第十三章拉普拉斯变换 、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义,会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法,基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学重点与难点 教学重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 教学难点:1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法; 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 三、本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延 四、学时安排 总学时:6 教学内容 学时 拉普拉斯变换的定义及基本性质 2.拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 4.应用拉普拉斯变换分析线性电路,习题 五、教学内容 §13-1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数ft)与复变函 数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 个定义在[0,+o]区间的函数(0),它的拉普拉斯变换式F(S)定义为 F(s)=L[f(2)]= f(te- at
第十三章 拉普拉斯变换 一、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开； 2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 三、本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 四、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2 2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2 4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题 2 五、教学内容 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函 数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为
式中s=o+jo为复数,被称为复频率;F(s)为ft)的象函数,ft)为F(s)的原函 数。 由Fs)到ft)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 f()=2(∞≈、7 F(se" as 式中c为正的有限常数 注意 (1)定义中拉氏变换的积分从r=0-开始,即 F()=f()=⊥()。在+()e”t 它计及=0-至0+,f)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电 路的计算带来方便。 (2)象函数F()一般用大写字母表示,如Is),U(s),原函数ft)用小写 字母表示,如it,ut) e (3)象函数F(s)存在的条件 3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 f(t=a(t) F()=L()=!(xt=!e"t S (2)单位冲激函数的象函数 f(t)=(t) ()=(】=)t=」“6)=at=1 (3)指数函数的象函数 )=e F(G)=Lft)1=」ee=- s+a
式中 s=σ+jω 为复数，被称为复频率；F(s)为 f(t)的象函数，f(t)为 F(s)的原函 数。 由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： （1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： 它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电 路的计算带来方便。 （2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如 I(s)，U(s) ，原函数 f(t) 用小写 字母表示，如 i(t),u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 （1） 单位阶跃函数的象函数 （2）单位冲激函数的象函数 （3） 指数函数的象函数
§13-2拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。 表13-1拉氏变换的若干性质和定理{L()=2() 特性和定理 表达式 条件和说明 L[af1(+切=aLf力+bLf2( 线性 a、b为常数 a(s)+b(=a(+b[( 时域延迟L(-)=e“ z为一非负实数 位移特性 频域延迟凵“f()=Fs-a) R(5-a)>c 若所有初值为零,则有 L[f(]=5F(s)-f(0) 微分 Lm)()=52F(s) f(]=(t=F(s) 积分 [广…界(a]=F(9 初值定理1m()-m,f(0)-hmsf( lim sF(s) 存在 终值定理1m(=19,或J=m9 5(S)所有奇点均在S平 面左半部 L[f()*2()]=(5)(5) gf(r)2(t-tt-(-) 卷积定理 -(A0)为和(0与10)的卷 F(5)F2(5=f1()*f2 应用拉氏变换的性质,同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
§13－2 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中。 表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明 线性 a 、 b 为常数 位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟 微分 若所有初值为零，则有 积分 初值定理 或 存在 终值定理 或 所有奇点均在 s 平 面左半部 卷积定理 为 与 的卷 积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表 13.2 中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
表13-2拉氏变换简表 R(5)=瓦f f() pYs)=I[f()] f(e) t≥0 (t)= s(t)= t0 (=1,2,) (+a (1-e-) 52(5+a) Cos at Sin( at Cosh at Sinh( at) d-cosaf be (5+a)(5+b (5+a)(5+b (5+a) 例13-1 1 知[e(f,求函数f()=UE()的像函数。 解: F(s)=L[()]=Uu[s(t)= 例13-2已知 L()-,求f(t)=t8()-t(-1)的象函数。 解:根据积分性质和时域延迟性质 Lf()=L[ts(1)-(-1)e(-1)-(-1)] 例133求函数f()=an(a)的像函数
表 13-2 拉氏变换简表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例 13-1 已知 ，求函数 的像函数。 解： 例 13-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质 例 13-3 求函数 的像函数
解: F(s)=L [sin(at) 2 例13-4求函数f()=cost)的像函数 解:根据微分性质,因为 cos(at) 1 dsin( at) ,所以 F(S)=I[cost]=L-(sin(at odi 例13-5求函数()=t(的像函数。 解:根据频域导数性质有 d 1 Lta(t)l ds s s2
解： 例 13-4 求函数 的像函数。 解：根据微分性质，因为 ，所以 例 13-5 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有：
例13-6求函数f()=ta()的像函数 解:根据频域导数性质有: d n! F(s)=L[t() ds 例13-7求函数∫()=te的像函数。 解:根据频域导数性质有: d 1 F(S)=L[te ds s+ a S+a §13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开 1.拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把求得的响应的拉氏变换式 反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有: (1)利用公式 f(t)=iF(s)e (2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(S)分解为简单项的组合,也称部分分式展开法 F(s)=F(a)+F2(s)+…+F(s) 则f()=f()+()+…+J() 2.部分分式展开法 用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理),即将(展开成部分分 式,成为可在拉氏变换表中查到的S的简单函数,然后通过反查拉氏变换表求 取原函数f(2)。 设F()=21()21(,B()的阶次不高于22(的阶次,否则,用2(除 弓(s),以得到一个8的多项式与一个余式(真分式)之和。部分分式为真分式 时,需对为分母多项式作因式分解,求出2()=0的根
例 13-6 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有： 例 13-7 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有： §13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 1．拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式 反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有： （1） 利用公式 （2） 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数 （3） 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。 则 2．部分分式展开法 用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将 展开成部分分 式，成为可在拉氏变换表中查到的 的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求 取原函数 。 设 ， 的阶次不高于 的阶次，否则，用 除 ，以得到一个 的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式 时，需对为分母多项式作因式分解，求出 =0 的根
设象函数的一般形式 FC F()a0+a1+…+0t(m ≥m 2()bos2+b13-+…+b 即F(s)为真分式。下面讨论2()=0的根的情况。 (1)若 F2 有n个不同的单根p、p2…,pn。利用部分分式可将 F(s)分解为: F(a)= F1(s) (s-21)(6-P2)…(-p2)s-n1s-p2 待定常数的确定: 方法一:按=[(-B)F(]-,1=1,2,3,…、n来确定。 方法二:用求极限方法确定a的值 a;=lim (s-p)(sL,/im (s-p)Fi(S)+F(s)A(pi) 32E2(s) F2(s) 得原函数的一般形式为: F(P1)。,F(P2) (p2) F(n1)F2(P2) F2(P) 2(6)=0有共轭复根1=a+和P2=a-Ja,可将F(分解为: F(s)= F s (s-1)(s-P2)(-3)…(s-p2)-n1s-P P3 则4=(s-a-Ja)F(S)-+,a2=[(s-a+ja)(s)-- 因为F(s为实系数多项式之比,故和为共轭复数。设=kp a2=° f()=ae++a2-10=2k1lcos(ax+ (3)2()=0的具有重根时,因含有(-P)的因式 () F(6)-(6-pY(8-p2+)…(s-p2) b (s-1)(-m1) S-PI Pr+1 5- Py+3
设象函数的一般形式： 即 F（s）为真分式。下面讨论 =0 的根的情况。 （1） 若 =0 有 n 个不同的单根 p1、p2……pn 。利用部分分式可将 F(s)分解为： 待定常数的确定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, … , n 来确定。 方法二：用求极限方法确定 ai 的值 得原函数的一般形式为： （2） 若 =0 有共轭复根 和 ，可将 F(s)分解为： 则 ， 因为 F(s)为实系数多项式之比，故 和 为共轭复数。设 ， （3） =0 的具有重根时，因含有 的因式
则,b,=[G-n1)F()°,1么【(-r)yF(G)]- n1)F(6)] G-1)I ds 一P1 总结上述得由Fs)求ft)的步骤: (1)n=m时将Fs)化成真分式和多项式之和 (2)求真分式分母的根,确定分解单元 (3)将真分式展开成部分分式,求各部分分式的系数 (4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。 例13-8已知 4s+5 s2+5s+6 求原函数f( 解法一:设 4s+5K1,K2 +5s+6s+2s+3 其中 4S+5 4s+5 KI S=-2 3 所以J()=-36()+7e6() 解法二: x=(2)=4s+5 22(1)28+5 N(2)48+5 D(P2) 5 例13-9已知 F() 求原函数J(
则， ； ； …… ； 总结上述得由 F(s) 求 f( t) 的步骤： （1） n = m 时将 F(s) 化成真分式和多项式之和； （2） 求真分式分母的根，确定分解单元； （3） 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数； （4） 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。 例 13-8 已知 求原函数 解法一： 设 其中 所以 解法二： 例 13-9 已知 求原函数
解:因为8+2+5=0的根为:B12=-12 所以 K 8-(1-2)/x+2=05-105=0.55266 8-(1+2)0.559∠-266 f(t)=2×0.559ecos(2t+26.6)6() 例13-10已知 4+42+1 F(s)= 求原函数J( 解 F()=1+ 1+F'(s) s2(s2+4) P(=++ (s-j2)(s+j2) 1=(6-02F(0= k12=,[G-02F()]0=0 k2=(-12(-n2=1=1 k2=[(S+j2)F(s)] 则,J0=EF(时“a+,人
解： 因为 的根为： 所以 例 13-10 已知 求原函数 解： ； ； ； 则
例13-11已知 2+9s+11 +5+6 求原函数f(。 解:原式 4s+5 =1+ 1+ s+5s+6 x+2s+3 所以0)=60)+(7e3-3e2) §13-4运算电路 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是:首 先找出电压、电流的像函数表示式,而后找出R、L、C单个元件的电压电 流关系的像函数表示式,以及基尔霍夫定律的像函数表示式,得到用像函数和运 算阻抗表示的运算电路图,列出复频域的代数方程,最后求解出电路变量的象函 数形式,通过拉普拉斯反变换,得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与 相量法的基本思想类似,因此,用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定 理在形式上均可用于运算法。 1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示: 把时间函数变换为对应的象函数: )→U(8)i(t)→I(8) 得基尔霍夫定律的运算形式 ∑l( 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系,可以推导出各元件电压电流关系的运算 形式 (1)电阻R的运算形式 图13.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为:v=Ri,两边取拉普拉斯变换
例 13-11 已知 求原函数 。 解： 原式 所以 §13－4 运算电路 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首 先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电 流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运 算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函 数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与 相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定 理在形式上均可用于运算法。 1. 电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算 形式。 （1） 电阻 R 的运算形式 图 13.1（a）所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换
