第六章一阶电路 、教学基本要求 l、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、 全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义 2、会计算和分析一阶动态电路,包括三种方法:(1)全响应=零状态响应+ 零输入响应;(2)全响应=暂态响应十稳态响应;(3)“三要素”法。 二、教学重点与难点 1.教学重点:(1).动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定; (2).一阶电路时间常数的概念 (3).一阶电路的零输入响应和零状态响应; (4).求解一阶电路的三要素方法 (5).自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念 2.教学难点:1.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程。 2.电路初始条件的概念和确定方法 三、本章与其它章节的联系 本章讨论的仍是线性电路,因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在 正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时:8 教学内容 学时 1.动态电路的方程及初始条件、一阶电路的零输入响应 2.一阶电路的零状态响应、一阶电路的全响应 3.一阶电路的阶跃响应、一阶电路的冲激响应 2-222 4.习题课 五、教学内容
第六章 一阶电路 一、教学基本要求 1、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、 全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义 。 2、会计算和分析一阶动态电路，包括三种方法：⑴全响应＝零状态响应＋ 零输入响应；⑵全响应＝暂态响应＋稳态响应；⑶“三要素”法。 二、教学重点与难点 1. 教学重点：(1). 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定； (2). 一阶电路时间常数的概念 ； (3). 一阶电路的零输入响应和零状态响应； (4). 求解一阶电路的三要素方法； (5). 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念； 2．教学难点：1. 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程。 2. 电路初始条件的概念和确定方法。 三、本章与其它章节的联系： 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第 9 章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在 正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时：8 教 学 内 容 学 时 1．动态电路的方程及初始条件、一阶电路的零输入响应 2 2．一阶电路的零状态响应、一阶电路的全响应 2 3．一阶电路的阶跃响应、一阶电路的冲激响应 2 4．习题课 2 五、教学内容
§6.1动态电路的方程及其初始条件 1.动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件,其 VCR是对时间变量t的微分和积分关系,因此动态电路的特点是:当电路状态 发生改变时(换路)需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。 1)电阻电路 i=US/R2 RI i=US/(R2+R R2 图6.1(a) (b) 图6.1(a)所示的电阻电路在t=0时合上开关,电路中的参数发生了变 化。电流i随时间的变化情况如图6.1(b)所示,显然电流从t0后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期 2)电容电路 (t0)R (t→∞)R K CU lc=C 图6.2(a) (b) 前一个稳定状态0h新的稳定状态 过渡状态 图6.2(c)
§6.1 动态电路的方程及其初始条件 1.动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态 发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。 1）电阻电路 图 6.1 （a） （b） 图 6.1（a）所示的电阻电路在 t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变 化。电流 i 随时间的变化情况如图 6.1（b）所示，显然电流从 t＜0 时的稳定 状态直接进入 t＞0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。 2）电容电路 图 6.2 （a） （b） 图 6.2 （c）
图6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前,电路处于稳定状 态,电流i和电容电压满足:≠=0,L=0。 t=0时合上开关,电容充电,接通电源后很长时间,电容充电完毕,电路 达到新的稳定状态,电流i和电容电压满足:i=0,u=l。 电流i和电容电压随时间的变化情况如图6.2(c)所示,显然从t0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需 要一个过渡期。 3)电感电路 t=0)R (t→+∞)R U K M, SL 图6.3(a) (b) UR U 前一个稳定状态07新的稳定状态 过渡状态 图6.3 图6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前,电路处于稳定状 态,电流i和电感电压满足:i=0,a=0。 =0时合上开关。接通电源很长时间后,电路达到新的稳定状态,电流i和 电感电压满足:i=0,a=/R 电流i和电感电压a随时间的变化情况如图6.3(c)所示,显然从t0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时 需要一个过渡期。 从以上分析需要明确的是: l=换路是指电路结构、状态发生变化,即支路接入或断开或电路参数变化 2=含有动态元件的电路换路时存在过渡过程,过渡过程产生的原因是由于 储能元件L、C,在换路时能量发生变化,而能量的储存和释放需要一定的时间 来完成,即
图 6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状 态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=0。 t=0 时合上开关，电容充电， 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=US 。 电流 i 和电容电压 uC 随时间的变化情况如图 6.2（c）所示，显然从 t＜0 时 的稳定状态不是直接进入 t＞0 后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需 要一个过渡期。 3）电感电路 图 6.3 （a） （b） 图 6.3 （c） 图 6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状 态，电流 i 和电感电压满足：i=0，uL=0。 t=0 时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流 i 和 电感电压满足：i=0，uL=US/R 。 电流 i 和电感电压 uL 随时间的变化情况如图 6.3（c）所示，显然从 t＜0 时的稳定状态不是直接进入 t＞0 后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时 需要一个过渡期。 从以上分析需要明确的是： 1＝换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化； 2＝含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于 储能元件 L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间 来完成，即：
M若Mt→0则P→ 3=代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。 2.动态电路的方程 分析动态电路,首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两 部分内容:一是应用基尔霍夫定律,二是应用电感和电容的微分或积分的基本特 性关系式。下面通过例题给出详细的说明。 (t>0) (t>0) u-c U(t) 图6.4 图6.5 设RC电路如图6.4所示,根据KL列出回路方程为:k+x=x1() 由于电容的VCR为 从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程 RC,+L=l;() Ri+idt=m,( 若以电流为变量,则有: 对以上方程求导得 Rdc dt 设B电路如图6.5所示的,根据MⅥL列出回路方程为:R+x2=x2() d i 由于电感的VCR为: R+L=n2() 以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程: ∫xdr+n2=n:( 若以电感电压为变量,则有
若 则 3＝代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。 2. 动态电路的方程 分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两 部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特 性关系式。下面通过例题给出详细的说明。 图 6.4 图 6.5 设 RC 电路如图 6.4 所示，根据 KVL 列出回路方程为： 由于电容的 VCR 为： 从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程： 若以电流为变量，则有： 对以上方程求导得： 设 RL 电路如图 6.5 所示的，根据 KVL 列出回路方程为： 由于电感的 VCR 为： 以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程： 若以电感电压为变量，则有：
对以上方程求导得:d∠s:( (t>0)R上 Us(t) "1L 图6.6 对图6.6所示的BLC电路,根据KⅥL和电容、电感的VCR可得方程为 R+謀+謀=謀:(n) 整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程: d-u dd2+RC +=t(t 考察上述方程可得以下结论: (1)描述动态电路的电路方程为微分方程 (2)动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数,一般而言,若电路中 含有n个独立的动态元件,那么描述该电路的微分方程是n阶的,称为n阶 电路 (3)描述动态电路的微分方程的一般形式为: dx a1+a0x=e()t≥0 描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程 描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程公++anx=()t≥0 高阶电路的方程是高阶微分方程 d'x d*-x x r+…+a1x+a0x=e()t≥0 方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关
对以上方程求导得： 图 6.6 对图 6.6 所示的 RLC 电路，根据 KVL 和电容、电感的 VCR 可得方程为： 整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程： 考察上述方程可得以下结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中 含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶 电路； （3）描述动态电路的微分方程的一般形式为： 描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程 描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程 高阶电路的方程是高阶微分方程： 方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关
3.电路初始条件的确定 求解微分方程时,解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以 电容电压或电感电流作为变量,因此,相应的微分方程的初始条件为电容电压或 电感电流的初始值。 若把电路发生换路的时刻记为t=0时刻,换路前一瞬间记为0ˉ,换路后 瞬间记为0,则初始条件为仁=0时u,i及其各阶导数的值。 (1)电容电压和电感电流的初始条件 u0.)=a20)+1rGx510,)=20)+1a(5x5 由于电容电压和电感电流是时间的连续函数(参见第一章),所以上两式中 的积分项为零,从而有 (0,)=lc(0-) j90)=90 20)2=1(0.)对应于0,)=y0.) 以上式子称为换路定律,它表明: 1)换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)在换路前后 保持不变,这是电荷守恒定律的体现。 2)换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流(磁链)在换路前后 保持不变。这是磁链守恒的体现 需要明确的是 1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 2)换路定律反映了能量不能跃变的事实。 (2)电路初始值的确定 根据换路定律可以由电路的(0)和i(0)确定t(0)和i(0)时刻的 值,电路中其他电流和电压在t=0时刻的值可以通过0等效电路求得。求初 始值的具体步骤是: 1)由换路前t=0时刻的电路(一般为稳定状态)求t(0)或i(0-) 2)由换路定律得t(0)和i(0) 3)画t=0ˆ时刻的等效电路:电容用电压源替代,电感用电流源替代(取
3. 电路初始条件的确定 求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以 电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或 电感电流的初始值。 若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬间记为 0 －，换路后 一瞬间记为 0 ＋，则初始条件为 t=0＋时 u ，i 及其各阶导数的值。 (1)电容电压和电感电流的初始条件 由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中 的积分项为零，从而有： 对应于 以上式子称为换路定律，它表明： 1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后 保持不变，这是电荷守恒定律的体现。 2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后 保持不变。这是磁链守恒的体现。 需要明确的是: 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。 （2）电路初始值的确定 根据换路定律可以由电路的 uC(0－ ) 和 iL(0－ ) 确定 uC（0 +）和 iL(0+ ) 时刻的 值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0 + 等效电路求得。求初 始值的具体步骤是： 1）由换路前 t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求 uC (0－ ) 或 iL (0－ ) ； 2）由换路定律得 uC (0+ ) 和 iL (0+ ) ； 3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代（取
0·时刻值,方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同) 4)由0°电路求所需各变量的0′值 例6-1图示电路在t<0时电路处于稳态,求开关打开瞬间电容电流ic(0) 10k +10k 10v k 0等效电络 例6-1图(a) 解:(1)由图(a)t=0电路求得:t(0)=8V (2)由换路定律得:lk(0+)=l(0-)=8V (3)画出0等效电路如图(b)所示,电容用8V电压源替代,解得: 10-8 ic(0+) =0.2mA 注意:电容电流在换路瞬间发生了跃变,即:20-)=0≠(0) 例6-2图示电路在t<0时电路处于稳态,t=0时闭合开关,求电感电压L IQ 492 十 K√L 10v 例6-2图(a) 解:(1)首先由图(a)t=0-电路求电感电流,此时电感处于短路状态如图(b) 所示,则 2A 1+4
0 + 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）； 4）由 0 + 电路求所需各变量的 0 + 值。 例 6-1 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+ ) 例 6-1 图（a） (b) 解：(1) 由图(a) t=0－电路求得：uC (0－ )=8V (2) 由换路定律得：uC (0＋ )=uC (0－ )=8V (3) 画出 0 ＋等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，解得： 注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即： 例 6-2 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压 uL (0+ ) 。 例 6-2 图（a） 解：(1) 首先由图(a)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b） 所示，则：
0+电路 19 492 49 10v 10V 2A 例6-2图(b) 例6-2图(c) (2)由换路定律得 (0)=i(0)=2A (3)画出0+等效电路如图(c)所示,电感用2A电流源替代,解得: 42(O0)=-2×4=-87 注意:电感电压在换路瞬间发生了跃变,即:420-)=0≠x20+) 例6-3图示电路在t<0时处于稳态,t=0时闭合开关,求电感电压L(0)和电容 电流li(0) r C+uc K(=0) 例6-3图(a) 解:(1)把图(a)t=0电路中的电感短路,电容开路,如图(b)所示,则: 20-)=2(0+)=rstc(0-)=tc(0+)=5sR (2)画出0等效电路如图(c)所示,电感用电流源替代,电容用电压源替 代解得: RI c(0)=- 0 c2(0+)=-0+)=-R
例 6-2 图（b） 例 6-2 图（c） (2) 由换路定律得： iL (0+ ) = iL (0－ )= 2A (3) 画出 0+ 等效电路如图 (c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得： 注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即： 例 6-3 图示电路在 t＜0 时处于稳态，t=0 时闭合开关,求电感电压 uL(0+ )和电容 电流 iC(0+ ) 例 6-3 图（a） 解：(1) 把图(a) t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出 0 +等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替 代解得：
0电路 ●IR0电路 R RIs 例6-3图(b) 例6-3图(c) 注意:直流稳态时电感相当于短路,电容相当于断路。 例6-4求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 O48yK L3l2392 in 29 TC 例6-4图(a) 解:(1)把图(a)t=0ˉ电路中的电感短路,电容开路,如图(b)所示,则: 2(0-)=12(0+)=48/4=12A c(0-)=uc(0+)=2×12=24 (2)画出0等效电路如图(c)所示,电感用电流源替代,电容用电压源替 代解得: (0+)=(48-24)/3=8A i(0+)=12+8=20A (0+)=48-2×12=24V 2 39 十 39 292 12A↓292 24V 例6-4图(b) 例6-4图(c)
例 6 — 3 图(b) 例 6 — 3 图（c） 注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。 例 6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 例 6-4 图（a） 解：(1) 把图 (a) t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出 0 +等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替 代解得： 例 6-4 图(b) 例 6-4 图（c）
§6.2阶电路的零输入响应 动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零,仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。 1.RC电路的零输入响应 K(t=0) R 图6.7 图6.7所示的RC电路在开关闭合前已充电,电容电压(0)=l,开关闭 合后,根据KCW可得:-Lk+c=0 由于 +=0 dt 代入上式得微分方程:(a(0+)=乙 特征方程为RCp+1=0,特征根为:2= 则方程的通解为: Aent= a 代入初始值得:A=(0.)=l, l2=140+)e=Ue t≥0 uc Uo.-Rc t≥0 放电电流为 cauc=-cU e rc( 或根据电容的VCR计算: RC R 从以上各式可以得出: 1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数,如图6.8所示;
§6.2 一阶电路的零输入响应 动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。 1. RC 电路的零输入响应 图 6.7 图 6.7 所示的 RC 电路在开关闭合前已充电，电容电压 uC (0－ )= U0，开关闭 合后，根据 KCVL 可得： ，由于 ， 代入上式得微分方程： 特征方程为 RCp+ 1=0 ， 特征根为： 则方程的通解为： 代入初始值得： A = uC(0+)= U0 ， 放电电流为： 或根据电容的 VCR 计算： 从以上各式可以得出： 1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 6.8 所示；
