《现代控制理论基础》第三章(讲义) IⅠ、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性( controllability)和能观测性( observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系,由 RE Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念,在现代控制理论的研究与实践 中,具有极其重要的意义,事实上,能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性 例如,在极点配置问题中,状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定:在观测器设计和最 优估计中,将涉及到系统的能观测性条件 在本章中,我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义,然后推 导出判别系统能控和能观测性的若干判据 3.1线性连续系统的能控性 3.1.1概述 如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量,使得系统由初始状态x(t)转 移到任一状态,则称该系统在时刻t是能控的。 如果系统的状态x(t)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定,那么称系统在时刻 t是能观测的 前已指出,在用状态空间法设计控制系统时,这两个概念起到非常重要的作用。实际上 虽然大多数物理系统是能控和能观测的,然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观 测性。因此,必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1节涉及到能控性,3.2节 将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义,下面我们将首先推导状态能控性的代数判 据,然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性 3.1.2定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 ∑:x()=Ax(1)+Bn(1) (3.1) 其中,x()∈R,l()∈Rl,A∈Rm,B∈R(单输入),且初始条件为x(D)=x(O)。 如果施加一个无约束的控制信号,在有限的时间间隔to≤t≤t内,使初始状态转移到 任一终止状态,则称由式(3.1)描述的系统在t=t时为状态(完全)能控的。如果每一个 状态都能控,则称该系统为状态(完全)能控的。 下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性,设终止状态为状态空间原点,并设初始 时刻为零,即t=0《现代控制理论基础》第三章(讲义) 1 II、分析部分 第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由 R.E.Kalman 于 60 年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践 中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。 例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最 优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推 导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态 x(to)转 移到任一状态，则称该系统在时刻 to 是能控的。 如果系统的状态 x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻 to 是能观测的。 前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上， 虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观 测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1 节涉及到能控性，3.2 节 将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判 据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。 3.1.2 定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 Σ： x (t) = Ax(t) + Bu(t) (3.1） 其中， 1 1 ( ) , ( ) , ,       n n n n x t R u t R A R B R （单输入），且初始条件为 ( ) (0) 0 x t x t = = 。 如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 to≤t≤t1 内，使初始状态转移到 任一终止状态，则称由式（3.1）描述的系统在 t = to 时为状态(完全)能控的。如果每一个 状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。 下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始 时刻为零，即 to=0