第十章含有耦合电感电路 教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用 二、教学重点与难点 1.教学重点:(1).互感和互感电压的概念及同名端的含义 (2).含有互感电路的计算 (3).空心变压器和理想变压器的电路模型 2.教学难点:(1).耦合电感的同名端及互感电压极性的确定; (2).含有耦合电感的电路的方程 (3).含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系: 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排 总学时:4 教学内容 学时 1.互感、含有耦合电感电路的计算 2 2.空心变压器、理想变压器 五、教学内容
第十章 含有耦合电感电路 一、 教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).互感和互感电压的概念及同名端的含义； (2). 含有互感电路的计算 (3). 空心变压器和理想变压器的电路模型 2．教学难点：(1). 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； (2). 含有耦合电感的电路的方程 (3). 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时 1．互感、含有耦合电感电路的计算 2 2．空心变压器、理想变压器 2 五、教学内容
§10.1互感 耦合电感元件属于多端元件,在实际电路中,如收音机、电视机中的中周线 圈、振荡线圈,整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件,熟悉这类多端元 件的特性,掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1.互感 三三三三≡三三三三 图10.1 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合,如图10.1所示,当线圈1中通 电流i时,不仅在线圈1中产生磁通φ1,同时,有部分磁通φa1穿过临近线圈 2,同理,若在线圈2中通电流i2时,不仅在线圈2中产生磁通中2,同时,有 部分磁通φ12穿过线圈1,φ12和φa称为互感磁通。定义互磁链 中12=M中12 2!=M中2 当周围空间是各向同性的线性磁介质时,磁通链与产生它的施感电流成正 比,即有自感磁通链 v1=L1y2=L2 互感磁通链 12y2=M211 上式中M2和M1称为互感系数,单位为(H)。当两个线圈都有电流时, 每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和: v1=v1+v12=11±M12 v2=v2+v21=L2±M21 需要指出的是: 1)M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关,与线圈中的电流无关, 因此,满足M12=M1=M 2)自感系数L总为正值,互感系数M值有正有负。正值表示自感磁链与 互感磁链方向一致,互感起增助作用,负值表示自感磁链与互感磁链方向相反, 互感起削弱作用 2.耦合因数 工程上用耦合因数k来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度,定义
§10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线 圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元 件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 图 10.1 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图 10.1 所示，当线圈 1 中通 电流 i1时，不仅在线圈 1 中产生磁通 φ11，同时，有部分磁通 φ21穿过临近线圈 2，同理，若在线圈 2 中通电流 i2 时，不仅在线圈 2 中产生磁通 φ22，同时，有 部分磁通 φ12穿过线圈 1，φ12和 φ21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12 ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正 比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12 和 M21 称为 互感系数，单位为（H）。 当两个线圈都有电流时， 每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关， 因此，满足 M 12 =M21 =M ２）自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与 互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反， 互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数 k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 定义
般有 △2)(△2) √22V42y242w2 当k=1称全耦合,没有漏磁,满足f1=f2,f2=fi2。 耦合因数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3.耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时,磁通也将随时间变化,从而在线圈两端产生感应电 压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为: dy dyu, dyn2 di ±M t dy2 du 22 dyr 工2-±M dt 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中,其相量形式的方程为 U1=jnl1±jaM2 U2=±jali1+i)Ll 注意:当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时,称为互感的“增助” 作用,互感电压取正;否则取负。以上说明互感电压的正、负: (1)与电流的参考方向有关。 (2)与线圈的相对位置和绕向有关。 4.互感线圈的同名端 由于产生互感电压的电流在另一线圈上,因此,要确定互感电压的符号,就 必须知道两个线圈的绕向,这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同 名端的概念。 同名端:当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时,若产生 的磁通相互增强,则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端,用小圆点或星号
一般有： 当 k =1 称全耦合，没有漏磁，满足 f11 = f21 ， f22 = f12 。 耦合因数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电 压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意： 当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助” 作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： （ 1 ）与电流的参考方向有关。 （ 2 ）与线圈的相对位置和绕向有关。 4. 互感线圈的同名端 由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就 必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同 名端的概念。 同名端: 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生 的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号
等符号标记。 例如图10.2中线圈1和线圈2用小圆点标示的端子为同名端,当电流从 这两端子同时流入或流出时,则互感起相助作用。同理,线圈1和线圈3用星 号标示的端子为同名端。线圈2和线圈3用三角标示的端子为同名端。 +E11 图10.2 注意:上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时,同名端必须两两线 圈分别标定 根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为 (1)当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时,两个电流产生的磁场将 相互增强。 (2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时,将会引起另一线圈 相应同名端的电位升高。 两线圈同名端的实验测定:实验线路如图10.3所示,当开关S闭合时, 线圈1中流入星号一端的电流i增加,在线圈2的星号一端产生互感电压的 正极,则电压表正偏。 RS 图10.3 有了同名端,以后表示两个线圈相互作用,就不再考虑实际绕向,而只画出 同名端及电流和电压的参考方向即可,如图10.4所示。根据标定的同名端和电 流、电压参考方向可知
等符号标记。 例如图 10.2 中线圈 1 和线圈 2 用小圆点标示的端子为同名端，当电流从 这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。同理，线圈 1 和线圈 3 用星 号标示的端子为同名端。线圈 2 和线圈 3 用三角标示的端子为同名端。 图 10.2 注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线 圈分别标定。 根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为： (1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将 相互增强。 (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈 相应同名端的电位升高。 两线圈同名端的实验测定：实验线路如图 10.3 所示，当开关 S 闭合时， 线圈 1 中流入星号一端的电流 i 增加，在线圈 2 的星号一端产生互感电压的 正极，则电压表正偏。 图 10.3 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出 同名端及电流和电压的参考方向即可，如图 10.4 所示。根据标定的同名端和电 流、电压参考方向可知：
M 1 l2 图10.4(a) 图10.4 M d1 d1 (a)图 (b)图 例10-1如图所示(a)、(b)、(c)、(d)四个互感线圈,已知同名端和 各线圈上电压电流参考方向,试写出每一互感线圈上的电压电流关系。 41 Li 例10-1图(a)例10-1图(b) 13L2 例10-1图(c)例10-1图(d) 解:(a)4=4+M2=M难+ di di 41-M M-+ dt dt dt dt 4n+M dt dt d M (d) dt dt at dt 例10-2电路如图(a)所示,图(b)为电流源波形。 已知:=109,1=5,2=21,M=1H,求()和
图 10.4 （ a ） 图 10.4（ b ） （ a ）图 （ b ）图 例 10-1 如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和 各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。 例 10-1 图（a） 例 10-1 图（b） 例 10-1 图（c） 例 10-1 图（d） 解：（a） （b） （c） （d） 例 10-2 电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。 已知：
A 10 R R2 L 0 12 例10-2图(a) 例10-2图(a)(b) 解:根据电流源波形,写出其函数表示式为 Ot 20-10t1≤t≤2s 2≤t 该电流在线圈2中引起互感电压 100≤t≤1s 2()=Mx=-101st≤2 对线圈1应用KⅥ,得电流源电压为: 100t+500≤t≤ls ()=R3 100t+1501<t≤ 2≤t
例 10-2 图 （a） 例 10-2 图 （a）（b） 解：根据电流源波形，写出其函数表示式为： 该电流在线圈 2 中引起互感电压： 对线圈 1 应用 KVL ，得电流源电压为：
§10.2含有耦合电感电路的计算 含有耦合电感(简称互感)电路的计算要注意 (1)在正弦稳态情况下,有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析 方法 (2)注意互感线圈上的电压除自感电压外,还应包含互感电压。 (3)一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路 电流有关,还与其他某些支路电流有关,若列结点电压方程会遇到困难,要另行 处理 1.耦合电感的串联 (1)顺向串联 图10.5所示电路为耦合电感的串联电路,由于互感起“增助”作用,称为 顺向串联 R l L 图10.5 图10.6 按图示电压、电流的参考方向,KⅥL方程为: u=Ri+ ndf+mdt+l2 df+Mdt+ri (R+R)+(+2+2)=R+y冰 根据上述方程可以给出图10.6所示的无互感等效电路。等效电路的参数 为 R=R+R2 L=l+ l2+2M (2)反向串联 图10.7所示的耦合电感的串联电路,由于互感起“削弱”作用,称为反向 串联
§10.2 含有耦合电感电路的计算 含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意： (1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析 方法。 (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。 (3) 一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路 电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行 处理。 1. 耦合电感的串联 （1） 顺向串联 图 10.5 所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为 顺向串联。 图 10.5 图 10.6 按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 根据上述方程可以给出图 10.6 所示的无互感等效电路。等效电路的参数 为： （2） 反向串联 图 10.7 所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向 串联
R R 图10.7 按图示电压、电流的参考方向,KⅥL方程为: =R+1m-M+1 +R21 (+R)+(L1+L2-2M1)=R+L 根据上述方程也可以给出图10.6所示的无互感(去耦)等效电路。但等效 电路的参数为 R=R1+B2L=2+L2-2M 在正弦稳态激励下,应用相量分析,图10.5和图10.7的相量模型如图 10.8所示 R 4? JoM joM jol, R,. jolt R, 图10.8(a) 图10.8(b) 图(a)的KⅥL方程为:U=U1+U2=[B1+B2+D(1+h+2) 输入阻抗为 Z=R+R+ja(L+L+2M) 可以看出耦合电感顺向串联时,等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时 的相量图如图10.9所示 oMI RI R2I 图10.9 图10.10 图(b)的KL方程为:U=U1+U2=[R1+R2+ja(1+L2-2M)]
图 10.7 按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 根据上述方程也可以给出图 10.6 所示的无互感（去耦）等效电路。但等效 电路的参数为： 在正弦稳态激励下，应用相量分析，图 10.5 和图 10.7 的相量模型如图 10.8 所示。 图 10.8 （ a ） 图 10.8（ b ） 图（a）的 KVL 方程为： 输入阻抗为： 可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时 的相量图如图 10.9 所示。 图 10.9 图 10.10 图（b）的 KVL 方程为：
输入阻抗为:2=+B1+10(1+2-2M 可以看出耦合电感反向串联时,等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时 的相量图如图10.10所示 注意 (1)互感不大于两个自感的算术平均值,整个电路仍呈感性,即满足关 系 L=4+L2-2M20s(+2) (2)根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法:把两线圈顺接一次,反 接一次,则互感系数为:4= 2.耦合电感的并联 (1)同侧并联 图10.11为耦合电感的并联电路,由于同名端连接在同一个结点上,称为 同侧串联 根据KⅥL得同侧并联电路的方程为: L2-2+M 由于i=i1+i2 (LL2-M)di 解得u,i的关系 1+L2-2Md i+ i2 图 图10.12 根据上述方程可以给出图10.12所示的无互感等效电路,其等效电感为: =(41L2-M +L-2 (2)异侧并联 图10.13中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上,故称为异侧并联
输入阻抗为： 可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时 的相量图如图 10.10 所示。 注意： （1） 互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关 系： （2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反 接一次，则互感系数为： 2. 耦合电感的并联 （1）同侧并联 图 10.11 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为 同侧串联。 根据 KVL 得同侧并联电路的方程为： 由于 i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 图 10.11 图 10.12 根据上述方程可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： （2） 异侧并联 图 10.13 中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联
此时电路的方程为:4=kx 图10 考虑到:i=i+i2 (L1L2-M2) 解得u,i的关系 根据上述方程也可以给出图10.12所示的无互感等效电路,其等效电感为: (1L2-M2) 1+L2+2M 3.耦合电感的T型去耦等效 如果耦合电感的2条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的 共同结点如图10.14所示,称为耦合电感的T型联接。显然耦合电感的并联也 属于T型联接。 (1)同名端为共端的T型去耦等效 jo(L-M) jo(L,-) L joM 图10.14 图10.15 图10.14的电路为同名端为共端的T型联接。根据所标电压、电流的参考 方向得: U13=jal 11+ jaM l2=jo(4-M)11+jaM 2 723=jaL 12+jaM l1=ja(22-M)12+ jaM 2 由上述方程可得图10.15所示的无互感等效电路
图 10.13 此时电路的方程为： 考虑到： i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 根据上述方程也可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： 3. 耦合电感的 T 型去耦等效 如果耦合电感的 2 条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的 共同结点如图 10.14 所示，称为耦合电感的 T 型联接。显然耦合电感的并联也 属于 T 型联接。 （1） 同名端为共端的 T 型去耦等效 图 10.14 图 10.15 图 10.14 的电路为同名端为共端的 T 型联接。根据所标电压、电流的参考 方向得： 由上述方程可得图 10.15 所示的无互感等效电路