(Ax, y)=(x, By), Vx,yE H (4-3-7) 证明令(x,y)=(x,y),则是一、五线性泛函并且 )=(x,y)≤|x≤4xpl φ是有界的.由定理3,存在B∈B(H)使得q(x,y)=(Bx,y),于是 (Ay,x)=(y,Bx).交换x与y的符号即得(Ax,y)=(x,By) 定义2设H是 Hilbert空间,T∈B(H),若存在T'∈B(H)使 得(Tx,y)=(x,Ty),Vx,y∈H 称T是T的伴随算子 定理4说明,对于任一有界线性算子T∈B(H),相应于T的伴随 算子存在此外,在$2中我们讨论过自伴算子,自伴算子即满足 T=T的伴随算子.注意。与 Banish空间情况略有不同的是,映射 T→T是共轭线性的 命题设H是 Hilbert空间,A∈B(H),以下诸条件等价 (1)是自伴算子 (2)q(x,y)=(Ax,y)是对称的 若H是复空间,则以上还等价于 (3)wx∈H,(x,x)=(Ax,x)是实数 证明(1)→(2).只需注意Vx,y∈H, p(x, y)=(Ax,y)=(x, Ay)=(Ay, x)=o(, x) (2)→(1).注意(Ax,y=(x,y)=(y,x)=(4y,x)=(x,4y) (1)→(3)(x,x)=(x,Ax)=(Ax,x)=(x,x).所以(x,x)是实 数 现在设H是复空间,我们证明(3)→(2)成立.实际上利用极化恒 等式可得到 66 ( ,) Ax y = (, ) x By , ∀x, y ∈ H . (4-3-7) 证 明 令 ϕ(x, y) = ( x, Ay )，则 ϕ 是一、五线性泛函并且 ϕ(x, y) = (x, Ay) ≤ x Ay ≤ A x y , ϕ 是有界的. 由定理 3, 存在 B ∈ B(H) 使得 ϕ(x, y) = ( ,) Bx y , 于是 ( Ay, x )=( y,Bx ). 交换 x 与 y 的符号即得( Ax, y ) = ( x, By ). 定义 2 设 H 是 Hilbert 空间, T ∈ B(H) , 若存在 ( ) * T ∈ B H 使 得 (Tx, y) = ( , ) * x T y ， ∀x, y ∈ H , 称 * T 是 T 的伴随算子. 定理 4 说明, 对于任一有界线性算子 T ∈ B(H) , 相应于 T 的伴随 算子存在. 此外, 在 $2 中我们讨论过自伴算子, 自伴算子即满足 * T = T 的伴随算子. 注意。与 Banish 空间情况略有不同的是，映射 * T T → 是共轭线性的. 命 题 设 H 是 Hilbert 空间, A∈ B(H), 以下诸条件等价: (1) 是自伴算子. (2) ϕ(x, y) =( Ax, y ) 是对称的. 若 H 是复空间,则以上还等价于: (3) ∀x ∈ H , ϕ(x, x) = ( Ax, x ) 是实数 . 证 明 (1)⇒(2). 只需注意 ∀x, , y H ∈ ϕ(x, y) = ( Ax, y ) = ( x, Ay ) = (Ay, x) =ϕ( y, x) . (2)⇒(1). 注意 ( Ax, y )=ϕ(x, y) =ϕ( y, x) = (Ay, x) = ( x, Ay ). (1)⇒(3). ϕ(x, x) = (x, Ax) = ( Ax, x ) =ϕ(x, x). 所以 ϕ(x, x)是实 数. 现在设 H 是复空间, 我们证明(3) ⇒(2)成立. 实际上利用极化恒 等式可得到