种表示形式 代数形式A=a+jb G=√-1为虚数单位 复数的实部和虚部分别表示为:Re[A]=aIm[A]=b。 图8.1为复数在复平面的表示。 图8.1 根据图8.1得复数的三角形式:44(cos9+sn6 A=、a2+b2 a=Acos 8 b 两种表示法的关系:(b=14m6或 6= actg 根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式: A=A|e=A(cosb+jsin的 指数形式有时改写为极坐标形式:4=A|e=4|∠8 注意:要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系,这对复数的运算非 常重要 2.复数的运算 (1)加减运算一一采用代数形式比较方便 若4=a1+内14=a2+jb2 则A±42=(a1+j1)士(a2+2)=(a1±a2)+(h1士b2) 即复数的加、减运算满足实部和实部相加减,虚部和虚部相加减 复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求 得,如图8.2所示
§8.1 复数 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四 种表示形式及运算规则。 1. 复数的四种表示形式 代数形式 A = a +jb 复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。 图 8.1 为复数在复平面的表示。 图 8.1 根据图 8.1 得复数的三角形式： 两种表示法的关系： 或 根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式： 指数形式有时改写为极坐标形式： 注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非 常重要。 2. 复数的运算 (1) 加减运算 —— 采用代数形式比较方便。 若 则 即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。 复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求 得，如图 8.2 所示
图8.2 (2)乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便 若4=4l=4∠6242=4l=4∠6 则442=4l4p=44p241=44∠8+B A1A1|e|A1|∠1|A1 J(0r12) ∠61+日 A2|A2|en|A2|∠62|A2 A 即复数的乘法运算满足模相乘,辐角相加。除法运算满足模相除,辐角相减, 如图8.3示。 Im Aeje 图8.3 图8.4 (3)旋转因子: 由复数的乘除运算得任意复数A乘或除复数E,相当于A逆时针或顺 时针旋转一个角度,而模不变,如图8.4所示。故把e”称为旋转因子 6=±一,e2=cos±jsin=± 当6= 故+j,-,-1都可以看成旋转因子。 3.复数运算定理 定理1 Re[kA]=KREA 式中K为实常数 定理2 Re[A,+ A]=Re[A]+reA
图 8.2 (2) 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便。 若 则 即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减， 如图 8.3 示。 图 8.3 图 8.4 (3) 旋转因子： 由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数 ， 相当于 A 逆时针或顺 时针旋转一个角度 θ，而模不变，如图 8.4 所示。故把 称为旋转因子。 当 当 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 3. 复数运算定理 定理 1 式中 K 为实常数。 定理 2
定理3若 A1=A2 则A}=R4m4=m{4 例8-1计算复数5∠47+102-25=? 解:5∠47+102-25=(341+3657)+(9063-14220 =1247-0.569 1248∠-2.61° 本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。 220∠35+ (17+j9)(4+j6 例8-2计算复数 20+j 解:原式=1802+1202×924∠279×721∠563 2062∠1404° =180.2+1262+6728∠70.16° 180.2+1262+2238+j6.329 =1825+j1325=2255∠36 本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式
定理 3 若 则 例 8-1 计算 复数 解： 本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。 例 8-2 计算 复数 解： 本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式
§8.2正弦量 1.正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量,以电流为例,其瞬时值 表达式为(本书采用 coSIne函数): i(t)=I, cos(ot+y) 波形如图8.5所示。 图8.5 注意:激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路 研究正弦电路的意义: (1)正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于: 1)正弦函数是周期函数,其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正 弦函数 2)正弦信号容易产生、传送和使用 (2)正弦信号是一种基本信号,任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规 律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。 2.正弦量的三要素 (1)L一幅值(振幅、最大值):反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅 度 (2)ω一角频率:为相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。它与周期和 频率的关系为: rad/s (3)y一初相角:反映正弦量的计时起点,常用角度表示 需要注意的是 1)计时起点不同,初相位不同,图8.6给出了同一个正弦量在不同计时 起点下初相位的取值 2)一般规定初相位取主值范围,即|y≤π 3)如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后,如图8.7所示,则初相位
§8.2 正弦量 1.正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值 表达式为（本书采用 cosine 函数）： 波形如图 8.5 所示。 图 8.5 注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义： （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正 弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。 （2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规 律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。 2. 正弦量的三要素 （1）Im —幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅 度。 （2）ω— 角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和 频率的关系为： rad/s （3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 需要注意的是： 1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6 给出了同一个正弦量在不同计时 起点下初相位的取值。 2）一般规定初相位取主值范围，即 |y|≤π 。 3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图 8.7 所示，则初相位
为负,如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前,则初相位为正。 4)对任一正弦量,初相可以任意指定,但同一电路中许多相关的正弦量只 能对于同一计时起点来确定各自的相位 y=x2 图8.6 图8.7 3.相位差 相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量 i u(t)=U cos(ot +v) i(t)=In cos(at+v) 则相位差为:g=(0t+y2)-(ot+,)=Vy 上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差,通常相位差取主值范围 即:|中|≤ 如果上式中φ>0,称u超前i,或i滞u,表明u比i先达到最 大值; 如图8.8(a)所示。 如φ<0,称i超前u,或u滞后i,表明i比u先达到最大值 如φ=±p,称i与u反相,如图8.8(b)所示 如φ=0,称i与u同相,如图8.8(c)所示。 图8.8(a) (b)
为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。 4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只 能对于同一计时起点来确定各自的相位。 图 8.6 图 8.7 3. 相位差 相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 设 则相位差为： 上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围， 即：|φ|≤π 如果上式中 φ＞0 ，称 u 超前 i ，或 i 滞 u ，表明 u 比 i 先达到最 大值； 如图 8.8（a）所示。 如 φ＜0 ， 称 i 超前 u ，或 u 滞后 i , 表明 i 比 u 先达到最大值。 如 φ= ±p ， 称 i 与 u 反相，如图 8.8（b）所示； 如 φ=0 ， 称 i 与 u 同相，如图 8.8（c）所示。 图 8.8 （a） （b） （c）
需要注意的是 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号,且在主值范围 比较 4.正弦电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为了衡量其平均效应,工程上采用 有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图8.9所示,通过比较直 流电流Ⅰ和交流电流i在相同时间T内流经同一电阻R产生的热效应,即 RIT=CR()dt 从中获得周期电流和与之相等的直流电流Ⅰ之间的关系 这个直流量Ⅰ称为周期量的有效值。有效值也称方均根值 R 直流rR 图8 l2() 同样,可定义电压有效值 设正弦电流()=ncos(at+y) 相应的有效值为 7c(a+y)业 因为co3(a+)a=」 1+ cos2(at+y), 1 =1}=2.5===07071 所以 即正弦电流的有效值与最大值满足关系:-m=√2
需要注意的是： 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围 比较。 4. 正弦电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用 有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直 流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应，即 令： 从中获得周期电流和与之相等的直流电流 I 之间的关系： 这个直流量 I 称为周期量的有效值。有效值也称方均根值。 图 8.9 同样，可定义电压有效值： 设正弦电流 相应的有效值为： 因为 所以 即 正弦电流的有效值与最大值满足关系：
U=1n或Un=√2U 同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系: 若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为l≈311 需要注意的是: (1)工程上说的正弦电压、电流一般指有效值,如设备铭牌额定值、电网 的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此,在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。 (2)测量中,交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 (3)区分电压、电流的瞬时值i、u,最大值^M。、L和有效值Ⅰ、U的 符号 例8-3已知正弦电流波形如图所示,ω=103rad/s, (1)写出正弦i(t)表达式; (2)求正弦电流最大值发生的时间t1 50 例8—3图 解:根据图示可知电流的最大值为100A,t=0时电流为50A,因此有: i()=100co102+v) i(0)=50=100c0s 解得↓=土丌/3由于最大值发生在计时起点右侧故取=-x/3 1()=100c(10:-x 所以 当10一/3时电流取得最大值,即
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 若一交流电压有效值为 U = 220V ，则其最大值为 Um≈311V ； 需要注意的是： （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网 的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。 （2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的 符号。 例 8-3 已知正弦电流波形如图所示， ω＝ 103rad/s ， （1）写出正弦 i(t) 表达式； （2）求正弦电流最大值发生的时间 t1 例 8 — 3 图 解： 根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有： 解得 由于最大值发生在计时起点右侧故取 所以 当 时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。 1)n1(2)=10c°(10 )=10c°(100xt+30) 2(t)=10c(1 2(4)=10sn(100xt-15) (3)a1()=10c(100x+30) (4)1()=5cos(100zt-30 2()=10co(200xt+459) )=-3co(100xt+30) 解:(1) r/4-(-/2)=5m/4 转为主值范围:9=2x-57/4=3x4 说明i滞后 3x/4 (2)先把i变为余弦函数:2()=10c0100x-105°) 则=3-(-105)=13 说明i超前i2 (3)因为两个正弦量的角频率吗≠吗,故不能比较相位差。 (4) 2()=-3cs01007+30)=3c0s100z-150) 则 300-(-1500)=120 说明i超前120 本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号,且在 主值范围比较
例 8-4 计算下列两正弦量的相位差。 解：（1） 转为主值范围： 说明 i1 滞后 i2 。 （2） 先把 i2 变为余弦函数： 则 说明 i1 超前 i2 。 （3） 因为两个正弦量的角频率 ，故不能比较相位差。 （4） 则 说明 i1 超前 i2 本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在 主值范围比较
§8.3相量法的基础 正弦稳态线性电路中,和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦 量,因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分 运算,在时域进行这些运算十分繁复,通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电 路分析得到简化。 1.正弦量的相量表示 构造一个复函数4()=√2ea)=J2 icos(at+平)+j2lin(ax+) 对A()取实部得正弦电流:Re[A(=Ieos(at+)=() 上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,即: =√2os(ot+)eA()=√2e A()还可以写成4(O=V2lee=、l 称复常数l=l∠为正弦量i(t)对应的相量,它包含了i(t)的两个要素I,F。 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量,即 ()=2lcos(a+)台i=l∠ 注意:相量的模为正弦量的有效值,相量的幅角为正弦量的初相位。同样可 以建立正弦电压与相量的对应关系:2(=√208(a+6)台b=U∠e 例如若已知正弦电流和电压分别为: =1414c0s14t+30)A=311lcos314t-60°)v 则对应的相量分别为:I=100∠30°AU=2202-60°V 若正弦电流的相量I=50415A频率 f=50H 则对应的正弦电流为:i=50209314+15)A 2.相量图 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 l=I∠U=U∠日 则对应的相量图如图8.10所示。辐角为零的相量称为参考相量。 图8.10
§8.3 相量法的基础 正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦 量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分 运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电 路分析得到简化。 1. 正弦量的相量表示 构造一个复函数 对 A(t) 取实部得正弦电流： 上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即： A(t) 还可以写成 称复常数 为正弦量 i(t)对应的相量，它包含了 i(t)的两个要素 I ,Y 。 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即： 注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可 以建立正弦电压与相量的对应关系： 例如若已知正弦电流和电压分别为： 则对应的相量分别为： 若正弦电流的相量 频率 则对应的正弦电流为： 2. 相量图 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 则对应的相量图如图 8.10 所示。辐角为零的相量称为参考相量。 图 8.10