中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 四、到达时间的条件分布 下面讨论在条件N(1)=n下,S,S2…,S,的条件分布问题。 定理:设{N()t≥0}为时齐 Poission过程,则对v0<s<t,有: {X≤s|N(t)=1} 证明: P(x≤N()=1)=2xXsA()=1= P{N(t)=1} PN(s)=1N()-N(s)=0}(4s)e”s P{N()=1} (2.s)e 定理:设{N(),t≥0}为 Poission过程,则事件相继发生的时间 S,S2…,S,在已知条件N(t)=n下的条件概率密度为 f(t12,…y)=1r 0<t,<t<…<t<t 其它 证明:对0<1<12<…<tn<tn1=t,取h=hn1=0及充分小的 h,使得1+h<tn1,1≤i≤n,则有: P1<S≤t+h1,1≤i≤nN()=n P{N(t1+h1)-N(t1)=1,1≤i≤n,N(t)-N(t1+h)=0,1≤j≤n PIN(=n (h1)e…(hn)e,e-() (t) hh2…h 因此可得定理的结果
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 四、 到达时间的条件分布 下面讨论在条件 N(t) = n 下， S S S n , , , 1 2 的条件分布问题。 定理：设 {N(t), t 0} 为时齐 Poission 过程，则对 0 s t ，有： t s P{X1 s N(t) =1} = 证明： t s s e s e e P N t P N s N t N s P N t P X s N t P X s N t t s t s = = = = − = = = = = = = − − − − ( ) ( ) { ( ) 1} { ( ) 1, ( ) ( ) 0} { ( ) 1} { , ( ) 1} { ( ) 1} ( ) 1 1 定理：设 {N(t), t 0} 为 Poission 过程，则事件相继发生的时间 S S S n , , , 1 2 在已知条件 N(t) = n 下的条件概率密度为 = 0 , 其它 , 0 ! ( , , , ) 1 2 1 2 t t t t t n f t t t n n n 证明：对 t t t t t 0 1 2 n n+1 = ，取 h0 = h n+1 = 0 及充分小的 i h ，使得 t i + hi t i+1 ,1 i n ，则有： n n t n h t h h h n h i i i j j j i i i i h h h t n e n t h e h e e P N t n P N t h N t i n N t N t h j n P t S t h i n N t n n n 1 2 ( ) 1 1 ! ! ( ) ( ) ( ) { ( ) } { ( ) ( ) 1,1 , ( ) ( ) 0,1 } { ,1 ( ) } 1 1 2 = = = + − = − + = = + = = − − − − − − − − + 因此可得定理的结果
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 本定理说明:在N(t)=n的条件下,事件相继发生的时间 S,S2…,S的条件分布与n个在[0n上相互独立同均匀分布的顺 序统计量的分布函数一样。 定理:设{N(1)t≥0}为计数过程,Xn为第n个事件与第n-1个 事件的时间间隔,{X,n≥独立同分布且F(x)=P{X≤x},若 F(0)=0且对v00 则{N(t),t20}为 Poission过程。 定理:设{N()t≥0}为计数过程,X为第n个事件与第n-1个 事件的时间间隔,{X。,n≥l}独立同分布且F(x)=P{X≤x},若 E{Xn}0 则{N(t),t≥0}为 Poission过程。 例:设到达火车站的顾客流遵循参数为A的 Poission流 N(,t≥0},火车时刻离开车站,求在0n到达车站的顾客等待 时间总和的期望值。 解:设第个顾客到达火车站的时刻为S,则0内到达车站 的顾客等待时间总和为 S()=∑(t-S) 因为
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 本定理说明：在 N(t) = n 的条件下，事件相继发生的时间 S S S n , , , 1 2 的条件分布与 n 个在 [0,t] 上相互独立同均匀分布的顺 序统计量的分布函数一样。 定理：设 {N(t), t 0} 为计数过程， X n 为第 n 个事件与第 n −1 个 事件的时间间隔， {X , n 1} n 独立同分布且 F(x) P{X x} = n ，若 F(0) = 0 且对 0 s t ，有 { 1 ( ) =1} = , t 0 t s P X s N t 则 {N(t), t 0} 为 Poission 过程。 定理：设 {N(t), t 0} 为计数过程， X n 为第 n 个事件与第 n −1 个 事件的时间间隔， {X , n 1} n 独立同分布且 F(x) P{X x} = n ，若 E{X n } , F(0) = 0 ，且对 0 s t ，有 { ( ) } , 0 = = t t s P S s N t n n n 则 {N(t), t 0} 为 Poission 过程。 例：设到达火车站的顾客流遵循参数为 的 Poission 流 {N(t), t 0} ，火车 t 时刻离开车站，求在 [0,t] 到达车站的顾客等待 时间总和的期望值。 解：设第 i 个顾客到达火车站的时刻为 i S ，则 [0,t] 内到达车站 的顾客等待时间总和为： = = − ( ) 1 ( ) ( ) N t i Si S t t 因为：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 E{S()|N(1)=n}=E{∑(t-S)N(1)=n} 况(t-S,)N()=n}=m-E{∑S nt nt 故: E{S(O)}=∑PN()=nE{∑(-=S)N(O)=n P{N(1)=n} E{N(t)}=t2 例:设一系统在[0,1]内受冲击的次数{N(),t≥0}是参数为λ 的齐次 Poission过程,第k次受冲击的损失为D,其中{D,k≥l} 是独立同分布并与{N(1),t≥0}独立,且损失随时间按负指数衰 减。t=0的衰减为D,经t时刻损失为De"(a>0为常数),设损 失可加,t时刻的总损失为()=∑De,其中S为第k次冲 击到达的时刻,试求Ef() 解:由于 E{5(1)N()=n}=E{∑DeN()=n} E∑De0N(t)=n E{D4|N(1)=n}E{e N =EDe"∑Ee|N(t)=r} 记H,F2…为[0,n上独立同均匀分布的随即变量,则有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 2 2 { ( ) ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } 1 1 ( ) 1 n t n t n t E t S N t n n t E S N t n E S t N t n E t S N t n n i i n i i N t i i = − = = − = = − = = = − = = = = = 故： 2 0 0 ( ) 1 2 { ( )} 2 2 { ( ) } { ( )} { ( ) } { ( ) ( ) } E N t t nt t P N t n E S t P N t n E t S N t n n n N t i i = = = = = = = − = = = = 例：设一系统在 [0, t] 内受冲击的次数 {N(t), t 0} 是参数为 的齐次 Poission 过程，第 k 次受冲击的损失为 Dk ，其中 {D , k 1} k 是独立同分布并与 {N(t), t 0} 独立，且损失随时间按负指数衰 减。 t = 0 的衰减为 D ，经 t 时刻损失为 t De− ( 0 为常数)，设损 失可加， t 时刻的总损失为 = − − = ( ) 1 ( ) ( ) N t k t S k k t D e ，其中 Sk 为第 k 次冲 击到达的时刻，试求 E(t)。 解：由于： = − = − − = − − = − − = = = = = = = = = = n k t S n k t S k n k t S k N t k t S k ED e E e N t n E D N t n E e N t n E D e N t n E t N t n E D e N t n k k k k 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) } 记 Y Y Y n , , , 1 2 为 [0, t] 上独立同均匀分布的随即变量，则有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 ∑E{e|N()=n}=E∑e“}=E∑e“}=ne 所以有: E{()N()=m}=[-e-"1ED 即有: E{(N()=N()1_-1,ED 故: ·ED E{5()}=EE{5(1)N)] 五、非齐次(时齐) Poission过程 定义:一计数过程{N(1),t≥0},称它为具有强度函数 ()>0,t≥0}的非齐次 Poission过程,若满足: (a)N(0)=0 (b)独立增量过程,即任取00,和充分小的△t>0,有 P{N(t+△t)-N(t)=1}=(t)t+o(△) P{N(t+△t)-N(t)≥2}=o(△) 其中A(t)>0(称为强度常数)
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 { ( ) } { } { } [ 1] 0 1 1 1 ( ) = = = = = − = = = t t x n k Y n k Y n k S e t n t d x E e N t n E e E e n e k k k 所以有： e ED t n E t N t n t = = − − { ( ) ( ) } [1 ] 即有： e ED t N t E t N t t = − − [1 ] ( ) { ( ) ( )} 故： { ( )} [ { ( ) ( )}] [1 ] t e ED E t E E t N t − − = = 五、 非齐次（时齐）Poission 过程 定 义 ： 一 计数 过 程 {N(t), t 0} ， 称 它 为 具有 强 度 函 数 {(t) 0, t 0} 的非齐次 Poission 过程，若满足： （a） N(0) = 0 （b）独立增量过程，即任取 n t t t 0 1 2 ， ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 − 1 n − n−1 N t N t N t N t N t 相互独立； （c）对任意 t 0 ，和充分小的 t 0 ，有： + − = + − = = + { ( ) ( ) 2} ( ) { ( ) ( ) 1} ( ) ( ) P N t t N t t P N t t N t t t t 其中 (t) 0 （称为强度常数）
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 记:m()=4(s)ds,则有 定理:若{N(),t≥0}为非时齐具有强度函数{(t)>0.,t≥0}的 Poission过程,则ys,t>0,有: PIN(S+D)-N(s=n=Im(s+t)-m(sre-dmf( #-mtsl(n=0) 定理:(变换定理) (a)设{N(,t≥0}为具有强度函数{()>0,t≥0}的非时齐 Poussin过程,令m(1)=2(),m()是m()的反函数(由于m(t) 单调增,反函数一定存在),记M(u)=N(m(a),则{M(a,≥0} 是时齐 Poission过程。 (b)设{M(u),u≥0}是时齐 Poission过程,参数A=1。若强 度函数{(s)>0,s≥0},令m(t)=「(s)ds,N()=M(Om(t),则 N(1),t≥0}是非时齐的具有强度函数{(s)>0,s≥0}的 Poission 过程 六、复合 Poission过程 定义:设{,i≥l}是独立同分布的随即变量序列,{N(1),t≥0} 为 Poission过程,且{N(t),t≥0}与{,il独立,记: X(1)=∑Y 称{X(t),t≥0}为复合 Poission过程。 物理意义:如{N(),t≥0}表示粒子流,N(t)表示[4内到达
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 记： = t m t s ds 0 ( ) ( ) ，则有： 定理：若 {N(t), t 0} 为非时齐具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的 Poission 过程，则 s,t 0 ，有： ( 0) ! ( ) ( ) { ( ) ( ) } [ ( ) ( )] + − + − = = − + − e n n m s t m s P N s t N s n m s t m s n 定理：（变换定理） （a）设 {N(t), t 0} 为具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的非时齐 Poission 过程，令 = t m t s ds 0 ( ) ( ) ， ( ) 1 m t − 是 m(t) 的反函数（由于 m(t) 单调增，反函数一定存在），记 ( ) ( ( )) 1 M u N m u − = ，则 {M(u), u 0} 是时齐 Poission 过程。 （b）设 {M(u), u 0} 是时齐 Poission 过程，参数 =1 。若强 度函数 {(s) 0, s 0} ， 令 = t m t s ds 0 ( ) ( ) ， N(t) = M(m(t)) ，则 {N(t), t 0} 是非时齐的具有强度函数 {(s) 0, s 0} 的 Poission 过程。 六、 复合 Poission 过程 定义：设 {Y , i 1} i 是独立同分布的随即变量序列， {N(t), t 0} 为 Poission 过程，且 {N(t), t 0} 与 {Y , i 1} i 独立，记： = = ( ) 1 ( ) N t i Yi X t 称 {X (t), t 0} 为复合 Poission 过程。 物理意义：如 {N(t), t 0} 表示粒子流， N(t) 表示 [0,t] 内到达
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 的粒子数,,表示第个粒子的能量,则X(1)表示0内到达的 粒子的总能量。若{N(1),t≥0}表示顾客流,Y表示第个顾客的 行李重量,则X(1)表示[0内到达的顾客的行李总重量。若某保 险公司买了人寿保险的人在时刻S,S2…,S,…死亡,在时刻Sn死 亡的人的保险金额是y,在[0,1内死亡的人数为N(t),则 ()=∑表示该公司在0内需要支付的赔偿金总额。 我们关心的是复合 Poission过程的一些数字特征。 定义:随机变量X的矩母函数定义为 ()=E{e"}=e"dF 若上面的积分存在。 如果X的k解中心矩存在,则有 E{X*}=p( 下面求复合 Poission过程{X(1),t≥0}的数学期望和方差。 先求X(1)的矩母函数 Pro(u)=eqe)=2PIN()=nEeN(O=ni ee ∑()e-E(e,+-+ nt) ∑ (EeB) 令Y~,的矩母函数为(m)=E{e"},则有: ()=∑ (t)” (E{e" [, (u)r {4t[() n
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 的粒子数， Yi 表示第 i 个粒子的能量，则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的 粒子的总能量。若 {N(t), t 0} 表示顾客流， Yi 表示第 i 个顾客的 行李重量，则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的顾客的行李总重量。若某保 险公司买了人寿保险的人在时刻 S1 ,S2 , ,S n , 死亡，在时刻 S n 死 亡的人的保险金额是 Y n ，在 [0,t] 内死亡的人数为 N(t) ，则 = = ( ) 1 ( ) N t i Yi X t 表示该公司在 [0,t] 内需要支付的赔偿金总额。 我们关心的是复合Poission过程的一些数字特征。 定义：随机变量 X 的矩母函数定义为： + − (t) = ˆ E{e }= e dF (x) X tX t x 若上面的积分存在。 如果 X 的 k 解中心矩存在，则有： { } (0) k (k ) E X = 下面求复合Poission过程 {X (t), t 0} 的数学期望和方差。 先求 X (t) 的矩母函数： ( ) ( ) ( ) = − = − + + + = − + + + = = = = = = = = = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) { } ! ( ) { } ! ( ) { ( ) } ! ( ) ( ) { } { ( ) } { ( ) } 1 1 2 1 2 n n t uY n n t u Y Y Y n n t u Y Y Y n n u X t u X t X t e E e n t e E e n t e E e N t n n t u E e P N t n E e N t n n n 令 Y ~ Yi 的矩母函数为 ( ) { } uY Y u = E e ，则有： ( ) exp{ [ ( ) 1]} ! ( ) { } ! ( ) ( ) 0 0 ( ) 1 = = = − = = − − e t u n t u e E e n t u Y n n t n Y n t uY n X t
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 对上式在M=0处求导数,有: E{X()}=00(0)=At:E{} 以及 D(X(O=ntE() 特殊情形:若{p,i≥1为独立同分布,取值为正整数的随即 变量序列,且与 Poission过程{N(,t≥0}度独立,记 X(1)=∑P 则称{X(,t≥0}为平稳无后效流。 七、条件 Poission过程 定义:设A是一正的随即变量,分布函数为G(x),x≥0,设 N(),t≥0}是一计数过程,且在给定条件A=下,{N(1),t≥0}是 Poission过程,即ys,t≥0,n∈N,≥0,有: PN+1)-N(s)=nA=4} 则称{N(1),t≥0}是条件 Poission过程。 注意,条件 Poission过程不一定是增量独立过程,因为由全 概率公式我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 对上式在 u = 0 处求导数，有： { ( )} (0) { } E X t = X (t) = t E Y 以及 ( ( )) { } 2 D X t = tE Y 特殊情形：若 { , i 1} i 为独立同分布，取值为正整数的随即 变量序列，且与 Poission 过程 {N(t), t 0} 度独立，记 = = ( ) 1 ( ) N t i i X t 则称 {X (t), t 0} 为平稳无后效流。 七、 条件 Poission 过程 定义：设 是一正的随即变量，分布函数为 G(x), x 0 ，设 {N(t), t 0} 是一计数过程，且在给定条件 = 下， {N(t), t 0} 是 一 Poission 过程，即 s, t 0, n N0 , 0 ，有： t n e n t P N s t N s n − + − = = = ! ( ) { ( ) ( ) } 则称 {N(t), t 0} 是条件 Poission 过程。 注意，条件 Poission 过程不一定是增量独立过程，因为由全 概率公式我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P{N(s+1)-N(s)=n} =P(N(+1)-Ns)=n1A=l、(4) (A) e"fA()d元 () dG(a) 八、例子 例:设N(1)和N2()分别为强度λ和2的 Poission过程,证明 在N()的任一到达时间间隔内,N2()恰有k个事件发生的概率 为: pA k=0,1,2 λ+2(+ 证明:根据二中的定理,可以令X为N()的任一到达时间间 隔并且X~Bx(A1),即X的分布密度为: f2(t)= ∫e,t≥0 0 由此可知: p4=P{N2(t)=k,t∈[0,X)} ∫P{N2()=k|X=1edt (2t) Me-'di k k=0,1,2, +2(+
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) { ( ) ( ) } ( ) { ( ) ( ) } 0 0 d G n t e e f d n t P N s t N s n f d P N s t N s n n t t n + − + − + − = = = + − = = + − = = 八、 例子 例：设 ( ) 1 N t 和 ( ) 2 N t 分别为强度 1 和 2 的 Poission 过程，证明 在 ( ) 1 N t 的任一到达时间间隔内， ( ) 2 N t 恰有 k 个事件发生的概率 为： , 0,1,2, 1 2 2 1 2 1 = + + p = k k k 证明：根据二中的定理，可以令 X 为 ( ) 1 N t 的任一到达时间间 隔并且 ~ ( ) X Ex 1 ，即 X 的分布密度为： = − 0 , 0 , 0 ( ) 1 1 t e t f t t X 由此可知： , 0,1,2, ! ( ) { ( ) } { ( ) , [0, )} 1 2 2 1 2 1 0 1 2 0 2 1 2 2 1 1 = + + = = = = = = = + − − + − k e e dt k t P N t k X t e dt p P N t k t X k t t t k
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 例:设N()是强度为的 Poission过程,求在[0,1)内发生了 个事件的条件下,第r(0,则有 P{x<S,≤x+hN(t)=n} P{x<S,≤x+h,N(t)=n} PIN(=nj Px<s,sx+h, N()-N(x+h=n-r) P{N(1)=n} PIx<s,sx+hpN(t-N(x+h=n-r P{N(1)=n} i(t h f、(x)h (t)” ni 两边除以h,并令h→0,我们有: f、(x) fs (N(t=n () ! [2(t-x) (t) 最后我们可以得到结果 f(x|N(1)=n)= )(-) -,0<X<t (n-r)(r-1) 习题:P230-238:8、10、12
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 例：设 N(t) 是强度为 的 Poission 过程，求在 [0,t) 内发生了 n 个事件的条件下，第 r (r n) 个事件发生时刻的概率密度。 解：取充分小的 h 0 ，则有： t n t x h n r S r r r r e n t e n r t x h f x h P N t n P x S x h P N t N x h n r P N t n P x S x h N t N x h n r P N t n P x S x h N t n P x S x h N t n r − − − − − − − − = = + − + = − = = + − + = − = = = + = = + = = ! ( ) ( )! ( ) ( ) { ( ) } { } { ( ) ( ) } { ( ) } { , ( ) ( ) } { ( ) } { , ( ) } { ( ) } ( ) 两边除以 h ，并令 h →0 ，我们有： ! ( ) ( )! ( ) ( 1)! ( ) ! ( ) ( )! ( ) ( ) ( ( ) ) 1 n t e n r t x r x e n t e n r t x f x f x N t n n x n r r x n x n r S S r r − − − = − − = = − − − − 最后我们可以得到结果： x t t t x t x n r r n f x N t n r n r Sr − − − = = − − , 0 1 1 ( )!( 1)! ! ( ( ) ) 1 习题：P230－238：8、10、12