留数计算示例 例2计算，1在所有奇点的留数. zsinz 解因sinz以kπ(k∈Z)为单零点，于是当k≠0时， 1 1 (-1)k Zc0SZlz=kπ kπ 而0是zsinz的二重零点，故 sinz-z cosz lim Z→0 sin2z 为求该极限，将分子分母都在0点写成Taylor级数，得到 留数计算示例 例2 计算 1 𝑧 sin𝑧 在所有奇点的留数． 解 因 sin 𝑧 以 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ 𝐙) 为单零点，于是当 𝑘 ≠ 0 时， Res 1 𝑧 sin 𝑧 , 𝑘𝜋 = ቤ 1 𝑧 ⋅ sin 𝑧 ′ 𝑧=𝑘𝜋 = ቤ 1 𝑧 cos𝑧 𝑧=𝑘𝜋 = −1 𝑘 𝑘𝜋 ． 而 0 是 𝑧 sin 𝑧 的二重零点，故 Res 1 𝑧 sin 𝑧 , 0 = lim 𝑧→0 𝑧 2 𝑧 sin 𝑧 ′ = lim 𝑧→0 sin 𝑧 − 𝑧 cos𝑧 sin2 𝑧 ． 为求该极限，将分子分母都在 0 点写成 Taylor 级数，得到