第三章电阻电路的一般分析 教学基本要求 电路的一般分析是指方程分析法,是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓补 约束特性(KCL、KVL)为依据,建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电路 方程组,解出所求的电压、电流和功率。方程分析法的特点是:(1)具有普遍适用性 即无论线性和非线性电路都适用;(2)具有系统性,表现在不改变电路结构,应用KCL, KVL,元件的VCR建立电路变量方程,方程的建立有一套固定不变的步骤和格式,便于 编程和用计算机计算。 本章学习的内容有:电路的图,KCL和KVL的独立方程数,支路电流法,网孔电 流法,回路电流法,结点电压法 本章内容以基尔霍夫定律为基础。介绍的支路电流法、回路电流法和节点电压法适 用于所有线性电路问题的分析,在后面章节中都要用到。 内容重点 会用观察电路的方法,熟练应用支路电流法,回路电流法,结点电压法的“方程通 式”写出支路电流方程,回路电流方程,结点电压方程,并求解 预习知识: 线性代数方程的求解 难点: 独立回路的确定 2.正确理解每一种方法的依据 3.含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写 4.含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写 二、学时安排 总学时:6 教学内容 学时 1.电路的图,KCL和KVL的独立方程数 2.支路电流法,网孔电流法 222 3.回路电流法,结点电压法
3-1 1 第三章 电阻电路的一般分析 一、 教学基本要求 电路的一般分析是指方程分析法，是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓补 约束特性（KCL、KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电路 方程组，解出所求的电压、电流和功率。方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性， 即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用 KCL， KVL，元件的 VCR 建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于 编程和用计算机计算。 本章学习的内容有：电路的图，KCL 和 KVL 的独立方程数，支路电流法，网孔电 流法，回路电流法，结点电压法。 本章内容以基尔霍夫定律为基础。介绍的支路电流法、回路电流法和节点电压法适 用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要用到。 内容重点： 会用观察电路的方法，熟练应用支路电流法，回路电流法，结点电压法的“方程通 式”写出支路电流方程，回路电流方程，结点电压方程，并求解。 预习知识： 线性代数方程的求解 难点： 1. 独立回路的确定 2. 正确理解每一种方法的依据 3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写 4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写 二、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．电路的图，KCL 和 KVL 的独立方程数 2 2．支路电流法，网孔电流法 2 3．回路电流法，结点电压法 2
教学内容 §3-1电路的图 网络图论 图论是拓扑学的一个分支,是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由 瑞士数学家欧拉最早提出,欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应 用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题,见图3.1a和b所示 A 3 D 图3.1a哥尼斯堡七桥 b对应的图 19~20世纪,图论主要研究一些游戏问题和古老的难题,如哈密顿图及四色问 题。1847年,基尔霍夫首先用图论来分析电网络,如今在电工领域,图论被用于网络分 析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及 编译技术等等。 2.电路的图 电路的图是用以表示电路几何结构的图形,图中的支路和结点与电路的支路和结点 一对应,如图32所示,所以电路的图是点线的集合。通常将电压源与无源元件的串联、 电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。如图3.2c所示。 8 R R 3 R,R 2 R 76 b电路的图 c电路的图 a电路图 (一个元件作为一条支路) (采用复合支路) 图3.2电路和电路的图 有向图一一标定了支路方向(电流的方向)的图为有向图。 连通图一—图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图,非连通图至少存在 两个分离部分 2
3-2 2 三、教学内容 §3－1 电路的图 1. 网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由 瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在 1736 年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应 用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图 3.1a 和 b 所示。 图 3.1 a 哥尼斯堡七桥 b 对应的图 19～20 世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问 题。1847 年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分 析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及 编译技术等等。 2. 电路的图 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点 一一对应，如图 3.2 所示，所以电路的图是点线的集合。通常将电压源与无源元件的串联、 电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。如图 3.2c 所示。 a 电路图 b 电路的图 (一个元件作为一条支路) c 电路的图 (采用复合支路) 图 3.2 电路和电路的图 有向图――标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。 连通图――图 G 的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在 两个分离部分
图3.3有向图 图34非连通图 图3.5连通图 子图一一若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点,则称G1是图G的子 a电路的图(G) bG图的子图 cG图的子图 图3.6 树(T)—树(T)是连通图G的一个子图,且满足下列条件: (1)连通;(2)包含图G中所有结点;(3)不含闭合路径。 构成树的支路称树枝;属于图G而不属于树(T)的支路称连支 不是树 图3.7电路的图与树的定义 需要指出的是 1)对应一个图有很多的树; 2)树支的数目是一定的为结点数减一:bt=(n-1) 3)连枝数为b=b-bt=b(n-1) 回路一一回路L是连通图G的一个子图,构成一条闭合路径,并满足条件 (1)连通;(2)每个节点关联2条支路。 需要指出的是 1)对应一个图有很多的回路; 2)基本回路的数目是一定的,为连支数; 3)对于平面电路,网孔数为基本回路数1=b=b-(n-1)
3-3 3 图 3.3 有向图 图 3.4 非连通图 图 3.5 连通图 子图――若图 G1 中所有支路和结点都是图 G 中的支路和结点，则称 G1 是图 G 的子 图。 a 电路的图（G） b G 图的子图 c G 图的子图 图 3.6 树（T）——树（T）是连通图 G 的一个子图，且满足下列条件： (1) 连通；(2)包含图 G 中所有结点；(3)不含闭合路径。 构成树的支路称树枝；属于图 G 而不属于树（T）的支路称连支： 图 3.7 电路的图与树的定义 需要指出的是： 1）对应一个图有很多的树； 2）树支的数目是一定的为结点数减一：bt=(n-1) 3）连枝数为 bl=b-bt=b-(n-1) 回路――回路 L 是连通图 G 的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件： (1)连通；(2)每个节点关联 2 条支路。 需要指出的是： 1）对应一个图有很多的回路； 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=bl=b-(n-1)
3 75 2 3 ∠75 5回路64 不是回路 图3.8电路的图与回路定义 基本回路(单连支回路)一基本回路具有独占的一条连枝色,即基本回路具有别的回 路所没有的一条支路 5 2 2 图39电路的图及其基本回路 结论:电路中结点、支路和基本回路关系为:支路数=树枝数+连支数=结点数-1 十基本回路数b=n+1-1 例3-1图示为电路的图,画出三种可能的树及其对应的基本回路 5 解: (86 2 对应例图的三个树 对应三个树的基本回路
3-4 4 图 3.8 电路的图与回路定义 基本回路(单连支回路)――基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的回 路所没有的一条支路。 图 3.9 电路的图及其基本回路 结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1 ＋基本回路数 b=n+l-1 例 3－1 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。 解： 对应例图的三个树 对应三个树的基本回路
§3-2KCL和KVL的独立方程数 1.KCL的独立方程数 对图中所示电路的图列出4个结点上的 KCL方程(设流出结点的电流为正,流入为负) 结点①-4-=0 i2=0 结点② 结点③立++=0 结点④+-=0 把以上4个方程相加,满足:①+②+③+④=0 结论:n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个,即求解电路问题时, 只需选取n-1个结点来列出KCL方程 2.KVL的独立方程数 根据基本回路的概念,可以证明KVL的独立方程数=基本回路数=b-(n-1) 结论:n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为:(n-1)+b-(n-1)=b 3-5
3-5 5 §3－2 KCL 和 KVL 的独立方程数 1. KCL 的独立方程数 对图中所示电路的图列出 4 个结点上的 KCL 方程（设流出结点的电流为正，流入为负）： 结点① 结点② 结点③ 结点④ 把以上 4 个方程相加，满足：①＋②＋③＋④＝0 结论：n 个结点的电路, 独立的 KCL 方程为 n-1 个，即求解电路问题时， 只需选取 n－1 个结点来列出 KCL 方程。 2. KVL 的独立方程数 根据基本回路的概念，可以证明 KVL 的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) 结论：n 个结点、b 条支路的电路, 独立的 KCL 和 KVL 方程数为：（n-1）+ b-(n-1)=b
§3-3支路电流法 支路电流法 以各支路电流为未知量列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法。 对于有n个节点、b条支路的电路,要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b 个独立的电路方程,便可以求解这b个变量 2.支路电流方程的列写步骤 (1)标定各支路电流(电压)的参考方向 (2)从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 (3)选择基本回路,结合元件的特性方程列写b(n-1)个KVL方程 (4)求解上述方程,得到b个支路电流 (5)进一步计算支路电压和进行其它分析。 需要注意的是: 支路电流法列写的是KCL和KVL方程,所以方程列写方便、直观,但方程数较多 宜于利用计算机求解。人工计算时,适用于支路数不多的电路 3.支路电流方程的应用 例3-2求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率 722 解:(1)对结点a列KCL方程:-1rl2+1=0 71-112 (2)对两个网孔列KⅥL方程:112+7h=6 (3)求解上述方程: 1-1 0-1 101 △=7-110=203A1=64-110=1218△,=7640|=-406 2A 203 6A12=-= A203 I=1l2=6-2=4 (4)电压源发出的功率 P70=6×70=420WP6=2×6=-12W
3-6 6 §3－3 支路电流法 1. 支路电流法 以各支路电流为未知量列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法。 对于有 n 个节点、b 条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b 个。只要列出 b 个独立的电路方程，便可以求解这 b 个变量。 2. 支路电流方程的列写步骤 (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 从电路的 n 个结点中任意选择 n-1 个结点列写 KCL 方程 (3) 选择基本回路，结合元件的特性方程列写 b-(n-1)个 KVL 方程 (4) 求解上述方程，得到 b 个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 需要注意的是： 支路电流法列写的是 KCL 和 KVL 方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多， 宜于利用计算机求解。人工计算时，适用于支路数不多的电路。 3. 支路电流方程的应用 例 3－2 求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率。 解：(1)对结点 a 列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0 (2)对两个网孔列 KVL 方程： (3)求解上述方程： I3=I1+I2=6-2=4 (4)电压源发出的功率： P70=6×70=420W P6=-2×6=-12W
例3一3列写图示电路的支路电流方程(电路中含有理想电流源) 79 1l9 解1(1)对结点a列KCL方程:-1rl2+l=0 (2)选两个网孔为独立回路,设电流源两端电压为U,列KVL方程: 7h1-112=70-U 1112+73=U (3)由于多出一个未知量U,需增补一个方程:2=6A 求解以上方程可得各支路电流 解2:由于支路电流厶已知,故只需列写两个方程 (1)对结点a列KCL方程 79 -l1-6+l3=0 722 2)避开电流源支路取回路,如图b选大回路列 KⅤL方程 b 71-7l3=70 解法2示意图 注:本例说明对含有理想电流源的电路,列写支路电流方程有两种方法,一是设 电流源两端电压,把电流源看作电压源来列写方程,然后増补一个方程,即令电流源所 在支路电流等于电流源的电流即可。另一方法是避开电流源所在支路例方程,把电流源 所在支路的电流作为已知。 例3-4列写图示电路的支路电流方程(电路中含有受控源) 79 11Q 72 解:(1)对结点a列KCL方程:-1r12+Iy=0 (2)选两个网孔为独立回路,列KVL方程:7lr1112=70-5U l12+7=5U (3)由于受控源的控制量U是未知量,需增补一个方程:U=7l (4)整理以上方程,消去控制量U r-l2+l3=0 7lr112+351;=70 l12281=0 注:本例求解过程说明对含有受控源的电路,方程列写需分两步: 7
3-7 7 例 3－3 列写图示电路的支路电流方程( 电路中含有理想电流源) 解 1:(1)对结点 a 列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0 (2)选两个网孔为独立回路，设电流源两端电压为 U ，列 KVL 方程： 7I1-11I2=70-U 11I2+7I3=U (3)由于多出一个未知量 U ，需增补一个方程： I2=6A 求解以上方程可得各支路电流。 解 2：由于支路电流 I2 已知，故只需列写两个方程： (1)对结点 a 列 KCL 方程： -I1-6+I3=0 (2)避开电流源支路取回路，如图 b 选大回路列 KVL 方程： 7I1-7I3=70 解法 2 示意图 注：本例说明对含有理想电流源的电路，列写支路电流方程有两种方法，一是设 电流源两端电压，把电流源看作电压源来列写方程，然后增补一个方程，即令电流源所 在支路电流等于电流源的电流即可。另一方法是避开电流源所在支路例方程，把电流源 所在支路的电流作为已知。 例 3－4 列写图示电路的支路电流方程( 电路中含有受控源) 解：(1)对结点 a 列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0 (2)选两个网孔为独立回路，列 KVL 方程： 7I1-11I2=70-5U 11I2+7I3=5U (3)由于受控源的控制量 U 是未知量，需增补一个方程：U =7I3 (4)整理以上方程，消去控制量 U -I1-I2+I3=0 7I1-11I2+35I3=70 11I2-28I3=0 注：本例求解过程说明对含有受控源的电路，方程列写需分两步：
(1)先将受控源看作独立源列方程 (2)将控制量用支路电流表示,并代入所列的方程,消去控制变量
3-8 8 (1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用支路电流表示，并代入所列的方程，消去控制变量
回路电流法 回路电流法的基本思想: 为减少未知量(方程)的个数,假想每个基本回路中有一个回路电流沿着构成该 回路的各支路流动。各支路电流用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解 1.回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为 未知量时,称网孔法。 R1 R inOr b 1)支路电流与回路电流的关系 上图所示电路有两个独立回路,选两个网孔为独立回路,设网孔电流沿顺时针方向 流动,如图所示。可以清楚的看出,当某支路只属于某一回路(或网孔),那么该支路电 流就等于该回路(网孔)电流,如果某支路属于两个回路(或网孔)所共有,则该支路 电流就等于流经该支路两回路(网孔)电流的代数和。如上图电路中 I-In 3-in 22-In-In 2)回路电流法列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的,对每个相关节点回路电流流进一次,必流出一次, 所以回路电流自动满足KCL。因此回路电流法是对基本回路列写KⅥL方程,方程数为: b-(n-1)与支路电流法相比,方程数减少n-1个 2方程的列写 应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电 压方程。以上图电路为例列写网孔的KVL方程,并从中归纳总结出简便列写回路KV方 程的方法。 按网孔列写KVL方程如下: 网孔1:R1i1+R2(i1-in2)L31+ux2=0 网孔2:R2(2-1)+R32-u 将以上方程按未知量顺序排列整理得: (RI+R)irR in=usi-H52 R2 ln+(R2+R3)i1=U52 观察方程可以看出如下规律
3-9 9 §3－4 回路电流法 回路电流法的基本思想： 为减少未知量 ( 方程 ) 的个数，假想每个基本回路中有一个回路电流沿着构成该 回路的各支路流动。各支路电流用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。 1. 回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为 未知量时，称网孔法。 1）支路电流与回路电流的关系 上图所示电路有两个独立回路，选两个网孔为独立回路，设网孔电流沿顺时针方向 流动，如图所示。可以清楚的看出，当某支路只属于某一回路（或网孔），那么该支路电 流就等于该回路（网孔）电流，如果某支路属于两个回路（或网孔）所共有，则该支路 电流就等于流经该支路两回路（网孔）电流的代数和。如上图电路中： 2）回路电流法列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点回路电流流进一次，必流出一次， 所以回路电流自动满足 KCL。因此回路电流法是对基本回路列写 KVL 方程，方程数为： b-(n-1) 与支路电流法相比，方程数减少 n-1 个。 2.方程的列写 应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电 压方程。以上图电路为例列写网孔的 KVL 方程，并从中归纳总结出简便列写回路 KV 方 程的方法。 按网孔列写 KVL 方程如下： 网孔 1：R1 il1 + R2 (il1- il2 )-us1+us2=0 网孔 2： 将以上方程按未知量顺序排列整理得： (R1 +R2) il1- R2 il2=us1-us2 - R2 il1+(R2 + R3)il2= us2 观察方程可以看出如下规律：
第一个等式中,i前的系数(R1+R)是网孔1中所有电阻之和,称它为网孔1的自 电阻,用R1表示;i前的系数R2是网孔1和网孔2公共支路上的电阻,称它为两个网 孔的互电阻,用R1表示,由于流过R2的两个网孔电流方向相反,故R2前为负号;等式 右端L1-ll2表示网孔1中电压源的代数和,用L31表示,21中各电压源的取号法则是, 电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号,反之取正号。用同样的方法可以 得出等式2中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为: 自电阻R2=(R2+R)互电阻R1=R2等效电压源1422l2 由此得回路(网孔)电流方程的标准形式: R1im+R12l2=L211 R2I int R22ln=u,22 结论:对于具有l=b-(n-1)个基本回路的电路,回路(网孔)电流方程的标准形式 R1in+R12i2+…R1i=Lu R2i int R22lut,. Rain=u,22 Rtin+R2l12+…R1LF=L 其中:自电阻Rk为正; 互电阻Rk=R可正可负,当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正,反之为负 等效电压源sk中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时,取负号;反之取正号。 注:当电路不含受控源时,回路电流方程的系数矩阵为对称阵。 回路法的一般步骤 (1)选定l=b-(m-1)个基本回路,并确定其绕行方向; (2)对1个基本回路,以回路电流为未知量,列写KVL方程 (3)求解上述方程,得到l个回路电流 (4)求各支路电流(用回路电流表示) (5)其它分析。 注:电路中含有理想电流源和受控源时,回路方程的列写参见例题 3.回路法的应用 例3一5列写如下电路的回路电流方程,说明如何求解电流i
3-10 10 第一个等式中，il1 前的系数(R1 +R2)是网孔 1 中所有电阻之和，称它为网孔 1 的自 电阻，用 R11表示；il2 前的系数-R2是网孔 1 和网孔 2 公共支路上的电阻，称它为两个网 孔的互电阻，用 R12 表示，由于流过 R2的两个网孔电流方向相反，故 R2前为负号；等式 右端 us1-us2表示网孔 1 中电压源的代数和，用 us11表示，us11中各电压源的取号法则是， 电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号，反之取正号。用同样的方法可以 得出等式 2 中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为： 自电阻 R22= (R2 + R3) 互电阻 R21= - R2 等效电压源 由此得回路（网孔）电流方程的标准形式： R11 il1+ R12il2= us11 R21 il1+ R22il2= us22 结论：对于具有 l=b-(n -1) 个基本回路的电路，回路（网孔）电流方程的标准形式: R11 il1+ R12il2+···R1l il l= us11 R21 il1+ R22il2+···R2l il l = us22 ··· Rl1 il1+ Rl2il2+···Rll il l= usll 其中: 自电阻 Rkk 为正； 互电阻 Rjk＝Rkj可正可负，当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正，反之为负； 等效电压源 uSkk 中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时，取负号；反之取正号。 注：当电路不含受控源时，回路电流方程的系数矩阵为对称阵。 回路法的一般步骤： (1) 选定 l=b-(n -1)个基本回路，并确定其绕行方向； (2) 对 l 个基本回路，以回路电流为未知量，列写 KVL 方程； (3) 求解上述方程，得到 l 个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示 ) ； (5) 其它分析。 注：电路中含有理想电流源和受控源时，回路方程的列写参见例题。 3.回路法的应用 例 3－5 列写如下电路的回路电流方程，说明如何求解电流 i