中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第一章随机过程及其分类 在概率论中,我们研究了随机变量,n维随机向量。在极限 定理中我们研究了无穷多个随机变量,但局限在它们相互独立的 情形。将上述情形加以推广,即研究一族无穷多个、相互有关的 随机变量,这就是随机过程。 1.随机过程的概念 定义:设(9ΣP)是一概率空间,对每一个参数t∈T,X(t,o) 是一定义在概率空间(g,Σ,P)上的随机变量,则称随机变量族 X1={X(1,0),t∈7}为该概率空间上的一随机过程。其中TcR是 实数集,称为指标集或参数集。 随机过程的两种描述方法: 用映射表示X, X(t,O):T×→>R 即x(,)是一定义在T×g上的二元单值函数,固定t∈T,X(t,)是 定义在样本空间g上的函数,即为一随机变量;对于固定的 O∈Ω,X(,O)是一个关于参数t∈T的函数,通常称为样本函数, 或称随机过程的一次实现。记号X(t,O)有时记为X(o)或简记为 X(t) 参数T一般表示时间或空间。参数常用的一般有:(1) T=N={0,12,…};(2)T=和0±1,+2…};(3)T=[a,b,其中a可
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第一章 随机过程及其分类 在概率论中,我们研究了随机变量, n 维随机向量。在极限 定理中我们研究了无穷多个随机变量,但局限在它们相互独立的 情形。将上述情形加以推广,即研究一族无穷多个、相互有关的 随机变量,这就是随机过程。 1. 随机过程的概念 定义:设 (, , P) 是一概率空间,对每一个参数 t T , X (t,) 是一定义在概率空间 (, , P) 上的随机变量,则称随机变量族 X {X (t, ); t T} T = 为该概率空间上的一随机过程。其中 T R 是 一实数集,称为指标集或参数集。 随机过程的两种描述方法: 用映射表示 XT , X(t,): T → R 即 X ( , ) 是一定义在 T 上的二元单值函数,固定 t T , X (t, ) 是 一定义在样本空间 上的函数,即为一随机变量;对于固定的 , X ( ,) 是一个关于参数 t T 的函数,通常称为样本函数, 或称随机过程的一次实现。记号 X (t,) 有时记为 () Xt 或简记为 X (t)。 参数 T 一般表示时间或空间。参数常用的一般有:(1) {0,1,2, } T = N0 = ;(2) T ={0,1,2, } ;(3) T =[a,b] ,其中 a 可
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 以取0或-∞,b可以取+∞。当参数取可列集时,一般称随机过 程为随机序列。 随机过程{X(,t∈T}可能取值的全体所构成的集合称为此随 机过程的状态空间,记作S。S中的元素称为状态。状态空间可 以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。 例1:抛掷一枚硬币,样本空间为S={H,},现借此定义: X()=oszt,当出现H时 2,当出现T时 t∈(-∞,+∞) 其中P{H}=P{T}=1/2,则{X(t),t∈(-∞,+∞)}是一随机过程。试 考察其样本函数和状态空间。 例2:设 X(1)=Acos(ot+b),t∈(-∞,+∞) 其中A和o是正常数,O~U(0,2)。试考察其样本函数和状态空 间 例3:质点在直线上的随机游动,令X为质点在n时刻时所 处的位置,试考察其样本函数和状态空间。 例4:考察某“服务站”在[0,上到达的“顾客”数,记为N(t), 则{N(功),t≥0}是一随机过程,试考察其样本函数和状态空间。若 记S为第n个“顾客”到达的时刻,则{Sn,n=12,…}为一随机序 列,我们自然要关心{Sn,n=1,2,…的情况以及它与{N(,t≥0}的 关系,这时要将两个随机过程作为一个整体来研究其概率特性 例5:布朗运动
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 以取 0 或 − , b 可以取 + 。当参数取可列集时,一般称随机过 程为随机序列。 随机过程 {X(t); t T} 可能取值的全体所构成的集合称为此随 机过程的状态空间,记作 S 。S 中的元素称为状态。状态空间可 以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。 例 1:抛掷一枚硬币,样本空间为 S ={H,T} ,现借此定义: = , 当出现 时 当出现 时 2 T cos , H ( ) t t X t t (− , + ) 其中 P{H}= P{T}=1/ 2 ,则 {X(t), t (−,+ )} 是一随机过程。试 考察其样本函数和状态空间。 例 2:设 X(t) = Acos(t +), t (−,+ ) 其中 A 和 是正常数, ~U(0,2) 。试考察其样本函数和状态空 间。 例 3:质点在直线上的随机游动,令 X n 为质点在 n 时刻时所 处的位置,试考察其样本函数和状态空间。 例 4:考察某“服务站”在 [0, t] 上到达的“顾客”数,记为 N(t) , 则 {N(t), t 0} 是一随机过程,试考察其样本函数和状态空间。若 记 S n 为第 n 个“顾客”到达的时刻,则 {S , n =1,2, } n 为一随机序 列,我们自然要关心 {S , n =1,2, } n 的情况以及它与 {N(t), t 0} 的 关系,这时要将两个随机过程作为一个整体来研究其概率特性。 例 5:布朗运动
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 2.随机过程的分类 随机过程的分类一般有两种方法:(1)以参数集和状态空间 的特征来分类;(2)以统计特征或概率特征来分类。我们分述如 下 (一)以参数集和状态空间的特性分类: 以参数集T的性质,随机过程可分为两大类:(1)T可列;(2) T不可列。 以状态空间S的性质,即X()所取的值的特征,随机过程也可 以分为两大类:(1)离散状态,即X(1)所取的值是离散的;(2) 连续状态,即X(1)所取的值是连续的。 由此可将随机过程分为以下四类: (a)离散参数离散型随机过程; (b)连续参数离散型随机过程 (c)连续参数连续型随机过程; (d)离散参数连续型随机过程。 (二)以随机过程的统计特征或概率特征分类: 以随机过程的统计特征或概率特征的分类,一般有以下一些: (a)独立增量过程; (b) Markov过程;
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 2. 随机过程的分类 随机过程的分类一般有两种方法:(1)以参数集和状态空间 的特征来分类;(2)以统计特征或概率特征来分类。我们分述如 下: (一) 以参数集和状态空间的特性分类: 以参数集 T 的性质,随机过程可分为两大类:(1) T 可列;(2) T 不可列。 以状态空间 S 的性质,即 X (t) 所取的值的特征,随机过程也可 以分为两大类:(1)离散状态,即 X (t) 所取的值是离散的;(2) 连续状态,即 X (t) 所取的值是连续的。 由此可将随机过程分为以下四类: (a) 离散参数离散型随机过程; (b) 连续参数离散型随机过程; (c) 连续参数连续型随机过程; (d) 离散参数连续型随机过程。 (二) 以随机过程的统计特征或概率特征分类: 以随机过程的统计特征或概率特征的分类,一般有以下一些: (a) 独立增量过程; (b) Markov 过程;
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 (c)二阶矩过程; (d)平稳过程; (e)鞅 (f)更新过程 (g) Poission过程 (h)维纳过程。 以上对随机过程的分类并不是独立的,比如,我们以后要讨 论的 Markov过程,就有参数离散状态空间离散的 Markov过程, 即 Markov链,也要讨论参数连续状态离散的 Markov过程,即 纯不连续的 Markov过程。下面几章我们将研究几种重要的、应 用非常广泛的随机过程。 3.随机过程的数字特征 (一)单个随机过程的情形 设{X(),t∈T}是一随机过程,为了刻画它的统计特征,通常要 用到随机过程的数字特征,即随机过程的均值函数、方差函数、 协方差函数和相关函数。下面我们给出它们的定义 (a)均值函数:随机过程{X();t∈T}的均值函数定义为:(假 设是存在的) 12(t)=m(1)=E{X(D)} (b)方差函数:随机过程{X(1),t∈T}的方差函数定义为:(假 设是存在的)
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 (c) 二阶矩过程; (d) 平稳过程; (e) 鞅; (f) 更新过程; (g) Poission 过程; (h) 维纳过程。 以上对随机过程的分类并不是独立的,比如,我们以后要讨 论的 Markov过程,就有参数离散状态空间离散的 Markov过程, 即 Markov 链,也要讨论参数连续状态离散的 Markov 过程,即 纯不连续的 Markov 过程。下面几章我们将研究几种重要的、应 用非常广泛的随机过程。 3. 随机过程的数字特征 (一)单个随机过程的情形 设 {X(t); t T} 是一随机过程,为了刻画它的统计特征,通常要 用到随机过程的数字特征,即随机过程的均值函数、方差函数、 协方差函数和相关函数。下面我们给出它们的定义。 (a) 均值函数:随机过程 {X(t); t T} 的均值函数定义为:(假 设是存在的) (t) ˆ m(t) E{X (t)} X = = (b) 方差函数:随机过程 {X(t); t T} 的方差函数定义为:(假 设是存在的)
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 (t)=D(t)=E{[Y(t)-2()2 (c)(自)协方差函数:随机过程{X(t),t∈T}的(自)协方 差函数定义为 Cx(S,D)E{[X(s)-4x(s)[X(t)-42()} (d)(自)相关函数:随机过程{X(1),t∈T}的(自)相关函 数定义为: R (s, t)=EX(SX(t) (e)特征函数:记: 中2(u2,2,…,lnt1212…,tn)=E!exp{v1X(t1)+…+unX(tn)}} 称{(u,u12…,un;t,l2…,tn),t,l2,…,tn∈T,n21}为随机过程 X(1),t∈T的有限维特征函数族。 数字特征之间的关系 Cx(S,1)=E{LX(s)-12(s)川X(t)-2()} E{X(s)X()}-42(s)·12(t) =R1(S,1)-x(s)p2() x()=D3(1)=Cx(t,D)=Rx(11)-[2(D) 例6:考察上面的例1,(1)写出X(1)的一维分布列 X(1/2),X(1);(2)写出X()的二维分布列(X(12),X();(3)求 该过程的均值函数和相关函数。 例7:求例2中随机过程的均值函数和相关函数。 (二)两个随机过程的情形 设{X(1),t∈7}、{Y();t∈T}是两个随机过程,它们具有相同的 参数集,对于它们的数字特征,除了有它们自己的数字特征外
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 ( ) ˆ ( ) {[ ( ) ( )] } 2 2 t D t E X t t X = X = − X (c) (自)协方差函数:随机过程 {X(t); t T} 的(自)协方 差函数定义为: C (s,t) ˆ E{[X (s) (s)][X (t) (t)]} X = − X − X (d) (自)相关函数:随机过程 {X(t); t T} 的(自)相关函 数定义为: R (s,t) ˆ E{X (s)X (t)} X = (e) 特征函数:记: ( , , , ; , , , ) ˆ {exp{ [ ( ) ( )]}} X 1 2 n 1 2 n 1 1 n n u u u t t t = E j u X t ++ u X t 称 X (u1 ,u2 , ,u n ; t 1 ,t 2 , ,t n ), t 1 ,t 2 , ,t n T, n 1 为 随 机 过 程 {X(t); t T} 的有限维特征函数族。 数字特征之间的关系: ( , ) ( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( , ) ˆ {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} R s t s t E X s X t s t C s t E X s s X t t X X X X X X X X = − = − = − − 2 2 (t) D (t) C (t,t) R (t,t) [ (t)] X = X = X = X − X 例 6:考察上面的例 1,( 1)写出 X (t) 的一维分布列 X(1/ 2), X (1) ;(2)写出 X (t) 的二维分布列 (X(1/ 2), X(1)) ;(3)求 该过程的均值函数和相关函数。 例 7:求例 2 中随机过程的均值函数和相关函数。 (二) 两个随机过程的情形 设 {X(t); t T}、{Y(t); t T} 是两个随机过程,它们具有相同的 参数集,对于它们的数字特征,除了有它们自己的数字特征外
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 我们还有: (a)互协方差函数:随机过程{X(t),t∈T和{Y(,t∈T}的互 协方差函数定义为: Cx(S,D)=E{[LX(s)-2(s)Y(1)-1()} (b)互相关函数:随机过程{X(,t∈T}和{(1,t∈T}的互相 关函数定义为: Rx(s, t=EX(s)r(t) 互协方差函数和互相关函数有以下的关系: Cx2(S,D)=R3(S,1)-2(s)·H(D) 如果两个随机过程{X()t∈T}和{Y(1),t∈T},对于任意的两个 参数st∈T,有 C(S,)=0 或 Rxy(s,1)=(s)·H2(1)=E{X(s)}·E{Y()} 则称随机过程{X(1)t∈T}和{Y(1)t∈T}是统计不相关的或不相关 的 (三)有限维分布族 设{X(1),t∈T}是一随机过程,对于n∈N,t∈T(1≤i≤n),记 ;t1,t2,…,tn) P{X(1)≤x1X(t2)≤x2…;X(tn)≤xn} 其全体
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 我们还有: (a) 互协方差函数:随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 的互 协方差函数定义为: C (s,t) ˆ E{[X (s) (s)][Y(t) (t)]} XY = − X − Y (b) 互相关函数:随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 的互相 关函数定义为: R (s,t) ˆ E{X (s)Y(t)} XY = 互协方差函数和互相关函数有以下的关系: C (s,t) R (s,t) (s) (t) XY XY X Y = − 如果两个随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} ,对于任意的两个 参数 s,tT ,有 CXY (s,t) = 0 或 R (s,t) (s) (t) E{X (s)} E{Y(t)} XY X Y = = 则称随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 是统计不相关的或不相关 的。 (三) 有限维分布族 设 {X(t); t T} 是一随机过程,对于 n N , t T (1 i n) i ,记 { ( ) , ( ) , , ( ) } ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n X n n P X t x X t x X t x F x x x t t t = 其全体
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 F(x1x2…xn;t,12…n),t1,12…tn∈T,n≥1} 称为随机过程{X(,t∈T}的有限维分布族。它具有以下的性质: (1)对称性:对(1,2…,n)的任意排列(i,2…,),则有 Fx(x,x2…,xn;41,12…;t)=Fx(x1,x12…,x;th,t2?…) (2)相容性:对于m<n,有: F2( +∞,…+∞,t1,t2…tn,tn12…,tn) F(x12x2,…,xn;t1,t2…tn) 注1:随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定 注2:有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定 问题:一个随机过程{X(1)t∈n的有限维分布族,是否描述了 该过程的全部概率特性? 定理:( Kolmogorov存在性定理) 设分布函数族{F(x,x2…xn;l,l2…,tn,l,2…,tn∈T,n≥1}满 足以上提到的对称性和相容性,则必有一随机过程{X(1),t∈T}, 使{F(x,x2…xn;,l2,…,1n)1,12…,n∈T,n≥1}恰好是{X(t)t∈T} 的有限维分布族,即: F(x1x2,…,x;t12…tn) =P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,…,X(tn)≤xn} 定理说明{X(1),t∈T}的有限维分布族包含了{X(1)t∈T}的所 有概率信息。 (四)两个随机过程的独立性
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 FX (x1 , x2 , , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n ), t 1 ,t 2 , ,t n T, n 1 称为随机过程 {X(t); t T} 的有限维分布族。它具有以下的性质: (1) 对称性:对 (1,2, ,n) 的任意排列 ( , , , ) 1 2 n j j j ,则有: ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 n 1 2 n X n n X j j j j j j F x x x t t t = F x x x t t t (2) 相容性:对于 m n ,有: ( , , , ; , , , ) ( , , , , , , ; , , , , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 X m m X m m m n F x x x t t t F x x x t t t t t = + + + 注 1:随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。 注 2:有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定。 问题:一个随机过程 {X(t); t T} 的有限维分布族,是否描述了 该过程的全部概率特性? 定理:(Kolmogorov 存在性定理) 设分布函数族 FX (x1 , x2 , , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n ), t 1 ,t 2 , ,t n T, n 1 满 足以上提到的对称性和相容性,则必有一随机过程 {X(t); t T} , 使 FX (x1 , x2 , , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n ), t 1 ,t 2 , ,t n T, n 1 恰好是 {X(t); t T} 的有限维分布族,即: { ( ) , ( ) , , ( ) } ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n X n n P X t x X t x X t x F x x x t t t = 定理说明 {X(t); t T} 的有限维分布族包含了 {X(t); t T} 的所 有概率信息。 (四)两个随机过程的独立性
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 设{(1),1∈7}、{Y(),t∈7}是两个随机过程,它们具有相同的 参数集,任取n,m∈N,以及t1,12…tn∈T,l12…l∈T,则称n+m 维随机向量(X(1)X(2)…,Y(n),Y(t),Y(t2)…,Y()的联合分布函 数 Fx(x,x2…xn;1,t2…,tn;y1,y2…,yn;l1,t2,…,tn) =P{X(t1)≤x12…,X(tn)≤xn,Y(t1)≤y,…,Y(tn)≤yn} 为随机过程{X(1.,t∈T和{Y(,t∈T}的n+m维联合分布函数 如果对于任取的nm∈N,以及任意的l1,l2…t∈T, t2…,t∈T,随机过程{X(1)t∈T}和{(1.,teT}的联合分布函数 满足 Fx(x,x2…,xn;1,t2…,tn;y,y2,…,yn;t,t2,…,rn) =F(x12x2…,xn,t1,t2…tn)·F(V1y2…,yn;l12t2…t) 则称随机过程{X();t∈T}和{(t),t∈T}是独立的。 注:随机过程{X()t∈T和{(1),t∈T}独立可以得到随机过程 X(1),t∈T和{Y(;t∈T}统计不相关,反之不对。但对于正态过 程来说是一样的,我们以后将看到。 4.δ-函数及离散型随机变量分布列的δ一函数表示 (1)δ一函数的定义及性质 定义:对于任意的无穷次可微的函数f(1),如果满足: o((0)dim」)f(o)dt 其中
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 设 {X(t); t T}、{Y(t); t T} 是两个随机过程,它们具有相同的 参数集,任取 n,mN ,以及 t 1 ,t 2 , ,t n T , t 1 ,t 2 , ,t m T ,则称 n + m 维随机向量 ( ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( )) 1 2 n 1 2 m X t X t X t Y t Y t Y t 的联合分布函 数: { ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) } ( , , , ; , , , ; , , , ; , , , ) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n m m XY n n n m P X t x X t x Y t y Y t y F x x x t t t y y y t t t = 为随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 的 n + m 维联合分布函数。 如果对于任 取 的 n,mN ,以及任意的 t 1 ,t 2 , ,t n T , t 1 ,t 2 , ,t m T ,随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 的联合分布函数 满足: ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ; , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 X n n Y n m XY n n n m F x x x t t t F y y y t t t F x x x t t t y y y t t t = 则称随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 是独立的。 注:随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 独立可以得到随机过程 {X(t); t T} 和 {Y(t); t T} 统计不相关,反之不对。但对于正态过 程来说是一样的,我们以后将看到。 4. -函数及离散型随机变量分布列的 -函数表示 (1) -函数的定义及性质 定义:对于任意的无穷次可微的函数 f (t) ,如果满足: + → − + − (t) f (t)dt = lim (t) f (t)dt 0 其中:
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 0.tE 则称δ(1)的弱极限为一函数,记为(t)。 显然,对于任意的E>0,有: 6()dt= 即 「()dt=1 注1:(1)在t=0点的取值为∞,在t≠0点的取值为0,并且满 足∫o(dr=1 注2:在工程上δ-函数也称为单位脉冲函数或单位冲激函 数 δ一函数的筛选性质: 若∫(t)为无穷次可微的函数,则有: ∫()f()dr=f() 其中/是包含点t=0的任意区间。特殊地,有: 6(1)f(dt=f(0) 更一般地,我们有 d(t-to)f(odt=f(to) (2)离散型随机变量分布列的δ一函数表示 设离散型随机变量X的分布列为:P{X=x}=pi=1,2
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = t t t t 0, , 0 1 0, 0 ( ) 则称 (t) 的弱极限为 -函数,记为 (t)。 显然,对于任意的 0 ,有: 1 1 ( ) 0 = = + − t dt dt 即 ( ) =1 + − t dt 注 1: (t) 在 t = 0 点的取值为 ,在 t 0 点的取值为 0 ,并且满 足 ( ) =1 + − t dt 。 注 2:在工程上 -函数也称为单位脉冲函数或单位冲激函 数。 -函数的筛选性质: 若 f (t) 为无穷次可微的函数,则有: (t) f (t)dt f (0) I = 其中 I 是包含点 t = 0 的任意区间。特殊地,有: (t) f (t)dt = f (0) + − 更一般地,我们有: ( ) ( ) ( ) 0 0 t − t f t dt = f t + − (2)离散型随机变量分布列的 -函数表示 设离散型随机变量 X 的分布列为: P{X = xi } = pi i =1,2,
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 则由δ一函数的筛选性质,我们可以定义随机变量x的分布密度 (离散型分布密度)为 f(x)=∑P(x-x) 因此,由δ一函数的筛选性质,随机变量X的分布函数为: (x)=PXsx}=∑p0(-x,)dm=∑p 注:离散型随机变量分布列的δ函数表示法在工程上是常 用的,它将离散分布列表示成了分布密度的形式,因此可以和连 续型随机变量的概率分布密度函数一样,可以进行统一处理。下 面的例子中我们将看到它的利用。 习题: 1、设随机向量(X,Y)的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布N(O,1)。 (a)分别写出随机变量X+Y和X-Y的分布密度 (b)试问:X+Y与X-Y是否独立?说明理由 2、设X和Y为独立的随机变量,期望和方差分别为,G2和山232 (a)试求Z=XY和X的相关系数 (b)z与X能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 3、设{X(1),t≥0}是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 E{X(s)X()}=B(t-s),S≤t,且是一个周期为T的函数,即B(z+T)=B(r),r≥0, 试求方差函数D[X(t)-X(t+m 4、考察两个谐波随机信号X()和Y(t),其中: X(O=Acos(@1+o), y(o=Bcoso 1)
中科院研究生院 2004~2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 则由 -函数的筛选性质,我们可以定义随机变量 X 的分布密度 (离散型分布密度)为: = = − 1 ( ) ( ) i i i f x p x x 因此,由 -函数的筛选性质,随机变量 X 的分布函数为: − = = = − = x x i x i i i i F x P X x p u x du p 1 ( ) { } ( ) 注:离散型随机变量分布列的 -函数表示法在工程上是常 用的,它将离散分布列表示成了分布密度的形式,因此可以和连 续型随机变量的概率分布密度函数一样,可以进行统一处理。下 面的例子中我们将看到它的利用。 习题: 1、设随机向量 (X,Y) 的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布 N(0,1) 。 (a)分别写出随机变量 X + Y 和 X − Y 的分布密度 (b)试问: X + Y 与 X − Y 是否独立?说明理由。 2、设 X 和 Y 为独立的随机变量,期望和方差分别为 2 1 1 , 和 2 2 2 , 。 (a)试求 Z = XY 和 X 的相关系数; (b) Z 与 X 能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 3、设 {X (t), t 0} 是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 E{X (s)X (t)} = B(t − s), s t ,且是一个周期为 T 的函数,即 B( + T) = B( ), 0 , 试求方差函数 D[X (t) − X (t + T)]。 4、考察两个谐波随机信号 X (t) 和 Y (t) ,其中: X(t) Acos( t ), Y(t) Bcos( t) = c + = c